新人教版高一数学必修一指数函数课件
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高一上学期数学人教A版必修第一册4.2指数函数(指数函数的概念+指数函数的图像和性质)课件
第4章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
新人教A版必修一指数函数课件(36张)
【解析】画出 f(x)=|3x-1|的图象如图:
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
高中数学《指数函数》ppt课件
01
02
03
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，同底数幂相 乘，底数不变，指数相加 。
除法法则
$a^m div a^n = a^{mn}$，同底数幂相除，底 数不变，指数相减。
幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
不同底数指数运算法则
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
。
形如y=x^n（n为实数）的函 数，当n>0时图像上升，当 n<0时图像下降。特别地，当 n=1时，幂指数函数退化为线
高中数学《指数函数》ppt 课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 指数方程和不等式求解技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 指数函数基本概 念与性质
指数函数定义及图像特点
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
在生物学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述生物种群的增长和衰 减过程；
在物理学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述放射性衰变等物理现 象。
05 指数方程和不等 式求解技巧
一元一次、二次指数方程求解方法
01
一元一次指数方程：形如 $a^x = b$ （$a > 0, a neq 1$）的方程。求解方法
利用对数性质将指数方程转化为代数 方程进行求解。
新人教版高一数学必修一_指数函数_课件
图形
单调性
y (1)x 3
y 3x
.
y 3x 在 (,)
单调递增;
y (1)x在 (,) 3 单调递减;
2.判断下列函数在(−∞，+∞）内的单调性？ （1） y 1.1x （2） y 0.3x （3） y 3x （4） y 5 2.718x
（1）增函数； （2）减函数； (3）减函数； （4）增函数.
.m, n的大小. ① 1.5m 1.5n ②
3 4
m
3 4
n
③
2
m
2 n 2
① mn ② mn
③ mn
.
1．本节内容:
指数函数
图像与性质 指数模型
应用
2．需要注意的问题:
（1）指数函数 y ax 的底 a 的取值对函数图像;
及函数单调性的影响； （2）建立指数函数模型的方法．
3．当 a 1 时，函数在定义域
•
R 内是增函数；
y (1)x
2
当 0 a 1 时，函数在定义域
•
•
y 2x
•
R 内是减函数。
•• • •• • • • •
.
指数函数性质 （1）图像都经过点（0，1） （2）函数的定义域是R,值域是 R
（3）当 a 1 , 函数在 R 内是增函数 当 0 a 1, 函数在 R 内是减函数
.
例2.某市2000年国民生产总值20亿元，计划在今 后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国 民生产总值可达多少亿元（精确到0.01亿元）?
解设: 该市国民生产总值在2000年后的第x年为 y亿元，则: 第1年: y=20+20×8=%20（1+8%=）20×1.08，
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
新课标人教版必修一指数函数及其性质课件(共17张PPT)
x 1 2
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
4.2.1指数函数的概念课件(人教版)
第一章4统.2.计1 案例
指数函数的概念
高一数学必修第一册
第四章 指数函数与对数指数
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义； 2.理解指数函数的概念；
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、新课引入情境
庄子曰:一尺之棰,日取其半, 万世不竭.
1.问题1:一根1米长的木棒，第一天取其一半剩下 米,第二
死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1 p)5730.
二、探究新知
1.视察函数
它们有何特点？
y = 2x 自变量x出现在指数上
底数2是一个大于0不等于1的常数
2.指数函数的定义： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
为什么要规定a>0，a≠1?
3.为何规定a0，且a1?
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
五、课堂小结：
1.本节课你学习了哪些基本知识？
指数函数的概念： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
2.本节课你学会了哪些思想方法？ 待定系数法
作业： (1)课本P118 , 习题4.2 1,2
(2)做完《一线课堂》对应习题
是
不是
不是
不是
不是
是
指数函数的解析式是： 特点： 的系数是1 ; 指数必须是单个x ;
底数是常量a0,且a1.
2.变式: 函数 求 的值.
是指数函数,
3例2.已知指数函数
的图象经过点
,求
解:因为
的图象经过点
的值.
待定系数法求a
,
所以
即
,
解得 所以，
指数函数的概念
高一数学必修第一册
第四章 指数函数与对数指数
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义； 2.理解指数函数的概念；
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、新课引入情境
庄子曰:一尺之棰,日取其半, 万世不竭.
