正则化和反问题

正则化和反问题

正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。反问题有两种形式。最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。那些很难被解决的问题则被称为不适定的。一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。

求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相"邻近"的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。

正则化：Normalization，代数几何中的一个概念。

通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。

即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ：C*→PC^2,使得σ(C*)=C

严格的定义如下：

设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。如果存在紧Riemann 面C*及全纯映射σ：C*→PC^2,使得

(1)σ(C*)=C(2)σ^(-1)(S)是有限点集(3)σ：C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射

则称(C*,σ)为C的正则化。不至于混淆的时候，也可以称C*为C的正则化。

正则化的做法，实际上是在不可约平面代数曲线的奇点处，把具有不同切线的曲线分支分开，从而消除这种奇异性。

反问题简介

顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的"盲人听鼓"反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。如何区分某个问题的"正""反"?这并没有一个严格的标准，但是我们可以粗略地这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解

定向设计

工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这方面，从事反问题研究的数学家

可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种

特殊轨线的摆，使它严格满足等时性?Huygens于1673年提出并解决了这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为

到了十九世纪，挪威数学家Abel将Huygens的问题推广为：测出了物体从不同高处落下的时间，如何反求物体下落的轨道?他于1823年给出了问题的解答。当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用武之地，许多工

业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数学手段。例如，国外的光学仪器

厂家提出：能否设计一种光栅，利用其非线性衍射效应产生出高能量的单色光

射线?这就是一个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所需要的曲面(光栅)形状。定向设计不限于产品，它的应用相当广泛。比如说：一

个城市的某条街道车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流?在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰炸效果?这类问题往往涉及各种事物的组合、分配、布局，要求在各种相互制约、相互影响的因

素中寻找出最佳方案，为领导的决策提供依据。

物性探测

给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里面的形状吗?如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的截面半径就可以了。美国贝尔电话实验

室的Sondhi和Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管内的截面半径。理论计

算与实验结果吻合得很好。不要小看了这个例子，它实际上暗示了许多不能直

接测量的物性探测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说"上天入地"都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须"入地"才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠

试打井的办法来探测不但费用昂贵(一口井的代价要上千万元)，而且效率极低(只能探测到井附近的局部信息)。一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射

地震波，同时接收地层的反射波信号。可以想象，地面接收到的反射信号中含

有地下的物性结构信息(地层的密度、声速等等)，利用数学手段将这些信息提

取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。这很象在夏天人们挑

西瓜，把瓜放在耳边拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不熟，不需要切开来看，