正弦余弦函数的单调性
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
[k
4
(4) y log1 解： 定义域
2
1 1 [ cos( x )] 2 3 4
4 3 [k , k ] 4 4
, k
1 2k x 2k 2 3 4 2 9 3 6k x 6k ,k Z 4 4 9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间。 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间。 3 4 2 4 4
(2) y=3sin(2x-
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
4
)
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
解： 0 tan 9 1
8
8
单调减区间为 单调增区间为
3 4 2 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 单调减区间为 [k , k ] 8 8 k x k
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦函数余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。
正余弦函数的单调性
．内容及解析（一）内容：本节课从正弦函数的图像出发研究正弦函数的单调区间，并在此基础上类比得出余弦函数的单调区间.内容还包含利用三角函数的单调性比较一组数的大小，以及求已知三角函数的单调区间.（二）解析：由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期上的单调性那么它在整个定义域内的单调性即可知道.二、目标及解析（一）教学目标1．掌握正弦函数、余弦函数的单调性；3.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.（二）解析1.根据《课程标准》提出本节内容的要求及本节课内容对今后学习的影响，提出了上述教学目标并给出了相应的要求定位.单调性是学习最值的基础.2.正、余弦函数的单调性与前面学习的函数的单调性的含义是一样的.3. 正、余弦函数的单调性，要求由图象观察，可以进一步学习的类比的思想方法，渗透数形结合思想.三、问题诊断分析同学在研究过程中对取区间来进行研究理解可能会遇到困难，此处需引导学生观察图像，强调由于三角函数的周期性，首先我们只用研究一个周期内的情况，其次这个区间上有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间；第二个难点，将一个周期的单调区间推广到整个定义域范围内，教学过程中要给学生充分的时间思考，教师引导他们得出单调区间的一般形式.四、教学过程设计（一）教学基本流程正弦函数的单调区间单调性的引入余弦函数的单调区间课堂小结单调性的运用（二）教学情境1.单调性的复习引入上次课我们学习了正、余弦函数的周期性及其奇偶性，这节课我们将继续来研究三角函数的另一个重要性质-----单调性.问题1：什么是函数的单调性？设计意图：引导学生复习单调性的概念.师生活动：教师提问，学生回答.问题2：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，正、余弦函数的定义域是什么？设计意图：此内容在学习三角函数图像的时候已经提过，此处提出来一是帮助学生记忆，二为接下来的内容做铺垫.师生活动：定义域为.2.正弦函数的单调区间问题3：观察正弦函数图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？设计意图：正弦函数在整个定义域范围内并不具有单调性，但在区间上具有单调性，提出此问题帮助学生从图象整体转移到部分.师生活动：学生观察图像，回答问题.教师适当点拨.问题4：你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗？设计意图：此问题有助于学生发现这些区间之间的关系.师生活动：学生看图动手写，教师提问.问题5：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么表示呢？设计意图：提出问题，引导学生思考取哪个区间来作为出发点.在学习了周期性的基础上来思考此问题，首先有助于加强周期性的运用，其次能提高学生的归纳能力.师生活动：（1）学生观察函数图象说出自己的想法及理由；（2）师生得出应以为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.(3)正弦函数的周期是多少？得出单调递增区间：得出单调递减区间：（4）请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？3、余弦函数的单调区间问题6：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？设计意图：同学用研究正弦函数的方法，类比研究余弦函数的增减区间，培养类比思维.师生活动：（1）同学类比研究正弦函数方法，根据余弦函数的图像，自主探究余弦函数的单调性，讨论得出余弦函数的单调区间，函数值的变化情况.（2）教师给学生足够的时间思考、讨论，并巡视课堂做个别点拨,最后提问：我们应该选择哪个周期来作为研究对象？在这个周期内的增减情况如何？函数值变化情况怎样？如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内？其一般情况如何表示？4、单调性的运用例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.设计意图：本题么难点在于用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，大部分同学可能想不到.通过运用单调性解决问题，一能帮助同学记忆单调区间，其次帮助同学掌握利用单调性比较两个三角函数大小的基本方法.师生活动：教师用提问的方式提示同学将角转化到同一个单调区间内：（1）我们知道正、余弦函数具有周期性，利用单调性来比较已知角的三角函数值的大小，若已知角不在同一个单调区间内，怎么办？变式训练：利用三角函数的单调性，比较下列数的大小：与设计意图：及时巩固例1的解题方法.师生活动：学生自主完成，教师巡视进行个别辅导.例2：求函数的单调递增区间.设计意图：本题对同学来说可能会有一定难度，通过本题，进一步理解函数的单调性，掌握利用单调性解题的基本方法.师生活动：教师提示同学将分解，可提出问题：（1）的单调递增区间是什么？（2）的单调递增区间是什么？（3）的单调递增区间是什么？变式训练：你能求的单调递增区间吗？设计意图：通过解决本问题，使学生对求相对复杂函数的单调区间的问题有一个完整的认识.师生活动：同学先行试解，一定时间后教师将错误答案呈现出来，然后同学利用描点画图的方法将此函数图像画出来观察其单调增区间是否与答案一致.（1）我们发现与答案恰好相反，为什么？（2）同学们观察此函数与例1的函数有什么区别，为什么用例1的方法结果是错的？（3）能否将此函数转化为与例1类似的形式？5、目标检测：1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与（2）与2.求函数的单调递增区间.6、小结（1）正、余弦函数的单调区间，函数值变化情况分别是什么？（2）利用三角函数的单调性比较一组数的大小需注意什么问题？（3）如何求一个已知三角函数的单调区间？。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)
