23连续型随机变量的数学期望与方差

12
3、方差的常用的计算公式
(1)D( )

E[

E( )]2


[x

E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）

x2 p(x)dx

x p( x)dx


例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
P
p1
p2
··· xn
···[xn E( )]2
··· pn
(1)D( ) E[ E( )]2 [x1 E( )]2 P1 [x2 E( )]2 P2 [xn E( )]2 Pn
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
5
4、方差的性质
15
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为

若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：

E( ) xp(x)dx
16
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b

(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
10
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义
D( )
11
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
13
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
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下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
i 1
bi p(bi )xi


xp(x)dx

E

i1
8
1、连续型随机变量的数学期望的定义
设连续型随机变量 的密度函数为 p(x)

若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：

E( ) xp(x)dx
例1 随机变量的概率密度函数
p(
x)

Байду номын сангаас

2020年3月7日星期六
1
一、复习
（一）离散型随机变量取值的数学期望
1、数学期望的定义
X x1 x2 ··· xk ···
P p1 p2 ··· pk ···
EX x1 p1 x2 p2 xk pk
说明:(1)E(X)它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(2)当k 时， xk pk 收敛，E(X) 才存在。
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
7
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
L
P p(b0 )x0 p(b1)x1
L
【xn1, xn）
p(bn 1 )xn 1
离散型随机变量η的概率分布表:
（二）离散型随机变量取值的方差 1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义 D( )
4
随 3、方差的常用的计算公式
机 变 量

x1
x2
[ E( )]2 [x1 E( )]2 [x2 E( )]2
(1)D(c) 0
(3)D( b) D( )
(2)D(k ) k 2D( ) (4)D(k b) k 2D( )
6
二、新课
（一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
设连续型的概率密度函数y p(x)
在x轴上取很密的分点： y
x0 x1 x2 L xn
1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义
D( )
18
3、方差的常用的计算公式
(1)D( )

E[

E( )]2


[x

E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
k
2
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b (2)EaX aEX (3)EX b EX b
(4)Eb b X b P1
(5)EX Y EX EY
(6)E f ( ) f (xk )PK 3 k
3、方差的常用的计算公式
(1)D(
)

E[

E(
)]2

[x

E(
)]2
p( x)dx
根据数学期望(6)E( f ( ))

f (x)p(x)dx

(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）

x2 p(x)dx

x p( x)dx
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY

(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
17
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
21

x2 p(x)dx

x p( x)dx


19
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
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五、作业
• 课本第90页 第5题
η
b0
b1
L
P p(b0 )x0 p(b1)x1
L
bn1
p(bn 1 )xn 1
n
E 与E 很接近，E = bi p(bi )xi
i 1
n
nn ,maxxi0 lim 如果 bi p(bi )xi的极限存在 n

6x(1 x)，当0 x 1
0
当x 0或x 1时
求随机变量的数学期望。
9
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY