博弈论与信息经济学讲义06-4

纳什均衡应用举例
如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”， 任务是攻克“敌人”占据的一座城市，敌人有 三个师的兵力，规定双方的兵力只能整师调动。 通往城市的道路只有甲乙两条，当你发起攻击 的时候，你的兵力超过敌人，你就获胜，你的 兵力比敌人的守备兵力少或者相等，你就失败， 那么你将怎样部署你的攻城方案？
五 混合战略纳什均衡
社会福利博弈
政府
流浪汉
寻找工作 流浪
2
3
救济 3，
-1，
1
0
不救济 -1，
0，
没有一个战略组合构成纳什均衡
五 混合战略纳什均衡
社会福利博弈
政府
流浪汉
寻找工作 流浪
2
3
救济 3，
-1，
1
0
不救济 -1，
0，
设：政府救济的概率：1/2 ；不救济的概率：1/2。 流浪汉：寻找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8 每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略
案例2 公共地的悲剧
当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其
他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，
每只羊的价值将急剧下降。
v
v G
0,
2v G 2
0
参与人：农民 战略： 养羊的数量 支付： 利润
Gmax
G
案例2 公共地的悲剧
假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利
润函数为：
i (g1,, gi ,, gn ) giv( g j ) gic i 1,, n
1
q1
P(q1
q2 )
q1P' (q1
q2 )
C1' (q1)
0
2
q2
P(q1
q2 ) q2 P' (q1
q2 ) C2' (q2 )
0
q1* R1(q2 ) q2* R2 (q1)
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
q1* R1(q2 )
q1
q2* R2 (q1)
求微分，得到政府最优化的一阶条件：
vG 5 1 0 故 * 0.2
即：流浪汉以0.2的概率选择寻 找工作，0.8的概率选择游荡
支付等值 法
五 混合战略纳什均衡
假定最优混合战略存在，给
流浪汉
定流浪汉选择混合战略（r， 1- r），政府选择纯战略救
寻找工作
济的期望效用为：
2
3
3r+（-1）（1-r）=4r-1
▪每个企业的最优产量是 另一个企业的产量的函
q1*
数。
▪交叉点即纳什均衡点
R1(q2 )
R2 (q1)
q
* 2
q2
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
假定每个企业有不变的单位成本：
C1(q1) q1c C2 (q2 ) q2c
假定需求函数为：
P a (q1 q2 )
最优化的一阶条件是：
四 纳什均衡
寻找纳什均衡
C1
R1
0，4
参与人A R2
4，0
R3
3，5
参与人B
C2
4，0 0，4 3，5
C3
5，3 5，3 6，6
（R3，C3）是纳什均衡
四 纳什均衡
练习：---作业4
投票博弈：假定有三个参与人（1，2和3）要在三个项 目（A，B和C）中投票选择一个，三个参与人同时投 票，不允许弃权，因此战略空间为Si=（A，B，C）。 得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数 票，项目A被选中，参与人的支付函数如下： u1（A）=u2（B）=u3（C） u1（B）=u2（C）=u3（A） u1（C）=u2（A）=u3（B） 找出这个博弈中所有的纳什均衡。
对*= 0.5的解释
如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选 择是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉 的最优选择是寻找工作.
流浪汉 寻找工作的概率小于0.2
政府 概率为1：不救济
流浪汉 寻找工作
政府 救济
பைடு நூலகம்
五 混合战略纳什均衡
警察与小偷
1万元
酒馆 东边
小偷
警察
警察与小偷的最优策略各是什么？
博弈论与信息经济学
（Game Theory and Information Economics )
张玲玲
中国科学院研究生院管理学院
zhangll@gscas.ac.cn
主要内容简介
第一章 概述-人生处处皆博弈
第一篇 非合作博弈理论
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡 第三章 完全信息动态搏弈-子博弈精炼纳什均衡 第四章 不完全信息静态博弈-贝叶斯纳什均衡 第五章 不完全信息动态博弈-精练贝叶斯纳什均衡
五 混合战略纳什均衡
混合战略纳什均衡的含义：
纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混 合战略下的最优选择。因此在社会福利博弈 中， * 0.2 ， *=0.5是唯一的混合战略纳什均衡。
从反面来说，如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概 率严格小于0.2，那么政府的唯一最优选择是纯战略： 不救济；
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
（q1*，q2*）是纳什均衡意味着：
q1* arg max1(q1, q2* ) q1P(q1 q2* ) C1(q1) q2* arg max 2 (q1*, q2 ) q2 P(q1*, q2 ) C2 (q2 )
找出纳什均衡的方法是对每个企业的利润函数求 一阶导数，使其为0。
g
* i
gi (g1,,
gi1,
gi1 ,
gn ), i
1,, n
因为： 所以：
2 i
gi2
v' (G) v' (G) giv'' (G) 0
2 i
g jgi
v' (G) giv'' (G)
0
2 i
gi g j
g jgi
2 i
0
g
2 i
案例2 公共地的悲剧
第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增 加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什均 衡。
2万元
银行 西边
支付最大 化法
五 混合战略纳什均衡
流浪汉
寻找工作
流浪
2
3
救济 3， -1，
政府
1
0
不救济 -1， 0，
同样，可以根据流浪汉 的期望效用函数找到政 府的最优混合战略。？？
假定政府的混合战略是 G （，1）； 流浪汉的混合战略是 L （，1 ）。
政府的期望效用函数为：
v（ G， L） （3 （1）（1 ）） （1）（ （ 0 1 ）） （5 1）
1
q1
a
(q1
q2 )
q1
c
0
2
q2
a (q1
q2 ) q2
c
0
q1*
R1(q2 )
1 2
(a
q2
c)
q2*
R2 (q1)
1 2
(a
q1
c)
解反应函数得纳什均衡为：
q1*
q2*
1 3
(a
c)
垄断利润为：
1(q1*,
q2* )
2
(q1*,
q2* )
1 9
(a
c)2
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
