正则化和反问题
张晔：矢志创新，倾心探索“反问题”
张晔：矢志创新，倾心探索“反问题”文/王超世上万事万物，有阴就有阳，有矛就有盾，有正就有反。
比如说，有黑暗就有光明，有邪恶就有正义，有物质就有反物质。
那么是不是以此可以类推，有问题就有反问题呢？答案是肯定的。
反问题就像正问题的“反面”，把输入和输出反过来，形成了一个新的问题。
学术界通常会研究已知原因、过程，然后探索结果，这就是正问题。
那么，相对应的就有两种反问题：一种是已知模型和输出，去寻找未知的输入，另一种则是已知输入和输出来反求模型或模型参数的系统辨识问题。
北京理工大学教授、博士生导师、深圳北理莫斯科大学双聘教授张晔，就是一位专门研究不适定性反问题的正则化理论，还有具体物理学中反问题的算法设计的专家。
他还是深圳北理莫斯科大学数学系的中方主任，以及莫大-北理-深北莫计算数学与控制联合研究中心的执行主任呢。
他的主要研究领域是数学物理反问题的数学建模、数学理论和科学计算。
经过多年在反问题领域的深入研究，他积累了深厚的学术知识和理论基础，并且在实践中发展应用，为我国的反问题研究领域做出了很大的贡献。
兴趣指引，负笈海外求真知数学物理反问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题，经过数学建模而产生的一个新兴交叉学科领域。
顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。
所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。
可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
反问题其实是无处不在的，在关系国家命脉的经济生产和国防军事领域中，反问题更是常见。
比如，跟人类健康福祉密切相关的无痛无损伤、在体表进行测量的医学诊疗方法；还有与环境控制相关联的污染源探测；材料科学中从材料表面探测内部缺陷的无损探伤，还有海洋探测、空间探测、医学成像等等。
近三十多年来，数学物理反问题已经成为了应用数学中发展最快、成长最迅速的领域之一啦。
椭圆方程反问题的正则化方法研究
椭圆方程反问题的正则化方法研究椭圆方程反问题的正则化方法研究概述在实际工程和科学领域中，我们常常会面临一些反问题，即根据已知的观测数据来确定某个物理过程的未知参数或边界。
椭圆方程反问题是其中一类重要的反问题，涉及到椭圆型偏微分方程的参数估计和边界重构。
由于反问题的不适定性，常常会导致数值计算过程中的不稳定性和非唯一解。
因此，为了提高反问题的求解精度和稳定性，需要采用正则化方法。
一、椭圆方程及反问题的描述椭圆方程是一类重要的偏微分方程，具有广泛的应用。
一般来说，椭圆方程可以表示为：L[u] = f其中L是一个椭圆算子，u是未知函数，f是给定的函数。
椭圆方程求解的问题是确定未知函数u。
而椭圆方程反问题则是，在已知边界条件和观测数据的情况下，确定椭圆方程的参数或边界。
在实际应用中，椭圆方程反问题常常以以下几种形式出现： 1. 参数估计问题：已知椭圆方程的边界条件和观测数据，求解椭圆方程的参数。
例如，已知某个材料的传热模型和观测到的温度分布，求解该材料的热传导系数。
2. 边界重构问题：已知椭圆方程的边界条件和观测数据，求解椭圆方程的边界。
例如，已知某个地下水流动模型和观测到的水位数据，求解该地下水流动领域的边界。
二、椭圆方程反问题的正则化方法椭圆方程反问题的正则化方法是一种常用的数值求解方法，用于消除不适定性和提高求解精度。
正则化方法的核心思想是在目标函数中引入正则化项，通过平衡目标函数的拟合程度和正则化项的平滑度，来实现参数估计和边界重构。
常见的正则化方法包括Tikhonov正则化和迭代正则化。
1. Tikhonov正则化方法Tikhonov正则化方法是一种将L2范数引入目标函数的方法。
其目标函数可以表示为：J(u) = ||L[u] - f||^2 + α||u||^2其中||·||表示L2范数，α是正则化参数。
Tikhonov 正则化方法通过控制α的大小，使目标函数在拟合观测数据的同时，保持解的光滑性。
地球物理反演理论
地球物理反演理论一、解释下列概念1.分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。
它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
2.协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。
其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。
在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。
在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。
可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:()(1)(cov )u aspread R size m α+-如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。
而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。
这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题4.正则化用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。
三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性与正则化算法研究
三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性与正则化算法研究随着科学技术的不断发展，扩散波方程在各个领域中的应用越来越广泛，涉及到地质勘探、医学成像、工程探测等多个领域。
然而，在实际应用中我们常常面临着方程参数的未知情况，这对于方程的求解和应用带来了很大的困难。
因此，研究扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法成为了一个热点和难点的问题。
本文主要研究三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法。
首先，我们给出了时间分数阶扩散波方程的定义和基本性质，并介绍了常见的三类时间分数阶扩散波方程模型。
然后，我们针对这三类方程反问题的唯一性进行了详细的推导和分析。
通过引入逆问题理论和反传播方法，我们证明了这三类方程反问题的解是唯一的。
接下来，我们针对这三类方程反问题的正则化算法进行了研究。
正则化算法是处理反问题的一种常用方法，通过引入正则化项来稳定和改进估计结果。
我们分别针对这三类方程的特点，提出了相应的正则化算法。
例如，在时间分数阶扩散波方程反问题中，我们提出了基于Tikhonov正则化的算法，通过求解正则化问题得到方程参数的稳定估计。
最后，为了验证我们提出的正则化算法的有效性和稳定性，我们设计了数值实验。
实验结果表明，我们提出的正则化算法在处理这三类时间分数阶扩散波方程反问题时具有较好的效果。
同时，通过对比实验，我们发现不同的正则化算法在不同的问题中有不同的优势，并提出了一些改进和优化的思路。
综上所述，本文对三类时间分数阶扩散波方程反问题的唯一性和正则化算法进行了研究。
通过对方程的推导和分析，我们证明了这三类方程反问题的解是唯一的。
同时，通过引入正则化方法，我们提出了相应的正则化算法，通过数值实验验证了其有效性和稳定性。
这些研究成果对于深入理解时间分数阶扩散波方程反问题的特点和算法的改进具有一定的理论和实际意义。
但是，由于篇幅和时间的限制，本文所涉及的内容还有待进一步深入研究和完善。
最后，我们希望本文的研究对相关领域的科研人员和工程师有所帮助，并为未来的研究提供一定的启示和指导综上所述，本文针对三类时间分数阶扩散波方程反问题进行了研究。
地球物理反演中的正则化技术分析
地球物理反演中的正则化技术分析地球物理反演是一种通过观测地球上各种现象和数据，来推断地球内部结构和物质分布的方法。
在地球物理反演中，由于观测数据的不完整性和不精确性，常常需要借助正则化技术来提高反演结果的可靠性和准确性。
正则化技术是一种以一定规则限制解的优化方法。
通过在反演过程中引入附加信息或者假设，正则化技术可以帮助减小反演问题的不确定性，提高解的稳定性和可靠性。
在地球物理反演中，正则化技术有多种应用。
下面将介绍几种常见的正则化技术，并对其进行分析和比较。
1. Tikhonov正则化Tikhonov正则化是一种基本的正则化技术，它通过在目标函数中加入一个范数约束来限制解的空间。
常见的约束可以是L1范数和L2范数。
L1范数可以使解具有稀疏性，即解中的大部分分量为零，适用于具有稀疏特性的反演问题。
而L2范数可以使解具有平滑性，适用于具有平滑特性的反演问题。
2. 主成分分析正则化主成分分析正则化是一种通过将反演问题映射到低维空间来减小问题的维度的正则化技术。
它可以通过选择重要的主成分来实现数据降维，从而减少反演问题的不确定性。
主成分分析正则化在处理高维数据时可以提高反演的效率和精度。
3. 奇异值正则化奇异值正则化是一种基于奇异值分解的正则化技术。
通过对反演问题进行奇异值分解，可以将问题分解为多个低维子问题，从而减小高维问题的不确定性。
奇异值正则化适用于非线性反演问题，可以提高反演结果的稳定性和可靠性。
4. 稀疏表示正则化稀疏表示正则化是一种基于稀疏表示理论的正则化技术。
它通过将反演问题转化为对系数矩阵的优化问题，并引入L1范数约束，使得解具有稀疏性。
稀疏表示正则化适用于信号重构和图像恢复等问题，并在地震勘探和地球成像中有广泛应用。
在选择正则化技术时，需要考虑问题的特性和数据的特点。
不同的正则化技术适用于不同的问题，并且各自具有一些优势和限制。
因此，根据问题的具体要求和数据的特征，选择合适的正则化技术可以提高反演结果的可靠性和准确性。
【国家自然科学基金】_正则化解_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
地震勘探 地震 图像复原 图像处理 变步长 变分不等式 发散维数 压缩传感 单调性 单历元 单位权方差 区间b样条小波 动态规划技术 分裂bregman方法 全变分 光学制造 充分降维 信噪差异指标 严格可行 ㏑-正则化 zernike多项式拟合 u曲线 tikhonov正则化法 tikhonov正则化反演 tec总量 poisson方程 plate contact问题 oracle性质 oracle morozov偏差原理 l曲线准则 lot模型 lad gauss-newton算法 carasso-tikhonov amp
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
推荐指数 7 6 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
线性反问题的正则化算法
线性反问题的正则化算法反问题，是相对于正问题而言的，是一个倒果求因的过程。
在地球物理，生命科学，材料科学，遥感技术，模式识别，信号(图象)处理，工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，都提出了“由效果、表现反求原因、原象”的反问题。
反问题是一个新兴的研究领域，有别于传统的定解的正问题，反问题研究由解的部分已知信息来求解问题中的某些未知量。
在许多实际问题中，需要通过输出的(部分)信息来获取或识别系统的某些性质。
反问题已经发展成为横跨数学、物理、生物、计算机等众多科学的一个热门研究领域。
反问题可以写成如下的数学模型：Fx=y其中f: x→y为从空间X到Y的一个映射，与正问题相比，反问题的研究起步较晚，发展还远不成熟，并且反问题研究的难度一般比相应的正问题要大。
这是因为反问题的求解往往违背了物理过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。
这些困难主要体现在:与正问题相比，求解反问题面临的两个本质性的实际困难是: (l)原始数据可能不属于所论问题精确解所对应的数据集合，因而在经典意义下的近似解可能不存在; (2)近似解的不稳定性，即:原始资料的小的观测误差会导致近似解与真解的严重偏离。
也就是我们通常所说的Hadamard意义下不适定.Hadamard在1923年提出在经典意义下适定问题要满足下述三个条件：(l)该问题的解是存在的;(2)该问题的解是唯一的;(3)该问题的解对输入数据是稳定的。
上面的三个适定性条件无疑具有深刻的实际背景.首先对于实际问题，我们当然期望答案是存在唯一的.更重要的是，在实际获取的数据资料总是不可能是精确的。
