傅里叶光学全

1 傅里叶变换

()

()()[]

)}y ,x (f {F dxdy e

y ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰

⎰∞

∞

-+-π式中

fx 和fy 称为空间频率，

()

y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。

()

y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f （x,y ）的振幅谱和相位谱，而

)

fy fx (，F 称为f （x ，y ）的功率谱。

2 逆傅里叶变换

)}

,({),(),(1)

(2[fy fx F F fxfy e

fy fx F y x f y f x f i y x -∞

∞

-+==

⎰π

3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是：

①f(x,y ）必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点

②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点

4 物函数f （x ，y ）可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果

5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样

6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率

7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数

8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术”

9 δ函数表示某种极限状态。可用来描述高度集中的物理量。如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。δ函数只有通过积分才有定值

10 在光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示：∑∞

-∞

=-=

n n x )

(δ）（x comb 11 一维梳状函数表示点光源面阵或小孔面阵的透过率函数，亦可作为二

维函数的抽样函数

12 像平面上的强度分布是物的强度分布与单位强度点光源对应的强度分布的卷积，这就是卷积在光学成像中的物理意义 13 卷积运算的两个效应①展宽效应②平滑化效应 14 相关函数是两函数图象重叠程度的描述 15.傅里叶变换的基本定理

①线性定理：反映了波的叠加定理。 ②相似性定理：表明原函数x,y 的“伸展”，导致频谱函数频域坐标

,x y

f f 的“压缩”。

③位移定理：说明原函数在空域中的平移导致频谱相位的线性移动。 ④卷积定理：意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理就可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的变换式。

⑤维纳-肯欣定理。

⑥自相关定理：即信号的自相关和功率谱之间存在傅里叶变换关系。 ⑦巴塞伐定理：物理意义，信号在空域的能量与其所在频域的能量守恒。 ⑧傅里叶积分定理：表明，对函数相继两次变换或逆变换又得到原函数。 ⑨微分定理：主要用于图像的边缘增强。 ⑩积分

16 物理系统是一种转换或变换的装置 ，输入到系统中的某种物理量通过转换后，可输出另一种物理量。

17凡同时具有叠加性和均匀性的系统称为线性系统。（缩放因子保持不变的系统具有均匀性）。

18 对于一般存在像差且通光孔径有限大的光学成像系统而言，输入平面上一物点（表示为δ函数）通过系统后，在输出像面上不是形成像点，而拓展成一像斑，并用脉冲响应函数h 表示，故又把h 称为拓展函数。 19 研究线性系统的输出，突出的是研究集元函数的响应（所谓集元函数是指不能在进行分解的基本函数单元）。

20 对与无像差理想光学成像系统，若计及系统的通光孔径，则称该系统是衍射受限的，若不计孔径，则称该系统为非衍射受限系统 21点扩展函数即是物镜光学系统后所成的像 22 线性不变系统（空不变系统）“LSI ”LSI 系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一效应是输出信号产生同样的位置平移

LSI 系统的输出函数可表示为输入函数与西戎的脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积，这一特殊形式的叠加积分又称卷积积分。

23 系统的传递函数H(fx,fy)表示系统在频率域中对信号的传递能力 24 空不变性质强调了输出函数的形式不随输入函数空间位置而改变。 25 抽样指一个连续的物理过程在各个瞬时抽取数据的过称。 26 奈奎斯特判据：令X=1/2Bx ，Y=1/2By 27 能够将一个连续二频谱带有限的函数，用离散的抽样序列代替而不丢失任何信息。

28 空间带宽积SW 就定义为SW=16XYBxBy,4XY 表示函数在空域中面积，4BxBy 表示在频域中的面积，它既可以用来描述图象的信息容量，也可用来描述信息处理系统的信息传递或处理能力。（只有系统的SW 大于图像的SW 时，才不会损失信息。SW 是个不变量，若空间大小变化，带宽依反比关系变化）。

