第三章-传输线和波导

典型的TEM波 分析方法

是两板间媒质的本征阻 抗。
上板相对于下板的电压：
上板的总电流：
因此，特性阻抗为：
依赖于波导几何尺寸 和材料参数的常数。 与光在材料媒质中的 速度相同。
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相速：
3.2.2 TM波
Hz=0，Ez≠0，W>>d, 认为在x方向电场无变化 波方程简化为：
2. 3. 4.
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3.1.4 由电介质损耗引起的衰减
有时，为了减小波导的体积尺寸，将会在其内部填充 介质。由介质引起的衰减可写为：
k 2 tan d 2 Np / m (T E或T M)
电介质均匀填充 （泰勒展开）
对于TEM波也适用，此时 k
d
V0 jkz （3.35） e d V0 jkz （3.36） 1 ˆ ˆ H ( x , y , z ) z E ( x, y , z ) x e d ˆ E ( x, y, z ) e ( x, y )e jkz y
k 是T EM 波的传播常数，
(3.10)
同理可得： 根据（3.1a） 得： 其中，
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ˆez ( x, y)]e jz E ( x, y, z) [e ( x, y) z
(3.11)
TEM波的横向 电场满足拉 普拉斯方程。
是横向二维拉普拉斯算子。
同理横向磁场也满足拉普拉斯方程： (3.12) TEM波的横向场与存在于导体间的静电场相同。
(3.5b) (3.5c)
j E z H z Ey 2 kc y x
其中， kc k
2 2 2
源自文库
(3.5d)
截止波数
k 2 /
式（3.5a~d）对于边界条件平行于z轴的时谐系统而言具有普适性。
kC
决定了电磁场在传输系统中的模式或场型。这反映了传输系统的物质、 形状和几何尺寸对电磁能量的束缚作用。
2 2 k kC 意义:（传播状态）
方程中β由
kC 和k决定，这反映了由波源进入的微波信号（ω、λ），
在某一确定传输系统中的传输情况，即反映了导行波的传播特征。如：纵 向场的分布和信号能量纵向推进的快慢。
导行波：
这种形式的场时变规律是一种“原地振动”的正弦振荡，其振幅 沿+z轴以指数衰减，完全没有波的向前传播的特性。这种状态对应的 模式称为截止模式或消逝模。 二者的分界——截止频率fc
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k 2fc kc
截止频率fc： 截止波长：
fc
j E z H z 2 kc y x j E z H z Hy 2 kc x y Hx Ex j E z H z kc2 y x
(3.5a)

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kc2 k 2 2
kC 意义： 2 ez ( x, y) 0 的本征值。 特定边界条件下偏微分方程 2ez ( x, y) kC 本征值对应的一系列本征函数 本征值
ez ( x, y) ，是纵向电场的场分布函数。
本征函数 传播模式和场型
ˆez ( x, y)]e jz E ( x, y, z ) [e ( x, y) z ˆhz ( x, y)]e jz H ( x, y, z ) [h ( x, y) z
(3.1a)
(3.1b)
＋z方向传播，
－β→β可得－z方向传播
存在损耗时 e ( x, y )和h ( x, y )代 表 横 向 ( x , y )电 场 和 磁 场 分 量 ， γ=α +jβ → jβ
若采用静电情况下 的标势来表示电场：
其中， 可以证明，
标势(scalar potential) (3.13) 是二维梯度算子。
也满足拉普拉斯方程。 (3.14)
由于闭合导体各部分的静电势相同，根据式（3.13）可知，电场 为零，因此单一导体不能支持TEM波。只有当两个或更多的导体存 在时，TEM波才能够存在。
ez 和hz 是 纵 向 电 场 和 磁 场 分 。 量
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对于无源传输线或波导而言，麦克斯韦方程可写为：
E jH H jE
z j E jH y x y E z jH j E x y x E E y x jH z x y H z j H jE y x y H z jE j H x y x H H y x jE z x y
k tan 2
Np / m
(TEM )
与场分布有关 （微扰法）
若导体损耗引起的衰减为 c 总的衰减常数为：
c d
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3.2 平行平板波导
W >> d,
填充材料：μ ，ε
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3.2.1 TEM波
求解静电势的拉普拉斯方程并由边界条件得出电场和磁场：
(3.2a) (3.2b)
jz 因为电磁场具e 有 的随 z的 变 化 关 系 ， 上 述 方 可 程 简化为：
E
(3.3a) (3.3b) (3.3c) (3.4a) (3.4b)
思路： 利用纵向场表示 横向场
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(3.4c)
利用Ez和Hz，四个横向场分量可表示为：
本节思路：
1.利用麦克斯韦方程，得到由纵向分量表示的电磁场横向分量。 2.根据TEM、TE和TM波纵向场的特征，根据1中的关系式写出 这三种电磁波沿z方向传播时的电磁场表达式。
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普 通 双 导 体
封 闭 式 波 导
具有平行于z轴方向导体边界的任意传输线和波导结构，假设z方向均匀 且无限长，导体为理想导体。沿z方向传播的时谐电磁场（ejωt）可写为：
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3.1.1 TEM波
横电磁波(Transverse Electromagnetic Wave)
Ez H z 0
z j E j H y x y H z j E j H x y x
E
(3.3a) (3.4b)
Ez H z 0
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讨论：
1. 2.
3.
n=0时，
，TM0与TEM一样
n≥1时，每个n值对应不同的kc与β，对应不同模式TMn 由于
k 2 kc2 ，对于既定的实数kc，
虚数
a. 当k > kc时，β是实数。 导行波：
这种形式的解代表波动过程，其中相位因子代表沿+z方向传播的 波。这种状态称为传播状态. b. 当k < kc时，β是虚数。 实数
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分析TE、TM波的过程：
1.
求解关于hz或ez的亥姆霍兹方程（3.21）或（3.25）。解包含若干未知量和 未知的截止波数kc 。 利用式（3.19）和（3.23），由hz或ez计算横向场。 把边界条件应用于相应的场分量，求出未知常数和kc。 传播常数由式（3.6）给出，波阻抗由式（3.22）或（3.26）给出。
§ 3 传输线和波导
TEM、TE和TM波的通解 平行板波导电磁场结构（了解） 矩形波导主模及场结构 同轴线主模及场结构 圆波导主模及场结构 带状线和微带线 波速和色散
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引言：
低耗传输微波功率的波导和其它传输线的出现是微波工程早期的里程碑之一。 瑞利于1897年建立了金属波导管内电磁波的传播理论，纠正了亥维赛关于没有
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5.
相速
vp