除了前面提到的不适定性以外，反问题的研究还经常面临非线性的困扰。
即使正问题是线性的，它所对应的反问题也有可能表现为非线性，这为反演的研究和计算带来了很多麻烦。
为了求解非线性反问题，通常要线性化后反复进行正、反演迭代，在高维情况下需要十分巨人的计算量。
对于一个效率低下的算法在实际应用中将导致时间和人力、物力的极大浪费。
反问题概述及其数值求解方法阐述
反问题概述及其数值求解方法阐述姓名：赵天骐 学号：1014203026学院：电气与自动化工程学院 专业：电气工程1.反问题概述1.1什么是反问题近30年来，反问题不仅是学术领域中的一个话题，它已经被广泛的应用到工程学、医学、地质学、经济学、物理学等领域，无论在理论还是应用方面均取得了飞速的发展。
随着计算科学的发展，人们从计算的角度研究反问题，更加频繁地被应用于解决实际问题，比如其在石油勘测、医学图像处理、遥感技术、经济决策等领域。
但是，究竟什么是反问题？对此常常仁者见仁，智者见智。
它的严格定义很难给出，有点“只能意会，不能言传”的味道。
美国斯坦福大学的J. B. Keller (1976)提出：“若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题(Direct problem)，另一个为反问题(Inverse problem)。
”C. W. Groetsch则认为：”反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是正问题还是反问题。
”苏联学者Levrentiev则指出：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微分方程的系数或右端项。
”T. Robinson的观点是：“在数学上，通常是有了方程而要求此方程的解。
现在的情况是有了方程的解，必须把对应的方程找出来。
我喜欢后者。
”事实上，上述对反问题的各种说法虽然揭示了反问题和正问题类似于对偶的一种关系，但没有直观地反映出反问题的一个主要特征。
通常情况下，反问题在Hadamard意义下是不适定的。
其学术性的描述为：在两个相互为逆的问题中，如果一个问题在Hadamard意义下是不适定的，特别是若问题的解不连续地依赖于原始数据，则称该不适定问题为反问题。
即通常意义下的反问题一般应该是Hadamard不适定的，这也正是我们研究反问题的困难所在。
那么，什么是Hadamard意义下不适定呢？1923年，Hadamard给出了相反的定义，即什么是适定的。
Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究的开题报告
Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究的开题报告题目：Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究一、研究背景和意义：随着科学技术的进步，反问题研究成为了最热门的研究领域之一。
反问题的研究涉及到的学科领域非常广泛，其中数学、物理和工程等领域是最为重要的。
反问题包括了许多子领域，如参数反问题、区域反问题、混合反问题等等。
其中参数反问题是最为基础和重要的子领域之一。
Tikhonov正则化方法在参数反问题中得到了广泛应用，因为它可以通过降低噪声波动和提高解的光滑性来改进问题的稳定性。
然而，在应用Tikhonov正则化方法时，如何选取正则化参数是一个非常重要的问题，因为不同的正则化参数会影响到结果的精度和稳定性。
此外，不同类型的反问题需要对正则化参数作出不同的选择，这也是一个需要进一步探究的问题。
因此，我们需要对Tikhonov正则化参数的选取以及在不同类型的反问题中的应用进行深入的研究。
二、研究内容和目标：本文将主要研究Tikhonov正则化参数的选取方法，探讨其在参数反问题和区域反问题中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：1. 对Tikhonov正则化方法的优化算法进行研究，包括最小二乘方法、正交匹配迭代算法等。
2. 针对参数反问题，研究不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并比较其性能和精度。
3. 针对区域反问题，研究不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并比较其性能和精度。
4. 开发相应的计算程序，实现研究结果的数值验证和实际应用。
通过以上研究，本文旨在实现以下目标：1. 系统性地总结不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并探讨其适用范围和局限性。
2. 比较不同类型的Tikhonov正则化方法及其选取的正则化参数在参数反问题和区域反问题中的应用效果，提出相应改进措施，提高解的稳定性和精度。
3. 开发相应的计算程序，实现研究结果的数值验证和实际应用，为相关领域的研究提供参考。
正则化和反问题
正则化和反问题正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。
大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
反问题有两种形式。
最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。
许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。
显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。
那些很难被解决的问题则被称为不适定的。
一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。
另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。
在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。
然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。
求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相"邻近"的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。