29 惠特克-商农采样定理的基本点是为了复原一个带限函数，采用了方阵采样和矩形滤波的方法

30 透镜是光学成像系统和光学信息处理系统基础

31 透镜的傅里叶变换性质成为光信息处理技术的基础，其作用表现为城乡作用、傅里叶变换作用、改变光波对输入图像的照明方式，使输入图像有不同的衍射效果。 32 )

y ,x (B 称为透镜作用因子 称透镜的透射率函数，

）

）（22

y x (f

2k y ,x +=φ称为透镜的相位变化函数

空不变性质强调了输出函数的形式不随输入函数空间位置而改变。 33 我们把平行光垂直照明是透镜的后焦平面叫做傅里叶变换平面，该平面又称空间频率平面

34 从空域中研究光学系统的成像质量是几何光学的重要组成部分，其中心内容是像差理论和系统光瞳的衍射效应

35 研究成像质量的方法有①星点法②分辨率板法

36 孔径为无限大的薄透镜对物成理想像 该像准确重现原物

37 在非相干照明条件下，光学成像系统对光场强度的变换是线性不变；而对复振幅的变换，则不是线性的 称为系统的强度点扩展函数

38 系统的脉冲响应，其傅里叶变换就是系统的相干传递函数

在傅里叶变换平面上，靠近光轴的频谱值比较准确；远离光轴的频谱值误差较大

在傍轴条件下，薄透镜为一种简单的空不变系统，其点数就是透镜孔径函数的傅里叶变换。

39 实际波面与理想球面的各种偏差称为波面像差或波相差 40 相差的出现对相干传递函数的通带宽度没有影响，仅在通带内引入了位相畸变

41 光学传递函数

⎰⎰⎰⎰∞

∞

-∞

∞

-+-=

=~

I

)

y f x f (2i I ~

I I I dxdy

)y ,x (h dxdy

e

)y ,x (h )

0,0(H )

fy ,fx (H )fy ,fx (H y x π就是光瞳函数的自相关函数，OTF 的计算公式

0fy ,x f )fy fx (H σσ）

（出瞳总面积出瞳重叠面积，=

=

42 非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍

43 具有像差的系统其调制传递函数只可能下降而绝不会增大，结果会使像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论

44 在相干照明条件下，光学成像系统对光场的复振幅变换而言，是线性不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。

45.具有像差的系统其调制传递函数只可能下降，而绝不会增大，结果会是像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论。

46.非相干截止频率是确定像强度的最高频率分量，而相干截止频率确定是像的振幅的最高频率分量。

47.瑞利分辨判据：仅适用于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点光源要考虑他们的相位关系。

48.各个环节在满足非相干照明条件时整个光学链的调制传递函数等于各个环节调制传递函数之积，位相传递函数则是多个环节位相传递函数之和。 49 截止频率(,)

cx cy f f 是检验光学成像系统质量优劣的重要参数之一

（非相干成像系统的截至频率是相干成像系统的两倍）。

50 激光散斑产生条件：①物体表面粗糙 ②入射光源为相干光 51 散斑测量方法：①散斑照相测量 ②散斑干涉测量 52 散斑分析：①逐点分析法 ②全场分析法

53 空间滤波：为了得到不同的衍射像，有目的的改变物体的频率 ①物体是各种频谱成份集合，物品面发出的光首先到达频谱平面上，在频谱平面上形成一系列衍射斑。②以衍射斑为子波 滤出光线到达像平面上产生干涉形成物体的像。

54 物体光栅常数d 缝宽为a 沿x 方向分布为L

)