1.问题1:一根1米长的木棒，第一天取其一半剩下 米,第二
死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1 p)5730.
二、探究新知
1.视察函数
它们有何特点？
y = 2x 自变量x出现在指数上
底数2是一个大于0不等于1的常数
2.指数函数的定义： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
为什么要规定a>0，a≠1?
3.为何规定a0，且a1?
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
五、课堂小结：
1.本节课你学习了哪些基本知识？
指数函数的概念： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
2.本节课你学会了哪些思想方法？ 待定系数法
作业： (1)课本P118 , 习题4.2 1,2
(2)做完《一线课堂》对应习题
是
不是
不是
不是
不是
是
指数函数的解析式是： 特点： 的系数是1 ; 指数必须是单个x ;
底数是常量a0,且a1.
2.变式: 函数 求 的值.
是指数函数,
3例2.已知指数函数
的图象经过点
,求
解:因为
的图象经过点
的值.
待定系数法求a
,
所以
即
,
解得 所以，
高中数学必修一(人教版)《4.2.2 指数函数的图象和性质》课件
(2)函数的定义域为 R .∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴22x－x2≤2，即 y≤2.又 ∴函数的值域为(0,2]．
＞0，
(3)函数的定义域为 R .
y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34， ∵2x＞0，∴当 2x＝12，即 x＝－1 时，y 取最小值34， ∴函数的值域为34，＋∞.
题型二 指数函数的图象及应用 【学透用活】
1．指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．直线x＝1与四个 指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1， d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大， 图象越高，简称“底大图高”．
3.掌握指数函数的性质并会应用， 辑推理和数学运算素养.
能利用函数的单调性比较大小.
(一)教材梳理填空 指数函数的图象和性质
a＞1
图象
0＜a＜1
续表 定义域 值域
性 过定点 质 单调性
奇偶性 对称性
R _(0_，__＋__∞__)_ (0,1) ，即当x＝0时，y＝_1_ 在R上是 增__函___数__ 在R上是 _减__函__数__ 非奇非偶函数 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 y轴 对称
2．函数 y＝ 1－3x的定义域是 A．[0，＋∞) C．[1，＋∞)
B．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)
()
解析：∵1－3x≥0，即 3x≤1，∴x≤0，即 x∈(－∞，0]．故选 B. 答案：B
3．函数 y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是
A．[0,1]
B．[－1,0]
C.0，12
D.－12，0
【新教材】人教A版高中数学必修第一册4.2.2指数函数的图象与性质课件
【解】（1）函数
是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73
（2）函数
是减函数，且
，则
（3） 1.70.3 1.70 1;
又 0.93.1 0.90 1;
0.93.1 1.70.3
变式：若 a 0.60.6 , b 0.61.5, c 1.50.6 ,则a, b, c的大小关系 ?
解： y 0.6x 是减函数;又0.6 1.5 0.6 0.6 0.61.5
y x0.6是增函数，又 0.6 1.50.60.6 1.50.6
0.61.5 0.60.6 1.50.6即b a c
例4：如图，某城市人口呈指数增长 （1）根据图象，估计城市人口每翻一番 所需的时间（倍增期） （2）该城市人口从80万人开始，经过20 年会增长到多少万人
-1.5 0.35
-1
0.5
-0.5 0.71
0
1
0.5 1.41
1
2
1.5 2.83
2
4
函数y 2x图象上
任意一点P（x, y)
关于y轴的对称点
P（1 x, y)都在函数
y
1
x
的图象上
2
因为y ( 1 )x ax ,所以底数互为倒数的两 个指数函数 y a x与y ( 1 )x的图象
R (0,+∞) (0,1)
1
o
x
(4)单调性：增函数
质 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1.
当x<0时，0<y<1.
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时，0<y<1,
当x<0时，y>1.