通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。
正则化：Normalization，代数几何中的一个概念。
通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。
即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ：C*→PC^2,使得σ(C*)=C严格的定义如下：设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。
如果存在紧Riemann 面C*及全纯映射σ：C*→PC^2,使得(1)σ(C*)=C(2)σ^(-1)(S)是有限点集(3)σ：C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射则称(C*,σ)为C的正则化。
两类偏微分方程反问题的正则化方法和算法研究
两类偏微分方程反问题的正则化方法和算法探究专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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数值方法中的反问题正则化理论
数值方法中的反问题正则化理论数值方法是一种通过计算机进行数值计算的方法，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
然而，在实际应用中，我们常常遇到一类称为“反问题”的难题：已知结果，求解问题。
在数值方法中，这个反问题可以通过正则化理论来解决。
正则化理论是一种可以在反问题中添加约束条件的方法，以提高求解问题的稳定性和准确性。
在本文中，我们将介绍数值方法中的反问题正则化理论，并探讨其在实际应用中的作用。
首先，让我们先来了解什么是反问题。
在数值计算中，我们通常希望通过已知的输入数据，推导出未知的参数或者状态。
然而，由于观测数据的限制、误差或者噪声，求解这类问题变得困难。
这种由结果推导出问题的过程，称为反问题。
在反问题中，我们经常遇到一个重要的挑战就是不稳定性。
由于输入数据的不确定性，求解的结果往往对输入数据的微小变化非常敏感。
这导致了数值计算结果的不稳定性和不准确性。
为了解决这个问题，我们可以引入正则化理论。
反问题正则化理论通过约束条件来提高反问题的稳定性和准确性。
常见的约束条件包括Tikhonov正则化、方程约束和边界约束等。
这些约束条件可以限制问题的解空间，对求解结果进行约束，从而提高反问题的稳定性。
Tikhonov正则化是反问题正则化理论中的一个重要方法。
它通过在原问题中添加一个正则化项，来限制问题的解。
Tikhonov正则化可以通过解析方法或者优化方法来求解，具体的求解过程可以参考相关的数值计算方法。
通过引入Tikhonov正则化，反问题可以得到稳定和准确的结果。
方程约束是另一种常见的反问题正则化方法。
它通过向反问题添加一组约束方程，对问题的解进行约束。
这些约束方程可以基于已知的物理规律、数学模型或者经验公式等。
通过引入方程约束，反问题可以得到满足约束条件的解。
边界约束是一种特殊的反问题正则化方法。
它通过限制问题解的边界条件，来提高问题的稳定性和准确性。
边界约束可以根据具体的问题设定，例如对解的范围、梯度等进行约束。
拖缆水动力学的正问题与反问题研究
拖缆水动力学的正问题与反问题研究张大朋;朱克强;牛天鑫;王自发【摘要】Based on a two-dimensional model describing the motion of a flexible, inextensible cable in the pres-ence of hydrodynamic drag forces in an incompressible fluid, the problem of reconstructing the velocities of the ocean currents impinging on a towed streamer cable during an offshore seismic survey has been researched. Firstly, the forward model was introduced and then solved to get the cable′s velocity, curvature and tension in the knowl-edge of the towing vessel motion and the hydrodynamic loads applied. In sequence, the inverse problem of inferring the ocean current velocities from discrete samples of the cable′s shape and tension was formulated and the result shows that this is rank deficient and ill-posed. In approaching the inverse problem a numerically stable algorithm was adopted based on generalized Tikhonov regularization, in the context of robust differentiation of discrete noisy signals. In order to demonstrate the practical performance of the scheme, some examples of ocean current recon-structions obtained using simulated noisy data were presented. And it has certain guiding significance to the actual project practice.%基于不可压缩流体中受到水动力曳力作用下的不可伸长的挠性缆索的二维运动模型,研究了在海洋地震勘探中重构与流线型拖缆冲击的海流速度的问题.首先介绍了正问题模型,并在已知拖船运动和水动力载荷的条件下对拖缆的速度、曲率和张力进行了求解.然后,通过离散缆索形状和张力的样本值,提出了推断到海流速度的反问题,并发现这个反问题是缺秩和不适定的.在鲁棒离散噪声信号的背景下,解决逆问题数值稳定问题,采用了基于广义Tikhonov正则化算法.为了验证该方案的实用性,给出了一些用模拟噪声数据重建海流的例子.【期刊名称】《水道港口》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】10页(P375-384)【关键词】拖缆水动力学;海流速度重组;病态反问题【作者】张大朋;朱克强;牛天鑫;王自发【作者单位】宁波大学海运学院,宁波315211;宁波大学海运学院,宁波315211;宁波大学海运学院,宁波315211;中海油天津分公司,天津300450【正文语种】中文【中图分类】TV131.2对于拖曳线列阵来说，海流速度对于优缆索线型非常重要。