L

x

(rect )]d x (comb d 1)a x (rect [)y ,x (T 11*= 频谱

M 取任意常数 55 。。。。。。

56 ①对于光学成像系统，其像的调制度不可能大于物的调制度。②当

(,)0

o x y H f f =意味着只要空间频率(,)

x y f f 大于截止频率，不管物的调

制度多大，像的调制度为零。

57 滤波器：光学中在透明膜上镀不同透过率膜层的膜片

58 ①低通滤波器：只允许低频率成分通过，可以用来率高频率

②高通滤波器：允许高频率成分通过，阻止低频率分量，在质图形边缘增强或衬度反转

③带通滤波器：允许特定频率成分通过，同时屏蔽其他频段的设备 ④方向滤波器：允许特定方向的频率成分通过，用来突出物体的方向性特征。

59 振幅型滤波器：仅改变振幅不改变位相，如感光胶片

60 位相形滤波器：改变位相的分布，不改变振幅，二元光学元件，某些光学薄膜

61 复数型滤波器：对位相和振幅都改变，用全息方法制作 62 泽尼克显微镜观察物位相物体“4f 系统”

②位相物体透过率)]y ,x (i exp[)y ,x (f φ=； ③常规系统

1)y ,x (i 1)]y ,x (i exp[1I 2

i ≈+=+=φφ；

④译尼克认为像平面上光由两部分构成，一部分强的直接透射光，另一部分由位相起伏引起的弱衍射光

⑤弱衍射光观察不到原因:1)与强透射光位相差90度 2）强透射光光强。。

⑥利用空间滤波（其他）（滤波器内）

）（0

i {

y ,x t ±=

滤波后

!

)]y ,x (i exp[i {

)y ,x (t )y ,x (f φ±=

⑦)y ,x (i 1I

i

φ±≈取正号：

位相值大的光强也强，称为“正相衬”； 取负号，位相值大的部位光强弱，叫做“负相称”

⑧光强变化与位相联系称相幅变化系统

63 麦尔查：成像不清晰是由传递函数存在相应缺陷引起的

64 空间滤波的傅里叶分析：物体的光栅常数为d ，缝宽为a ，沿着1

x 方

向宽度为L ，则它的透过率为

01()[o o o x x x t x rect comb rect a d a L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=* ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

在P1平面上的光场分布应该正比于物体的频谱

(,)sin ()sin ()x y x x x m aL m T f f c af f c Lf d d δ⎡⎤⎛

⎫=

-* ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦∑

65 光学系统存在离焦，利用空间滤波器，一块吸收板板，一块衰减板，

显著改变成像质量

66 散斑：激光照射到不均匀物体表面上，物体表面上的每一个点都可以看成次级滤波源，在整个空间发生干涉，产生无规则的斑衍射斑，称为散斑。 散斑横向尺寸F

22.1Z D

22.1λλσ=∙=横

67 照相测量：物体表面没有位移时曝光，物体前后曝光，物体上同一点对应两个散斑，产生干涉条纹

68 光场的相干性是指时空中两点的光扰动相叠加时的表现，它包涵空间效应和时间效应，即空间相干性和时间相干性，前者源于光源的大小，后者源于光源的有限带宽。 69 1》逐点分析法：激光照明散斑图:散斑图由于干涉产生，位移量

a

Z

d λ=

照相测量放大率为M （M 与物距、像距有关）

Ma

Z d λ=

a ↑d ↓

2》全场分析法：”4f 系统”，激光全场照明

r

m m f d ∙∙=

λM 为衍射级次

70 散斑干涉测量分两步：1》用相干光照射物体表面，记录带有物体表面位移和变形信息的散斑图；2》将记录的散斑图置于一定的光路系统中，将散斑图中的位移或变形信息分离出来，进行定性或定量分析

1）横向位移（面内）测量 2）纵向位移（离面）测量 3）测量位移梯度 71 离面测量：M1、M2两个粗糙面，M1产生位移,M2位移E δ πδk E =干涉条纹是亮纹。