令−
2
则−
3
即−
6
)的单调区间和函数
6
+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3
+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3
所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3
3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到 ；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =
−
2
+ 2，得 =
−
4
−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的
4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的
[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1
2
+
3
3
≤≤ .
所以，函数 =
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
三角函数单调区间的求法
三角函数单调区间的求法三角函数是数学中十分重要的一类函数，涉及到许多应用，如物理、工程、统计等领域。
在学习三角函数时，掌握它的单调性质是十分必要的。
本文将介绍如何求三角函数的单调区间。
一、正弦函数的单调区间正弦函数的形式为：y=sin(x)，其中x∈[-π/2, π/2]。
在此区间内，正弦函数单调递增。
若x1<x2，则有：sin(x1)<sin(x2)。
在[-π/2, π/2]之外的区间不具有单调性，需要经过化简处理。
二、余弦函数的单调区间余弦函数的形式为：y=cos(x)，其中x∈[0, π]。
在此区间内，余弦函数单调递减。
若x1<x2，则有：cos(x2)<cos(x1)。
在[π, 2π]之外的区间不具有单调性，需要经过化简处理。
三、正切函数的单调区间正切函数的形式为：y=tan(x)，其中x∈(-π/2, π/2)。
在此区间内，正切函数单调递增。
若x1<x2，则有：tan(x1)<tan(x2)。
在(-π/2, π/2)之外的区间不具有单调性，需要经过化简处理。
四、余切函数的单调区间余切函数的形式为：y=cot(x)，其中x∈(0, π)。
在此区间内，余切函数单调递减。
若x1<x2，则有：cot(x2)<cot(x1)。
在(0, π)之外的区间不具有单调性，需要经过化简处理。
五、化简方法若给出的三角函数的区间不具有单调性，可以通过化简将其化为具有单调性的区间。
例如，若要求sin(x)在[π/2, 3π/2]上的单调性，可以先将sin(x)化为cos(x-π/2)，即cos(x-π/2)在[0, π]上的单调性。
同理，若要求cos(x)在[π/2, 3π/2]上的单调性，可以先将cos(x)化为-sin(x-π)，即-sin(x-π)在[0, π]上的单调性。
总之，掌握三角函数的单调性对于正确理解和运用它们是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的单调性。
正余弦函数的性质(最值与单调性)
k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：
y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)
) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [
2 2
+2k, +2k,
4
2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增
2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos
4
17 4
=cos
0
cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数
4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan
6
3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k
3 )
,2 k ,2 k
], ( k Z ) ], ( k Z )
2
函数
单调性（单调区间）
+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3 x, (2) y sin x cos x (3) y 1 sin x
例2：已知函数f ( x) 2ax x sin x 3, 若f(2)=3,
3
1)求证：函数g(x)=f ( x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
3 2
2
u
即： 增区间为 u [k , k ], k Z 2 减区间为 u [k , k ], k Z
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
234ຫໍສະໝຸດ 56xsin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。
1.4.2 第2课时正弦余弦函数的单调性
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
数学 必修4
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
题型三 求正弦、余弦函数的最值(值域) 已知函数 f(x)＝sin x－1.