高中数学必修一(人教版)《4.2.1 指数函数的概念》课件
[答案] B
[方法技巧] 判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备， 则该函数就不是指数函数．
【对点练清】
1．下列函数是指数函数的是
A．y＝π2x C．y＝2x－1
B．y＝(－8)x D．y＝x2
[方法技巧] 实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型： 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1 ＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型： 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1 －p)x(x∈N)． (3)指数型函数： 把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用 的函数模型．
[典例1] 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量 x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数， 故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)的解析式及 f(－1)的值．
[解析] (1)指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14，可 得 a－2＝14，解得 a＝2，函数的解析式为 y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
指数函数的图像及性质第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
27 幂函数 f(x) = xα 的图象上，则 f(3) = _____.
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[解析] 当 x − 2 = 0 时， x = 2, y = a0 + 7 = 8 ， ∴ 函数 y = ax−2 + 7 的图象恒过定点 A(2,8) . 又点 A 在幂函数 f(x) = xα 的图象上， ∴ 2α = 8, 解得 α = 3, ∴ f(x) = x3, ∴ f(3) = 33 = 27 .
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变式训练：
1. 指数函数① y = ax, ②y = bx, ③y = cx, ④y = dx 的图象如图所示，则 a ， b
， c ， d 与1的大小关系为( B )
A. a＜b＜1＜c＜d C. 1＜a＜b＜c＜d
B. b＜a＜1＜d＜c D. a＜b＜1＜d＜c
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探究点二 指数函数的定义域和值域
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变式训练：
1. 已知函数 f(x) = 4 + ax−1(a＞0, 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 P ，则定点 P
的坐标是_（_1_，_5_）___.
[解析] 令 x = 1, y = 4 + a0 = 4 + 1 = 5 ，故函数 f(x) 的图象恒过定点 P(1,5) .即点 P 的坐标为(1,5).
2
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[答案] 要使函数有意义，则 1 − 3x ≥ 0, 即 3x ≤ 1 = 30, 因为函数 y = 3x 在 R 上是增函数，所以 x ≤ 0 .故函数 y = 1 − 3x 的定义域为 (−∞, 0] . 因为 x ≤ 0, 所以 0＜3x ≤ 1, 所以 0 ≤ 1 − 3x＜1 ， 即函数 y = 1 − 3x 的值域为 [0,1) .
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[解析] 当 x − 2 = 0 时， x = 2, y = a0 + 7 = 8 ， ∴ 函数 y = ax−2 + 7 的图象恒过定点 A(2,8) . 又点 A 在幂函数 f(x) = xα 的图象上， ∴ 2α = 8, 解得 α = 3, ∴ f(x) = x3, ∴ f(3) = 33 = 27 .
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变式训练：
1. 指数函数① y = ax, ②y = bx, ③y = cx, ④y = dx 的图象如图所示，则 a ， b
， c ， d 与1的大小关系为( B )
A. a＜b＜1＜c＜d C. 1＜a＜b＜c＜d
B. b＜a＜1＜d＜c D. a＜b＜1＜d＜c
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探究点二 指数函数的定义域和值域
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变式训练：
1. 已知函数 f(x) = 4 + ax−1(a＞0, 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 P ，则定点 P
的坐标是_（_1_，_5_）___.
[解析] 令 x = 1, y = 4 + a0 = 4 + 1 = 5 ，故函数 f(x) 的图象恒过定点 P(1,5) .即点 P 的坐标为(1,5).
2
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[答案] 要使函数有意义，则 1 − 3x ≥ 0, 即 3x ≤ 1 = 30, 因为函数 y = 3x 在 R 上是增函数，所以 x ≤ 0 .故函数 y = 1 − 3x 的定义域为 (−∞, 0] . 因为 x ≤ 0, 所以 0＜3x ≤ 1, 所以 0 ≤ 1 − 3x＜1 ， 即函数 y = 1 − 3x 的值域为 [0,1) .