72 面内测量：位移为∆x 。两束光线光程sint ∆光束减少θxsint ∆两束光线产生的散斑。。。产生第三个散斑图，条件：1）两束光线的入射角2）物体表面粗糙，散斑颗粒大小1

sin 6.0λ

73 位移梯度干涉测量：位移一阶微分为应变两个 剪切干涉测量法：1）利用图像剪切一个物体点在像平面上产生两个光斑干涉。2）利用剪切，取像平面上一点对应物平面上两个物像平面上干涉。 74 电子散斑测量：CCD 测量和样本相关函数的计算来测

75 什么是干涉现象？两列或几列光波在空间相遇时相互迭加，在某些区域始终加强，在另一些区域则始终削弱，形成稳定的强弱分布的现象。 76 产生干涉的条件：两列光波的频率相同，位相差恒定，振动方向一致的相干光源，才能产生光的干涉。由两个普通独立光源发出的光，不可能具有相同的频率，更不可能存在固定的相差，因此，不能产生干涉现象。

77 对于线性系统，任何时候都可以取复信号的实部来还原相应的实信号。

78 稳态光场:指在光学场中,场矢量是时间的函数,变化非常快,但对任何宏观时间间隔取平均而不是着眼于瞬时值时,可发现场的性质与取平均时刻无关,只与所取平均时间的间隔长短有关.

79 光学处理的方法依照光源的相干性可分为相干处理和非相干处理（白光处理）。处理内容包括，加减，识别、滤波、图像修饰、编码等等。 80由于系统的像差、目标和底片相对运动、大气扰动等因素造成图像模糊像。模糊的原因可归结为系统的传递函数缺陷。在光学图像处理中，在频谱面上对系统传递函数作适当补偿，可以恢复清晰图像。即消模糊。 81相干光处理与非相干光处理系统的基本区别在于,前者满足复振幅相干叠加,后者满足强度叠加原则。

82 相干光学处理也有几个固有缺点. (1) 相干噪声和散斑噪声问题 (2) 输入和输出上存在的问题。

83 以几何光学为基础的非相干处理系统有两个明显的限制:①由于照明的非相干性质,系统传递和处理的物理量只能是非负的强度分布,给处理双极性信号和综合双极性脉冲响应造成困难。②在所有分析过程中均忽略了衍射效应