一个抛物型方程反问题的全变差正则化方法
一个抛物型方程反问题的全变差正则化方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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正则化方法求解偶应力反问题
正则化方法求解偶应力反问题姚宇新;薛齐文【摘要】Tikhonov's regularization approach has been used to identify parameters for the inverse couple-stress problem based on Bregman distances and weighted Bregman distances in the construction of regularization terms for the Tikhonov's function. The inverse problem is formulated implicitly as an optimization problem with the cost functional of squared residues between calculated and measured quantities. A FE model is given, taking account of inhomogeneity and facilitating to sensitivity analysis for direct and inverse problems. Satisfactory numerical validation is given including a preliminary investigation of effect of noise data on the results and the computational efficiency for different regularization terms. Results show that the proposed method can identify parameters for the inverse couple-stress problem with high computational precision/efficiiency and the ability of anti-noisy data. It could improve computational efficiency for the weighted Bregman distances function as regularization terms.%引入Bregman函数及其加权函数作为正则项,应用Tikhonov正则化方法,对偶应力反问题相关参数进行识别.利用相关测量信息和计算信息构造最小二乘函数.在考虑材料非均质的同时,建立了便于敏度分析的偶应力正/反问题数值求解模型.给出了相关的数值算例,并对信息误差以及不同正则项的计算效率作了探讨.数值结果表明所提的求解策略不仅能够对相关的材料参数进行有效识别,而且具有较高的计算精度、较好的稳定性和一定的抗噪性.采用加权的Bregman距离函数作正则项可以提高计算效率.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(011)033【总页数】4页(P8131-8134)【关键词】Bregman函数;偶应力;反问题;正则化【作者】姚宇新;薛齐文【作者单位】大连交通大学土木与安全工程学院,大连116028;大连交通大学土木与安全工程学院,大连116028;工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O343.1偶应力理论是研究具有微结构、一定特征尺度介质力学行为的重要工具之一。
正则化和反问题
正则化和反问题正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。
大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
反问题有两种形式。
最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。
许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。
显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。
那些很难被解决的问题则被称为不适定的。
一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。
另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。
在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。
然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。
求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相"邻近"的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。
通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。
