第5节 级数在经济学上的应用
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1000 D1 5000 1 (1 0.2)
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
贷款总额 D2 由级数
1000(1 0.2) 1000(1 0.2)2
决定， 其和为
1000(1 0.2) D2 4000 1 (1 0.2)
7/9/2013 1:16 AM
因此在通货膨胀情况下， 计算总费用 D 的等比 级数为 D p pe ( r i )t pe 2( r i )t pe n( r i )t
p pe ( r i ) t ( r i )t ( r i )t 1 e e 1
7/9/2013 1:16 AM
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第8章
无穷级数
类似地，建木桥的费用为
200000 e 0.115 200000 4.482 D3 257440 0.115 e 1 4.482 1
油漆木桥费用为
20000 e 0.12 20000 1.2214 D4 110243.8 0.12 e 1 1.2214 1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
法定准备金 例1 设最初存款为1000万元， 率为20%，求银行存款总额和贷款总额。 解 根据题意 R 1000 , r 0.2 存款总额 D1 由级数
1000 1000(1 0.2) 1000(1 0.2)2
决定， 其和为
D R R(1 r ) R(1 r )2 R(1 r )n 1 R R 1 (1 r ) r
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第8章
无穷级数
1 若最初存款 若记 K m ， 称为货币创造乘数。 r
是既定的，法定准备金率 r 越低， 银行存款和 这是一个等比级数问题。 放款的总额越大，
§8.5 级数在经济学上的应用
1. 银行通过存款和放款“创造”货币问题
2. 投资费用
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
1.银行通过存款和放款“创造”货币问题
设 R 表示最初存款，D 表示存款总额（即 最初存款“创造”货币总额），r 表示法定准
且 备金占存款的比例， r 1 ， 当存款与放款一 则 直进行下去时，
第8章
无穷级数
2.投资费用
t 设初期投资为 p ， 年利率为 r ， 年重复一
pe rt， 次投资。 这样第一次更新费用的现值为
第二次更新费用的现值为 pe 2rt， 以此类推，
投资费用 D 为下列等比数列之和：
D p pe rt pe 2rt pe nrt
建桥费用+油漆费用
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
对建钢桥 p 380000 , r 0.1 , t百度文库 40
r t 0.1 40 4
建钢桥费用为
D1 p pe 4 pe 24 pe n4 p pe 4 4 4 1 e e 1
p pe rt rt rt 1 e e 1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
每隔10年 例2 建钢桥的费用为380000元， 需要油漆一次， 每次费用为40000元，桥的期望 寿命为40年； 建造一座木桥的费用为200000元 其 每隔2年需油漆一次， 每次费用为20000元， 期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪 一种桥较为经济？ 解 根据题意， 桥费用包括两部分：
建木桥总费用的现值为
D D1 D2 367683.8
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第8章
无穷级数
现假设价格每年以百分率 i 涨价，年利率 为r ， 若某种服务或项目的现在费用为 p0 时， 则 t 年后的费用为 At p0e it ， 其现值为
pt At e rt p0e ( r i ) t
e 4 54.598 ， 其中 则
380000 54.598 D1 387090.8 54.598 1
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第8章
无穷级数
油漆钢桥费用为
40000 e D2 e 0.110 1
0.110
63278.8
故建钢桥的总费用的现值为
D D1 D2 450369.6
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第8章
无穷级数
贷款总额 D2 由级数
1000(1 0.2) 1000(1 0.2)2
决定， 其和为
1000(1 0.2) D2 4000 1 (1 0.2)
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因此在通货膨胀情况下， 计算总费用 D 的等比 级数为 D p pe ( r i )t pe 2( r i )t pe n( r i )t
p pe ( r i ) t ( r i )t ( r i )t 1 e e 1
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第8章
无穷级数
类似地，建木桥的费用为
200000 e 0.115 200000 4.482 D3 257440 0.115 e 1 4.482 1
油漆木桥费用为
20000 e 0.12 20000 1.2214 D4 110243.8 0.12 e 1 1.2214 1
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第8章
无穷级数
法定准备金 例1 设最初存款为1000万元， 率为20%，求银行存款总额和贷款总额。 解 根据题意 R 1000 , r 0.2 存款总额 D1 由级数
1000 1000(1 0.2) 1000(1 0.2)2
决定， 其和为
D R R(1 r ) R(1 r )2 R(1 r )n 1 R R 1 (1 r ) r
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第8章
无穷级数
1 若最初存款 若记 K m ， 称为货币创造乘数。 r
是既定的，法定准备金率 r 越低， 银行存款和 这是一个等比级数问题。 放款的总额越大，
§8.5 级数在经济学上的应用
1. 银行通过存款和放款“创造”货币问题
2. 投资费用
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第8章
无穷级数
1.银行通过存款和放款“创造”货币问题
设 R 表示最初存款，D 表示存款总额（即 最初存款“创造”货币总额），r 表示法定准
且 备金占存款的比例， r 1 ， 当存款与放款一 则 直进行下去时，
第8章
无穷级数
2.投资费用
t 设初期投资为 p ， 年利率为 r ， 年重复一
pe rt， 次投资。 这样第一次更新费用的现值为
第二次更新费用的现值为 pe 2rt， 以此类推，
投资费用 D 为下列等比数列之和：
D p pe rt pe 2rt pe nrt
建桥费用+油漆费用
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
对建钢桥 p 380000 , r 0.1 , t百度文库 40
r t 0.1 40 4
建钢桥费用为
D1 p pe 4 pe 24 pe n4 p pe 4 4 4 1 e e 1
p pe rt rt rt 1 e e 1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
每隔10年 例2 建钢桥的费用为380000元， 需要油漆一次， 每次费用为40000元，桥的期望 寿命为40年； 建造一座木桥的费用为200000元 其 每隔2年需油漆一次， 每次费用为20000元， 期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪 一种桥较为经济？ 解 根据题意， 桥费用包括两部分：
建木桥总费用的现值为
D D1 D2 367683.8
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
现假设价格每年以百分率 i 涨价，年利率 为r ， 若某种服务或项目的现在费用为 p0 时， 则 t 年后的费用为 At p0e it ， 其现值为
pt At e rt p0e ( r i ) t
e 4 54.598 ， 其中 则
380000 54.598 D1 387090.8 54.598 1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
油漆钢桥费用为
40000 e D2 e 0.110 1
0.110
63278.8
故建钢桥的总费用的现值为
D D1 D2 450369.6