指数函数-高一数学同步课件(新教材人教版必修第一册)(新教材人教版必修第一册)
定向训练
1．求下列函数的定义域、值域． (1)y＝ 1－12x；(2)y＝aaxx－＋11(a>0，且 a≠1)．
解：(1)∵1－21x≥0，∴12x≤1， 解得 x≥0，∴原函数的定义域为[0，＋∞)． 令 t＝1－21x (x≥0)，则 0≤t<1， ∴0≤ t<1，∴原函数的值域为[0,1)．
典例示范
【例 10】(1)求函数 y＝12x2－6x＋17 的单调区间； (2)求函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调区间．
解：(1)函数 y＝12x2－6x＋17 的定义域为 R. 令 g(x)＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8. 在(－∞，3]上，g(x)是减函数， ∴y＝21x2－6x＋17 在(－∞，3]上是增函数．
∴当－2≤x1<x2 时，4≥12x1＞12x2， 即 4≥t1>t2， ∴t12－8t1＋17<t22－8t2＋17. ∴y＝212x－8·21x＋17 的单调递增区间是[－2，＋∞)． 同理可得单调递减区间是(－∞，－2]．
类题通法
函数 y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性问题中的注意点 (1)指数型函数 y＝af(x)(a>0，a≠1)是由两个函数 y＝au，u＝f(x) 复合而成的，其单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；二 是 f(x)的单调性． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函 数分解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察 f(u)和 φ(x)的单调性，求出 y ＝f(φ(x))的单调性．简记为“同增异减”．
2．若函数 f(x)＝(a2－a－1)ax 是一个指数函数，则实数 a 的值为 _2_.
类型二：指数型函数的定义域、值域问 题
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质课件
0.5
1
2
4
8
6
y2
5
y( )
1 x
2
x
4
y( )
1 x
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
y
8
4
2
1
0.5
-4
-3 -2
2
1
-1 0
x
1
2
3
4
探究1:
函数
用
y2
x
y( )
与
y 2 的图像画出
x
1 x
2 的图象有什么关系？可否利
y ( 12 ) x的图像呢？
y=2x
1 x
y( )
2
y
•函数 y 2 与 y (
1 .7
-1 .7
6
5
, 0.3
0 .5
-1.7
1 .7
1 .7
31 .7 2 1 .7 1 . 6 1 .7
, 0 .6
0 .6
1 .7
幂函数？
1 .7
gx = 3x
gx = 0.3x
fx = 2x
fx = 0.5x
4
3
3
2
2
1
1
-4
-2
5
hx = 0.6x
视察图象，你能发现它们有哪些共同特征？
y2
x
y( )
1 x
2
y3
x
y( )
1 x
3
1x
y( )
1x
视察右边图象，回答下列问题：
3
y( )
2
问题一：
高中新教材数学人课件必修第一册第章指数
指数函数与对数函数的图像关于直线 y=x对称。
02 指数运算法则与技巧
Байду номын сангаас
指数运算法则介绍
同底数幂相乘，底数不变， 指数相加：$a^m times a^n = a^{m+n}$
同底数幂相除，底数不变， 指数相减：$a^m div a^n = a^{m-n}$
幂的乘方，底数不变，指数 相乘：$(a^m)^n = a^{m times n}$
指数函数的幂级数展开式
对于形如$e^x$或$a^x$的指数函数，可以利用幂级数展开式将其表示为无穷 级数的形式。
计算步骤
首先确定指数函数的底数和指数，然后根据幂级数展开式的公式，将指数函数 展开为无穷级数。最后根据收敛域和精度要求，截取有限项进行计算。
幂级数展开式在近似计算中作用
近似计算原理
在实际问题中，往往只需要求得函数的近似值。利用幂级数展开式，可以将复杂 的函数近似为简单的多项式函数，从而方便进行计算。
学习兴趣。
谢谢聆听
摩尔定律与集成电路技术进步
摩尔定律指出，在一个芯片上集成的晶体管数量每18个月翻一倍，体现了集成电路技术 的指数式发展。
人工智能算法性能提升
随着深度学习等人工智能算法的不断发展，其在图像识别、语音识别等领域的性能呈现指 数式提升。
06 总结回顾与拓展延伸
本章知识点总结回顾
指数函数的定义和性质
学习了指数函数的基本概念，包括底数、指数、幂等，以及指数 函数的图像和性质，如单调性、值域等。
例题2
求解指数不等式 $2^{x^2 - 3x + 2} > 4^{x - 1}$。
分析
该不等式可以通过换元法和分离参数法进行求解。
指数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
3
1
3
3
∴ = ，即() = ( ) = .
0
3
∴ 0 = = 1；
(−3) =
−3
3
=
−1
=
1
.
学以致用
3.已知函数 = (2 − 3 + 3) 是指数函数，求的值.