正则化：Normalization，代数几何中的一个概念。
通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。
即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ：C*→PC^2,使得σ(C*)=C严格的定义如下：设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。
如果存在紧Riemann 面C*及全纯映射σ：C*→PC^2,使得(1)σ(C*)=C(2)σ^(-1)(S)是有限点集(3)σ：C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射则称(C*,σ)为C的正则化。
数学物理反问题中变分正则化方法的应用研究
数学物理反问题中变分正则化方法的应用研究
赵越;丁晓岩;吴磊
【期刊名称】《吉林建筑工程学院学报》
【年(卷),期】2014(031)002
【摘要】反问题是一类由输出结果反求原象的应用类数学问题.近年来,由于其应用的广泛性,反问题现已成为多学科交叉融合中的一个热点问题.本文对变分正则化方法的稳定性和构造方法进行研究,并对该方法的误差进行分析.实践表明,该方法能有效解决一部分数学物理反问题.
【总页数】3页(P84-86)
【作者】赵越;丁晓岩;吴磊
【作者单位】吉林建筑大学计算机科学与工程学院,长春130118;通化市东昌区江东乡中心小学,通化134000;吉林建筑大学计算机科学与工程学院,长春130118【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.数学思想方法在数学解题中的应用研究 [J], 臧亚东
2.数学思维在初中物理电学解题中的应用研究 [J], 沈舒虹
3.数学思维在初中物理电学解题中的应用研究 [J], 沈舒虹
4.数学方法在初中物理解题中的应用研究 [J], 肖嗣忠
5.地球物理反问题中两种正则化方法的比较 [J], 顾勇为;归庆明;边少锋;郭建峰
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反问题概述概要
秘密就在回声中
数学物理史上有趣的问题：
不用眼睛看，仅仅通过聆听鼓的声音能否判断
出鼓的形状？（盲人听鼓）
1910年丹麦著名物理学家劳
伦兹(Lorentz)在哥廷根的系列演讲“物理学中
的新、旧问题”中提出。
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当物体的材料确定后，它的音色和其形状密切相关。在数学上，一个物体的音色可 以由一串谱
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严格说来， “盲人听鼓”问题的答案 是否定的。但是，对这个问题的研究启发 了我们。当不能用眼睛直接观测时，以耳 代目也能够获得关于物体形状的很多有用 信息。举一个生活中的例子，夏天人们挑 西瓜，总是把瓜放在耳边，用手拍一拍， 有经验的人就知道瓜瓤熟不熟。
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深海区的石油探测就是应用了类似的原理。勘探地球物理 学家希望能够叩问地球，用耳朵“听”出地下的地质构造， 从而判断出油藏的“准确”位置和储量。
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数据采集船上带有气枪。当压缩空气被突然 释放时，气枪会产生剧烈的爆炸声波。声 波向地下传播，遇到构造变化会产生反射、 散射和折射。这些回声中携带了地下的地 质信息，被海面采集船拖带的检波器接收， 记录为地震数据。海底宝藏的秘密就隐藏 在这些数据里。
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现行的勘探技术主要分为三步：
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科学史上的著名的案例
1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后， 法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料，包 括了1781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天体力 学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现象：用 全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新数据相比 误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据重新计算轨 道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非 常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究竟是因为旧的观 测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对这颗行星的干扰？ 我将这个谜留待将来去揭示。”
基于正则化方法的阶梯边界条件反问题研究
基于正则化方法的阶梯边界条件反问题研究
阶梯边界条件反问题是一类重要的反问题，其在实际应用中具有广泛的应用价值。
为了解决这类问题，研究者们提出了许多方法，其中正则化方法是一种常用的方法。
正则化方法是一种通过引入某种先验信息来约束反问题解的方法。
在阶梯边界条件反问题中，正则化方法可以通过引入边界条件的平滑性来约束反问题解。
具体来说，可以通过引入二阶导数的平方作为正则化项，来约束反问题解的平滑性。
这样做的好处是可以有效地抑制反问题解中的高频噪声，从而得到更加平滑的解。
在实际应用中，正则化方法的具体实现方式有很多种。
其中，Tikhonov正则化方法是一种常用的方法。
该方法通过引入一个二次范数作为正则化项，来约束反问题解的平滑性。
具体来说，可以将反问题的目标函数表示为：
J(u) = ||Au - f||^2 + λ||Lu||^2
其中，A是正演算子，u是反问题解，f是观测数据，L是边界条件的二阶导数算子，λ是正则化参数。
通过调整正则化参数λ的大小，可以控制反问题解的平滑程度。