为什么说库诺特（Cournot）寡头竞争模型是 典型的囚徒困境问题？
垄断企业的问题：
Max Q(a Q c) Q
垄断企业的最优产量：
Q*
1 2
(a
c)
q1*
q2*
2 3
(a
c)
垄断利润为：
➢寡头竞争的总产量大 于垄断产量的原因是：
➢每个企业在选择自己 的最优产量时，只考虑 对本企业利润的影响， 而忽视了对另外一个企 业的外部负效应。
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
案例2 公共地的悲剧
公共地的悲剧证明：如果一种资源没有排他性 的所有权，就会导致资源的过度使用。
✓ 公海捕鱼 ✓ 小煤窑的过度发展 ✓ ……
案例2 公共地的悲剧
有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在
五 混合战略纳什均衡
✓ 战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则， 它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参与人 的“相机行动方案”。
❖ 纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信 息情况下只选择一种特定的行动，该战略为 纯战略。
❖ 混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行动， 则该战略为混合战略。
主要内容简介
第二篇 信息经济学
第六章 委托-代理理论（I） 第七章 委托-代理理论（II） 第八章 逆向选择与信号传递
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡
一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡 四 纳什均衡 五 纳什均衡应用举例
二 占优战略均衡
案例1-囚徒困境
m 1 (a c)2 2 (a c)2
4
9
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
练习：--选做
假定有n个库诺特寡头企业，每个企业具有相 同的不变单位成本c，市场逆需求函数p=a-Q， 其中p是市场价格，Q j是qj 总供给量，a是大于0 的 润常i数 q，i (a企，Q业给的c)定战其略他是企选业择的产产量量qi最q-i大，，化求利库 诺特-纳什均衡，均衡产量和价格如何随n的变 化而变化？为什么？
草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多 少只养。
gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,…,n.
n
G gi n个农民饲养的总量 i 1
V: 代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G),
因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最 大的可存活量Gmax,：
当G<Gmax时,v(G)>0; 当G>=G(x)时,v(G)=0。
救济 3， -1，
选择纯战略不救济的效用为： 政府
1
0
-1r+0（1-r）=-r
不救济 -1， 0，
如果一个混合战略（而不是
纯战略）是政府的最优选择， 一定意味着政府在救济与不
流浪
救济之间是无差异的。
4r-1=-r r=0.2
五 混合战略纳什均衡
练习：模型化下述划拳博弈：---作业5
两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战略： 杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是：杠子降 鸡，鸡吃虫子，虫子降杠子，两人同时出令。 如果一个打败另一个，赢的效用为1，输的效 用为-1，否则效用为0，写出这个博弈的支付 矩阵，这个博弈有纯战略均衡吗？计算其混合 战略纳什均衡。
企业1
企业2
❖参与人：企业1、企业2 ❖战略： 选择产量 ❖支付： 利润，利润是两个企业产量的函数
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
企业1
企业2
qi ：第i个企业的产量 Ci（qi）代表成本函数 P=P（q1+q2）：价格是两个企业产量的函数 第i个企业的利润函数为：
i (q1, q2 ) qi P(q1 q2 ) Ci (qi ), i 1,2
纳什均衡应用举例
敌人：四种部署方案 ✓ A 三个师都驻守甲方； ✓ B 两个师驻守甲方，一个师驻守乙方 ✓ C 一个师驻守甲方，两个师驻守乙方 ✓ D 三个师都驻守乙方 我军： ✓ a 集中全部兵力从甲方进攻 ✓ b 兵分两路，一个从甲方，一个从乙方，同时进攻 ✓ c 集中兵力从乙方进攻
六 纳什均衡存在性及相关讨论
不同均衡概念 的关系
占优均衡 DSE
重复剔除占优均衡 IEDE
纯战略纳什均衡 PNE
混合战略纳什均衡 MNE
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型
如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是 寻找工作，这又将导致政府选择救济的战略，流浪汉 则选择游荡。如此等等。
五 混合战略纳什均衡
对 * 0的.2 解释：
如果流浪汉以找工作的概率小于0.2, 则政府选 择不救济,如果大于0.2,政府选择救济 ,只有当 概率等于0.2时,政府才会选择混合战略或任何 纯战略.
g*
( g1* ,,
g
* n
)
n
G* gi* i 1
尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现 有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响， 而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际 成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最
优饲养量。
纳什均衡应用举例
案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题
囚徒A
坦白
囚徒 B
抵赖
坦白
-8，-8 -10，0
抵赖
0，-10 -1，-1
抵赖是A的严 格劣战略
抵赖是B的严格劣战略
三 重复剔除的占优均衡
案例2-智猪博弈
小猪
大猪
按 等待
按 5，1 9，-1
等待 4，4 0，0
4大于1 0大于-1
按是小猪的严格 劣战略-剔除
“按”是大猪的占优战略，纳什均衡：大猪按，小猪等待
最优化的一阶条件为：
i
gi
v(G) giv' (G) c 0, i 1,, n
上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负两 方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的 效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。
案例2 公共地的悲剧
其最优解满足边际收益等于边际成本： 上述n个一阶条件定义了n个反应函数：