c
r r
c
r r
kc2 1 2 k
2 1 2 c

6. 导波波长
k 2 kc2 k
vp c

k
TM波是一种快波
g
2
0


r r
2 kc 1 k2
不同模式对应不同的kc，因此不同模式的vp，λg不同。
由式（3.15）计算V，由式（3.16）计算I。 传播常数由式（3.8）给出，特征阻抗由Z0=V/I给出
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3.1.2 TE波
横电波(H波)
3.1.3 TM波
横磁波(E波)
Ez 0,
Hz 0
(3.19a)
Ez 0,
式（3.5）简化为：
Hz 0
(3.23a) (3.23b) (3.23c) (3.23d)
kc 2

n 2d
c
2d n
当工作频率f > fc时， k > kc，β是实数，波动状态。 当工作频率f < fc时， k < kc，β是虚数，电场快速衰减，
称为截止模(cutoff mode)或消逝模(evanescent mode) 4. 波阻抗 f > fc时，是纯实数。 f < fc时，是纯虚数。
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7.
若把TM(TE)波导模传播看成是一对上下弹跳的平面波则： 对于TM1模： （3.55）
等效于：
（3.56） +y，+z方向斜传输的平面波
面传输线（槽线、鳍线、共面波导）的出现。
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3.1 TEM、TE和TM波的通解
TEM波： Transverse Electronicmagnetic Wave
TE 波： Transverse Electric Wave TM波： Transverse Magnetic Wave
(3.19b) (3.19c) (3.19d)
波阻抗为：
(3.22) (3.26)
与频率有关，可以存在于封闭导体内，也可在两个或更多导体之间形成。
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3.1.2 TE波
由亥姆霍兹方程：
3.1.3 TM波
由亥姆霍兹方程：
因为：
上式简化为：
(3.21)
因为：
上式简化为：
y j H
j E
j H x j E
x y
消去Hx
2 E y 2 E y
k
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TEM波截止波数 kc k 2 2 为零。
对于Ex的亥姆霍兹方程而言：
(3.9)
对于 的依赖关系：
(3.9)式简化为：
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因此，对于TEM波的求解可以转换为对静电场问题的求解：
(3.15) (3.16) (3.17) (3.18)
分析TEM波的过程：
1. 2.
求解拉普拉斯方程（3.14）得到标势。解包含若干未知量。 对于导体上的电压应用边界条件，求得未知量。
3.
4. 5.
由式（3.13）和（3.1a）计算电场，由式（3.18）和（3.1b）计算磁场。
(3.25)
对于TE，TM波而言， ,传播常数 是频率和传输线或波导的几 何尺寸的函数，反映了由波源进入的微波信号在某一确定传输系统中的传输情况， 即导行波的传播特征。 需要根据特定的边界条件求解。 截止波数 kc决定了电磁场在传输系统中的模型或场型 传输系统的物质，形状和尺寸对电磁能量的束缚作用。
内导体的空心金属管内不能传播电磁波的错误理论。
40年后的1936年，索思沃思和巴罗等人发表了有关波导传播模式的激励和测量
方面的文章后，波导才有了重大的发展。
早期的微波系统主要使用波导和同轴线作为传输线，波导功率容量高，损耗低，
但体积大，价格昂贵；同轴线工作频带宽，但难于制作微波元件。
于是有了第二次世界大战中带状同轴线和1952年微带线的出现以及后来更多平
其通解： 边界条件： 则：
0 x
（3.41） （3.42） y = 0， d
B=0，kcd = nπ，n = 0,1,2,3… 离散值 （3.45）
因此， 传播常数β
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则纵向场：
（3.46） （3.47）
横向场分布： （3.48a）
（3.48b） （3.48c）