除了Tikhonov正则化方法外，还有一些其他的正则化方法也可以用于解决阶梯边界条件反问题。
例如，L-curve正则化方法、Morozov 正则化方法等等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法。
总之，正则化方法是一种有效的解决阶梯边界条件反问题的方法。
通过引入边界条件的平滑性来约束反问题解，可以得到更加平滑的解，从而提高反问题的解决精度。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点来选择合适的正则化方法，以得到最优的解决效果。
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正则化和反问题正则化(regularization)在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。
大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
反问题有两种形式。
最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。
许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。
显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。
那些很难被解决的问题则被称为不适定的。
一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。
另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。
在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。
然而，通过使用我们的先验知识，我们通常有希望能够得到一个接近准确解答的答案。
求解不适定问题的普遍方法是：用一族与原不适定问题相"邻近"的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。
通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。
正则化：Normalization，代数几何中的一个概念。
通俗来说，就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。
即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ：C*→PC^2,使得σ(C*)=C严格的定义如下：设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。
如果存在紧Riemann 面C*及全纯映射σ：C*→PC^2,使得(1)σ(C*)=C(2)σ^(-1)(S)是有限点集(3)σ：C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射则称(C*,σ)为C的正则化。
不至于混淆的时候，也可以称C*为C的正则化。
正则化的做法，实际上是在不可约平面代数曲线的奇点处，把具有不同切线的曲线分支分开，从而消除这种奇异性。
反问题简介顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。
以前面所举的"盲人听鼓"反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较成熟。
此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。
如何区分某个问题的"正""反"?这并没有一个严格的标准，但是我们可以粗略地这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。
所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。
可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。
在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。
这些都可以提出为某种形式的反问题。
可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。
现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。
简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解定向设计工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。
在这方面，从事反问题研究的数学家可以为企业家出谋划策。
事实上，最早的反问题研究就是起源于定向设计问题。
我们知道，单摆的等时性只是在小角度的假设下才近似成立。
能不能找到一种特殊轨线的摆，使它严格满足等时性?Huygens于1673年提出并解决了这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为到了十九世纪，挪威数学家Abel将Huygens的问题推广为：测出了物体从不同高处落下的时间，如何反求物体下落的轨道?他于1823年给出了问题的解答。
当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用武之地，许多工业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数学手段。
例如，国外的光学仪器厂家提出：能否设计一种光栅，利用其非线性衍射效应产生出高能量的单色光射线?这就是一个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所需要的曲面(光栅)形状。
定向设计不限于产品，它的应用相当广泛。
比如说：一个城市的某条街道车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流?在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰炸效果?这类问题往往涉及各种事物的组合、分配、布局，要求在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导的决策提供依据。