(1)写出 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)的最大值和最小值及取得最值时 x 的集合； (3)比较 f－π 18与 f－π 12的大小.
数学 必修4
答案： B
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
2.函数 y＝sinx＋π2 ，x∈R 在(
)
A.－π2 ，π2 上是增函数
B.[0，π]上是减函数
C.[－π，0]上是减函数
D.[－π，π]上是减函数
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
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(2)∵函数 g(x)＝sin x，
π 当 x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时，取最大值 1，
当 x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值为－1.
∴函数
f(x)＝sin
x－1，当
π x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时，取最大值
0，当
x＝2kπ＋32
∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
正余弦函数的性质(最值与单调性)
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称f(x) 是周期函数，T称为这个函数的周期。
周期的求法
直接观察法
ห้องสมุดไป่ตู้
01
通过观察函数的表达式，找出具有相同形式的项，从而确定周
期。
公式法
02
利用三角函数的周期性质，如正弦函数和余弦函数的周期公式，
单调性的判断方法
利用导数判断
求出函数的导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
利用定义判断
在定义域内取两个数，比较函数值的大小，若函数值随自变量的增大而增大，则函数在该区间内单调 递增；反之，则函数在该区间内单调递减。
03
正余弦函数的周期性
周期的定义
周期函数
如果一个函数在一定周期内的变化情况与整个定义域内的变化情况完全相同，则称该函 数是周期函数。
函数性质
正余弦函数的图像是周期函数，具有对称性和周 期性。
图像的特点
1 2
周期性
正余弦函数的图像是周期函数，具有固定的周期。
对称性
正余弦函数的图像具有对称性，即关于y轴对称 或关于原点对称。
3
极值点
正余弦函数的图像在极值点处达到最大值或最小 值。
图像的应用
物理应用
正余弦函数在物理中有广泛的应用，如交流电、振动、波动等。
03
奇偶性的判断方法
观察函数图像是否关 于原点或y轴对称
利用定义域排除特殊 点，确定奇偶性
检查$f(-x)$与$f(x)$ 的关系，是否满足奇 偶性定义
05
正余弦函数的图像与性质
图像的绘制
手工绘制
河南省商丘市第二高级中学人教A版高中数学选修4-4课件：142正弦函数、余弦函数的性质(单调性)(共30张PPT)
跟踪训练
比较cos 与sin 的大小
6
5
cos cos
6
3
cos sin
6
5
类型二：求函数的单调区间
求函数y sin(1 x ), x R的单调递增区间.
23
解：
角
是
：1 x 2
π 3
求增区间：- 2k 1 x 2k (k Z )
，2 ,2上上是是减减函函数数
2.比较下列各组数的大(1：)sin 250o与sin 260o (2) cos15 与cos14
>
>8
9
3.(选做)求函数y 3cos(2x ), x 0, 的单调递减区间
4
0，83
， 87
，
我们共提高---畅谈收获，归纳总结
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！
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知识回顾
正弦曲线：y sin x x R y
温故而知新，可以为师矣 ---孔子
1
o
-1
x
余弦曲线：y cos x x R y
学习重点： 正、余弦函数的单调性。
学习难点： 求正、余弦函数的单调区间。
探索新知：单调性
数无形，少直观，形缺数，难入微 ---华罗庚
y sin x x R
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
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2、用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象
的关键点是：(如图)
y
最高点 曲线与x轴交点
1
y=sinx
3
o
2
2
x
2
-1
3、五点法作 y sin(2x ) 图象的五
个关键点找法：
4
x
3
5 7
888
8
8
2x
4
0
2
3 2
2
sin(2x ) 0
sin x ≥ 0
16
x2
≥
0
① ②
由①得 2k ≤x≤2k (kZ)③
由②得 4≤x≤4 ④
∴在③中令 k 0,1 再利用数轴
可得原函数的定义域为
4,
0,
性质应用2—最大最小值(值域)
2
2
k, k 1 上为减
函数（ k Z ）
为增函数（ k Z ）
运用以上知识可以解决一些简单的不等式、判断一