84光波传递信息，构成物体的像这一过程被分为两步：波前记录与波前再现，这正是全息术的基本思想。

85干涉法是将空间相位调制转换为空间强度调制的标准方法。 第五章

所有实际的光源都是部分相干的

光场的相干性是指时空中两点的光扰动相叠加时的表现，它包涵空间效应和时间效应，即空间相干性和时间相干性，前者源于光源的大小，后者源于光源的有限带宽。

光场的空间相干性是指光场中两点的光扰动相叠加时的表现。

产生干涉的条件：两列光波的频率相同，相位差恒定，振动方向一致的相干光源，才能产生光的干涉，

由于这些点的振动相位是完全随机的，因此它们是非相干的，所以最后在屏上进行强度叠加就可以了。

要保证两小孔的光振动存在相关，它们之间的距离不能大于tc 。tc 称为横向相干宽度。

当光源尺寸较小时，图形对比度才较大。光源较大时，对比度下降，相干性变差。

光场的时间相干性是指光场中同一点不同时刻光扰动相叠加时的表现。 光源的时间相干性取决于光源的带宽Δν

相干长度和相干时间用以评价时间相干性的好坏。 时域理解：当光程差大于相干长度时，同一波列分出的子波列不会交叠，这时干涉场上无条纹。

频域理解：每种波长的光在屏上各自产生一套干涉条纹，但彼此错开，当波长成分较多时，叠加后使对比度降低为零。

实际光源发出的光波不可能是严格单色的，总会有一定带宽。

实际的光源，如果单色性好，主要考虑其空间相干性；如果光源线度小，则主要考虑其时间相干性。

激光单色性很好；光束接近平行光(高斯光束)，可以聚焦成很小的光斑，所以激光是很好的相干光源。

对于线性系统，在计算的任何一步实部和虚部不会互相影响，各自进行相同的运算，也就是说，任何时候都可以取复信号的实部来还原相应的实信号。

实际光源的光场在任一点P 上的光扰动是涨落的 振幅

振动方向 无规律涨落 位相

统计来看，空间各个方向振动的几率相同，空间各方向的振幅也是相同，这就是通常所说的自然光。

因此，我们可以用任一方向的振幅或强度来描述光场的情况，而其他方向相同，这就是标量处理，忽略光场的矢量性。

稳态光场:指在光学场中,场矢量是时间的函数,变化非常快,但对任何宏观时间间隔取平均而不是着眼于瞬时值时,可发现场的性质与取平均时刻无关,只与所取平均时间的间隔长短有关. 即求场值的时间平均积分起点可以改变. 相干度是度量光场相干性的物理量。

互相干函数和复相干度反映了光场中两个不同点在不同时刻的光扰动的关联程度。

当γ12 （τ）最大值1时，Q 点的光强与使用完全相干光产生的干涉情况相同。

当γ12 （τ） 取最小值0时，Q 点的光强为两光束在该点的光强简单叠加。这时P1和P2点的光振动是不相干的。

当γ12 （τ） 时，P1和P2点的光振动是部分相干的。 γ12 （τ）的物理意义

反映Q 点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时的程度。|γ12 （τ）|就是相干光部分所占总光强的比例。

如果两个点的光扰动的振幅和相位有某种时间和空间上的联系，就不能各自取平均再乘积，互相干函数不会为零，这两点的光扰动就是相干和部分相干的。

光场在空间传播要发生变化，互相干函数也要经受某种变化。互相干函数传输问题是指已知某个面S1上的互相干函数，求空间另一个S2上相应的互相干函数。光扰动是按照波动方程传播的，解析函数和相干函数也服从波动方程的传输规律。

非单色光可看做单色扰动的线性组合。对于单色波l 从S1面传输到S2面可用惠更斯－菲涅耳原理，

范西泰特－策尼克定理:光场由S1传到S2面，S2面上任意一点Q 的光扰动都是S1面上各点贡献的叠加。即使S1面上的光场是非相干的，S2面上各点对（Q1，Q2）之间的光扰动也会表现出一定的相干性。Van Cittert-Zernike 用严格的数学方法研究了非相干光源与发射光场的空间相干性关系。

设S1和S2平面相互平行，间距z 。S1是准单色扩展光源，它发出的非相干光照明S2面。

求S2面上任意两点Q1和Q2的互强度和复相干系数。 第六章 相干光学处理

光学处理的方法依照光源的相干性可分为相干处理和非相干处理（白光处理）。处理内容包括，加减，识别、滤波、图像修饰、编码等等。 第七章 非相干光处理

非相干光学处理是指采用非相干光照明的信息处理方法,系统传递和处理的基本物理量是光场的强度分布.

相干光处理与非相干光处理系统的基本区别在于,前者满足复振幅相干叠加,后者满足强度叠加原则

显然,复振幅可取正负或其它复数值.这样一来，相干光处理系统有可能完成加、减、乘、除、微分和卷积积分等多种运算,特别是能利用透镜的傅里叶变换性质，在特定的频谱平面上提供输入信息的空间频谱，在这个频谱面上安放滤波器，可以方便而巧妙地进行频域综合，实现空间滤波。 而在非相干光学处理系统中,光强只能取正值.故相干光学处理信息的能力比非相干光学处理系统要丰富得多.这就是为什么一般采用相干光而不是非相干光进行信息处理的主要原因 然而,相干光学处理也有几个固有缺点. (1) 相干噪声和散斑噪声问题 (2) 输入和输出上存在的问题

用空间非相干扩展光源可提高输出图像的信噪比.

实现两个函数的卷积和相关是光学信息处理中最基本的运算,在相干