物性探测给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里面的形状吗?如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的截面半径就可以了。
美国贝尔电话实验室的Sondhi和Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪器测量管口的位移速度和压力。
通过测量结果就可以推知管内的截面半径。
理论计算与实验结果吻合得很好。
不要小看了这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探测问题可以通过类似的间接方法来解决。
我们通常说"上天入地"都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须"入地"才能解决问题，比如说石油勘探。
石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来探测不但费用昂贵(一口井的代价要上千万元)，而且效率极低(只能探测到井附近的局部信息)。
一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。
可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息(地层的密度、声速等等)，利用数学手段将这些信息提取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。
这很象在夏天人们挑西瓜，把瓜放在耳边拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不熟，不需要切开来看，不会破坏西瓜的完整。
类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。
位于三峡库区的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是历经三千余年的变迁，已经难以确认了。
科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物作出了贡献。
扫描成像在前面讲到的Abel反问题中，如果把下落的物体用扫描射线替代，从另一个角度来看它为我们提供了从射线的走时响应反推其传播轨迹的方法，将不同轨迹射线的反演结果组合起来就能得到传播介质的内部形态信息。
本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形貌的方法。
据此Mohobovic(1909年)发现了地壳与地幔之间的断层。
现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。
例如，通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形状。
成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像(CT)，这是X光射线自Roentgen发明(获1900年诺贝尔奖)以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。
CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。
继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。
事实上，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。
逆时反演及其它在科学研究中，我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状态，希望了解它的过去，即通常所说的"恢复历史的本来面目。
"这往往可以提为逆时反问题。
当然，反问题研究不是历史学，它所研究的对象一般要满足某种类型的演化方程或数学模式。
例如，通过远程测得的某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量?这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能否确定过去某个时间的温度状态?这就成为热传导方程的逆时反问题。
前面介绍了反问题的几种类型，它们在研究和应用上经常是相互联系的，分门别类只是为了叙述方便。
另外，反问题与其它数学学科之间并没有一个严格的界限，而是互为补充，互相促进。
反问题的研究起源于数理方程，其反演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多思想和技巧。
另一方面，反问题的研究也促进了人们对世界的认识，使得研究更全面、深化。
一个著名的例子是反散射方法在孤立子发现中的作用：反散射问题是量子物理学研究中的一个问题，通过谱和谱函数在无穷远处的散射性态反推一维Schordinger方程的位势函数。
它由前苏联数学家Gelfand和Levitan(1955年)一举解决。
在此基础上引发了一系列突破性进展，最为著名的是利用这个结果Lax(1968年)得到了关于KDV方程的巧妙解法，从而发现了非线性方程中的孤立子现象。
这是近代非线性科学研究的重要事件。
反问题研究的难点及对策与正问题相比，反问题的研究起步较晚，发展还远不成熟。
从本质上来说，反问题的研究的难度一般比相应的正问题要大。
这是因为反问题的求解往往违背了物理过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。
这种现象在许多学科的研究中都是普遍存在的。
比如说：曹雪芹创作了古典名著《红楼梦》，这是人所共知的，但是要从现存的史料和文物"碎片"来恢复这位伟大作家的人生经历和创作历程则是一件万分艰辛的事情，更何况这些"碎片"信息真伪交杂，且时有含混。
反问题的研究也经常遇到类似的困难，这些困难体现在：1.存在性：我们要求的反问题的解很可能不存在！无解的原因多种多样，可能是在定向设计中问题的提法不合理，也可能是探测时接收到的响应中含有假信息(噪音)，将求解引入歧途。