些复合函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题
返回
继续
函数 y Asinx (A 0、 0) 的单调区
间的确定，基本思想是把“ x ”看成一个整
三角函数的性质:
解析式
y sin x
图象
y cos x
定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
R
R
[1,1]
[1,1]
2
2
奇函数
偶函数
[ 2k , 2k ]
2
2
上为增函数；
[ 2k , 3 2k ]
2
2
[2k 1,2k]
上为增函数；
[2k,2k 1 ]
＞0)，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是(
(A)
(B)
(C) 2
(D) 5
C
)
6
3
3
6
4、函数y=Asin( x+ )(其中A>0, >0)
的各个量名称：
函数y=Asin( x+),x[0,+ ),(其中
A>0, >0)表示一个振动量的轨迹方程时
A(振幅):表示这个量振动时离开平衡位置
（3）值域
当x=___2___2_k_________时，ymax ___1__
当x=_____2__2_k________时，ymin ___1__ 值域是：1，1
y
1
y 1
2
2
O
1 2
3 2
2
3
4 x
y 1
正弦函数y=sinx的性质：
1
4
0
-1
0
题型一：图像平移与伸缩变换
y=sin(ωx+φ)的变换规则： 1.平移规则：左加右减、上加下减 2.伸缩规则：
(1) y sin(x ) y sin(x )
规律：在x前面乘以ω，则整个函数图像横坐 标方向变成原来的1/ω
(2) y sin(x ) y Asin(x )
上为减函数.（ k Z ）
上为减函数（. k Z ）
三角函数的性质:
Hale Waihona Puke 解析式y tan x
图象
y cot x
定义域
x
|
x
R且 x
k
1 2
,
k
Z
x | xR且x k,k Z
值域
R
R
周期性
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
k , k 上
本章重点：
[1] 正弦、余弦、正切函数的图象和性质。 [2] y=Asin(x+)的图象。 [3] 已知三角函数值 求角。
三角函数的图象：
y sin x xR
y cos x xR
y tan x (x k ,k Z)
2
复习
1、五点法作图的步骤：
列表取点； 描点； 用圆滑曲线连接。
体，比如由
2
2k
≤
x
≤
2
2k
解出
x 的取值范围所得区间即为增区间。
由
2
2k
≤
x
≤
3
2
2k
解出
x
的
取值范围所得区间即为减区间。
性质应用1—定义域：（实质是解三角不等式）
例 1 求函数 y sin x 16 x2 的定义域.
解:要使原函数有意义,须
规律：在整个函数式前面乘以ω，则整个函数 图像纵坐标方向变成原来的A倍。
例 2 将函数 y sin x 的图象上各点向左平行
移动 个单位长度，再把所得图象上所有点
3 的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，
2 再把所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变，所得图象的解析式是
的最大距离；
2
T=
(周期):往复振动一周所需的时间；
f=
1 T
=
2
(频率):单位时间内往复振动的次数；
x+ (相位)；
(初相): x=0时的相位
三角函数复习---三角函数的图象和性质---- 问题探究
5
6
3
三角函数复习---三角函数的图象和性质---- 问题探究
二、 三角函数的性质
例 3⑴为了得到函数 y sin(2x ) 的图象，可以将函数
6
y cos 2x 的图象（ B ）
(A)向右平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度
6
3
(C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度
6
3
⑵把函数 y=cosx－ 3 sinx 的图象向左平移 m 个单位(m
y 3sin(2x ) ________________3__.
例 2 将函数 y sin x 的图象上各点向左平行移动 个单位长度，再
3 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再
2 把所得图象上所有点纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变，所得
图象的解析式是__________________.
（4）周期性 ∵sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z),
∴正弦函数y=sin x, (k∈Z)的周期为2kπ
(5)单调性 在x R内，x _2_k_____2_,_2_k____2___, k____Z为增函数， x __2_k____2__,2_k____3_2__,_k___Z_为减函数
复习时重点放在： 熟悉三角函数五个方面(定义域、值域、 周期性、奇偶性、单调性)的性质及运用。
y 1
2
2
O
1 2
3 2
2
3
正弦函数y=sinx的性质：
（1）定义域 实数集R
(2)最大值与最小值 ymax _1____ ymin ___1__
y 1
4 x
y 1