解：由 = (2 − 3 + 3) 是指数函数，
2 − 3 + 3 = 1
1 2n
过滤 n 次后的杂质含量为50×3 (n∈N*)．
1 2n
故 y 与 n 的函数关系式为 y＝50×3 (n∈N*)．
81
则f(2x 1 )f(2x 2 )…f(2x 2022 )＝________.
解析：∵f(x1＋x2＋…＋x2022)＝ax ＋x ＋…＋x ＝9，
1
2
2022
∴f(2x1)f(2x2)… f(2x2022)＝a2x1·a2x2·…·a2x2022
＝a2(x1＋x2＋…＋x2022)
＝(ax1＋x2＋…＋x2022)2
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1) 叫做指数函数，
其中指数是自变量，定义域是.
自主学习
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数， 课本P113
其中指数是自变量，定义域是.
【思考】2:为什么指数函数概念中明确规定 > 0且 ≠ 1 ？
分类讨论思想
课堂小结
指数函数
作业与思考
1.作业：同步训练P41
2.思考：你能用描点法画出函数 = 的函数图像吗？
能否根据图像初步判断它的单调性和奇偶性呢？
3
1
3
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∴ = ，即() = ( ) = .
0
3
∴ 0 = = 1；
(−3) =
−3
3
=
−1
=
1
.
学以致用
3.已知函数 = (2 − 3 + 3) 是指数函数，求的值.
解：由 = (2 − 3 + 3) 是指数函数，
2 − 3 + 3 = 1
1 2n
过滤 n 次后的杂质含量为50×3 (n∈N*)．
1 2n
故 y 与 n 的函数关系式为 y＝50×3 (n∈N*)．
81
则f(2x 1 )f(2x 2 )…f(2x 2022 )＝________.
解析：∵f(x1＋x2＋…＋x2022)＝ax ＋x ＋…＋x ＝9，
1
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2022
∴f(2x1)f(2x2)… f(2x2022)＝a2x1·a2x2·…·a2x2022
＝a2(x1＋x2＋…＋x2022)
＝(ax1＋x2＋…＋x2022)2
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1) 叫做指数函数，
其中指数是自变量，定义域是.
自主学习
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数， 课本P113
其中指数是自变量，定义域是.
【思考】2:为什么指数函数概念中明确规定 > 0且 ≠ 1 ？
分类讨论思想
课堂小结
指数函数
作业与思考
1.作业：同步训练P41
2.思考：你能用描点法画出函数 = 的函数图像吗？
能否根据图像初步判断它的单调性和奇偶性呢？
数学人教A版必修第一册4.2.1指数函数的概念(17张PPT)
越美国，经济总量成为世界第一，为伟大复兴路奠定良好物质基础？
环节三：问题情境
问题1：随着中国经济增长，人民生活
水平不断提高，旅游成了越来越多家庭
的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，
Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同
的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，
而Ｂ地则取消了景区门票．右表为A,B
两地景区2001至2015年的游客人次.
课件
下课！
同学们再见！
授 课 老 师 ：
时 间 ： 2 0 2 4 年 9 月 1 日
2023
课件
下课！
同学们再见！
授 课 老 师 ：
时 间 ： 2 0 2 4 年 9 月 1 日
“一带一路”国际合作高峰论坛
材料： 美国2022年经济总量为25.46万亿美元，位居世界首位，中国经济总量为17.99
万亿美元，排世界第二位，美国比中国多出了7.47万亿美元。2012年至2022年，十年
课后固学
来，美国经济年平均增长率为2.2%，中国经济年平均增长率为6.6%.
思考:假设中国和美国未来的经济都保持这个年平均增长率，请问中国需要多久能够超
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
环节三：问题情境
问题1：随着中国经济增长，人民生活
水平不断提高，旅游成了越来越多家庭
的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，
Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同
的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，
而Ｂ地则取消了景区门票．右表为A,B
两地景区2001至2015年的游客人次.
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2023
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“一带一路”国际合作高峰论坛
材料： 美国2022年经济总量为25.46万亿美元，位居世界首位，中国经济总量为17.99
万亿美元，排世界第二位，美国比中国多出了7.47万亿美元。2012年至2022年，十年
课后固学
来，美国经济年平均增长率为2.2%，中国经济年平均增长率为6.6%.
思考:假设中国和美国未来的经济都保持这个年平均增长率，请问中国需要多久能够超
650
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.
1.同一坐标系下，做出函数 y 3x 和 y (1)x 的图像，并指出它们的单调区间． 3
图形
单调性
y (1)x 3
y 3x
.
y 3x 在 (,)
单调递增;
y (1)x在 (,) 3 单调递减;
2.判断下列函数在(−∞，+∞）内的单调性？
（1） y 1.1x （2） y 0.3x
1 2
1
2
4
8…
y (1)x 2
…
8
4
2
1
1 2
1 4
1
8…
•
y (1)x 2
•
y 2x
•
•
•• • •• • • • •
1.它们的图像都在x轴上方，向上无限伸展， 向下无限接近于x轴；
2．图像都经过点（0，1），即当 x 0 时，y 1 ；
3．当 a 1 时，函数在定义域
•
R 内是增函数；
其中（c>0,a>0且a≠1）
当a>1时，叫做指数增长模型； 当0<a<1时，叫做指数衰减模型.
.
1．某企业2004年生产洗衣机15万台，计划今后5 年内，平均每年增长产量5%，问到2008年该企业 的洗衣机产量是多少台（精确到0.01万）？
18.23万台 2．某厂有一台价值100万元的机器，该机器年折 旧率为10%，问再过10年，这台机器值多少万元 （精确到0.01万元）？
34.87万元.
.
1．判断下列函数的奇偶性
① f (x) 2x 2x
②
f
(x)
x 2x 1
x 2
① 奇函数
② 偶函数.
2．利用指数函数的单调性，比较下列各式中
.m, n的大小. ① 1.5m 1.5n ②
3 4
m
3 4
n
③
2
m
2 n 2
①mn ② mn
③ mn
.
1．本节内容:
.
指数函数
形如 y ax (a>0,a≠1)的函数叫指数函数
其中a 为常量
指数函数的定义域为 R
例如：y 0.8x y (1)x 3
y 2x
y 3x
.
用描点法来作出函数 y 2x 和 y (1)x 的图像. 2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y 2x …
1 8
1 4
第2年: y=20 1.08+20 1.088% 20 1.082
第x年: y 20 1.08x (x N,1 x 10) 第10年: y=201.0810≈43.18（亿元）.
答：2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.
.
例3 磷−32经过一天β衰变，其残留量为原来的 95.27%，现有10克磷−32，经过14天衰变还剩下多 少克（精确到0.01)？
（3） y 3x
（4） y 5 2.718 x
（1）增函数； （2）减函数； (3）减函数； （4）增函数.
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例2.某市2000年国民生产总值20亿元，计划在今 后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国 民生产总值可达多少亿元（精确到0.01亿元）?
解设: 该市国民生产总值在2000年后的第x年为 y亿元，则: 第1年: y=20+20×8=%20（1+8%=）20×1.08，
y (1)x 2
当 0 a 1时，函数在定义域
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y 2x•Biblioteka R 内是减函数。••
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指数函数性质 （1）图像都经过点（0，1）
（2）函数的定义域是R,值域是 R
（3）当 a 1 , 函数在 R 内是增函数 当 0 a 1, 函数在 R 内是减函数
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例1 判断下列函数在（−∞，+∞）内是增函数，
解设: 10克磷−32经过x天衰变，剩留量为y克，则:
经过1天 : y 10 0.9527
经过2天 : y 10 0.95272 经过x天 : y 10 0.9527x
经过14天 : y 10 0.952714 5.07
答：经过14天，磷−32还剩5.07克.
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指数模型
函数模型 y ca x 叫做指数模型
指数函数
图像与性质 指数模型
应用
2．需要注意的问题:
（1）指数函数 y a x 的底 a 的取值对函数图像;
及函数单调性的影响； （2）建立指数函数模型的方法．
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课后练习： 作业：
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还是减函数？
（1）y 4x （2）y ( 1 )x
x
（3） y 23
4
解:（1）因为4>1，所以函数y 4x
在（−∞，+∞）内是增函数；
（2）因为 0 1 1 ，所以函数 y ( 1 )x
4
4
在（−∞，+∞）内是减函数； x
（3）由于 2 3 (3 2) x ，并且 3 2 1
x
所以函数 y 23 在(−∞，+∞）内是增函数．