初等数学研究1自然数基数理论

6．分配律:a·(b+c)＝a·b+a·c
证明
7×12=7·(10+2)＝70+14
排序：自然数的序数理论
• 该理论是从自然数列构成的特点中抽象 出来的
– 只有一个数不跟随任何其他的数，它就是1 – 在每一个数的后面都紧跟着唯一的一个数 – 除了1以外，每一个数都有唯一的一个先行
的数 – 没有两个相等的数
• 第三学段（7-9年级）：认识有理数、实数 • 高中文、理选修：数系扩充与复数
数系的扩展
• 数的历史发展（添加法）
– 自然数 添正分数－>正有理数 添零－>非负有 理数 添负数－>有理数 添无理数－>实数 添虚 数－>复数 实际上是交错发展的
• 数的理论架构（逻辑构造法）
– 有了自然数集，可以构造整数集（自然 数对） 可以构造有理数集 可以构 造实数集 可以构造复数集 ……
自然数的两种作用
• 计数（有几个）
自然数的康托尔基数理论
• 排序（第几个）
自然数的皮亚诺序数理论
自然数的基数定义
• 怎样定义自然数？
– “表示物体个数的一种数”？ – 物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一
个整体） – 个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特
征）
非空有限集的基数叫做自然数，所有等价于
因为A非空，有一个元素t，t<t 矛盾。
最小数原理归纳公理
M N,且
设 1 M , 若a M , a M
（反证）若M不是N，令B是N－M， 所以B是N的非空子集，有最小数b， b不能属于M，所以b不是1，是某一 个自然数c的后继，所以c<b，c不能 属于B，属于M，根据归纳公理条件， 所以c的后继（b）属于M，这与b不 属于M矛盾
a
b
(a
b)
2＋2－>2+1－>后继
• 自然数×1还是自然数×某一个自然数b的
后继
a •1 a a • b a • b a
2×2－>2×1
为什么 2＋3＝5？
2 1 2 3, 2 2 2 1 (2 1) 3 4 2 3 2 2 (2 2) 4 5
为什么2×3＝6？
且
b A那i c,么，a·b=c
i 1
因为b>1,所以补充规定a·1=a
11个运算定律（1）
加法有五个基本定律： 1．a+b 仍然为一个数，即正数加正数总是
可能的 2．a+b是单值的 3．结合律成立：(a+b)+c＝a+(b+c) 因此完全可以脱去括号 4. 交换律成立: a+b＝b+a 5. 单调律成立: 若 a b a c b c 证明
a＜c
定义自然数的加法和乘法
不交的集合的并 并集的基数
a + b=c 非空有限集的基数
b个两两不交的等价集合的并 并集的基数
a × b=c
自然数的加法和乘法定义
• 如果非空有限集A、B的基数分别是 a、b，且 A B , A B c,那么a+b=c
• 设Ai（i＝1，2，…，b）是b个两两 不交的等价集合，它们的基数都是a，
• 1M • 假定a M，则a＋ M，即a＋ b＝b a＋
– 所以M＝N
定义自然数的大小关系
• “相等”在自然数定义中已经说明
– 若a＋与b＋相同，则a＝b
• “大于”借助加法定义
– 若a，bN，且存在k N，使得 a＝b＋k，则称a>b，也说b<a
证明自然数的全序性
• 对任何a，b N，在a<b, a=b, a>b中有且 只有一个成立
• 设a，b，c是自然数，用序数理论证 明a·(b·c)＝(a·b)·c和(a+b)c=ac+bc
数、十进制、位值制
• 中国数字
春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：
纵式
横式
在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹 325107应摆成
算盘
• 罗马数字
每个符号与它所在的位置无关
XL C D M 十 五十 一百 五百 一千 并再化简
• 希腊数字 数字↔单词
扩大的自然数集：含0
•在基数理论中，把空集的基数定义为“零”， 在序数理论中把“零”作为1的先行数，这样便 构成了扩大的自然数集。 •赞成：0并不难接受；加进去不难，也说得通； 联系正负数的桥梁，序关系； •不赞成：以前自然数不含0，现在会感觉行文不 便，要经常添加约定；没有实质性影响
作业
• 设a，b，c均为自然数，用基数理论 证明 (a+b) + c = a + (b+c)
• 有：
– 取定a，设使它们总有一个成立的一切b组成
的集合为M，说明
• 1M
紧扣归纳公理
• 假定b M，则b＋ M （分三种情况都有b＋ M ）
• 只有一个转化为至多有一个：
– 反证：若a<b, a=b同时成立，推出矛盾。同 理拿其他两个也不行。
用序数理论证11个运算定律
练一练 • 证明：加法结合律
2 1 2, 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 4 2 6
证明自然数的乘法交换律
• 用基数理论证明
左右是等价的集合
a×b=b×a
b个两两不交的基数为a的集合的并集 a个两两不交的基数为b的集合的并集
• 用序数理论证明
– 设使ab＝ba成立的所有a组成的集合为M，
自然数的序数定义（皮亚诺定义）
• 如果有一个集合N，在它的元素间有一个基本关 系“后继”（用符号＋或’表示），并满足下列 公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：
“5”是什么？是满足上述五条公理的一个集合的元素，排在1 后面后面后面的后面
定义自然数的加法和乘法
• 加数是1还是某一个自然数b的后继
a 1 a
– 当A～B时，就说 a＝b – 当A～B’ B时，就说 a<b – 当A A’～B时，就说 a>b
自然数大小关系的性质
• 定理：自然数的相等关系具有反身 性、对称性、传递性；
• 自然数的顺序关系具有全序性、对 逆性、传递性 证明
等价关系、集合的性质
2)对任何a，b，c N，若a＜b，b＜c，则
的集合的基数，用符号“1”表示，即 1＝
“5”是什么？五只羊的集合、{a,b,c,d,e}等 都是等价的集合，这类集合的基数就是5
定义自然数的大小关系
集合间的包含关系
a < b 两个自然数：
非空有限集的基数
大小关系的定义
• 如果非空有限集A、B的基数分 别是a、b，A’、B’分别是A、 B的真子集，那么
70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4＝84
11个运算定律（2）
乘法有六个基本定律：
1．a·b仍然为一个数
证明紧扣定义 借用集合的运算律
2．a·b是单值的．
3．结合律：a·(b·c)＝(a·b)·c=a·b·c
4．交换律：a·b＝b·a
5. 单调性定律：若a＞c，则a·b＞b·c
– 宋有高次多项式方程的一般数值解法
– 金、元提出了根据应用问题条件列方程解 方程的天元术
– 元给出了高阶等差级数论和多元联立方程 组解法
中小学数的教学安排
• 第一学段（1-3年级）：认识万以 内的数、小数、 简单的 分数和常见的量
• 第二学段（4-6年级）：认识亿以内的数，了解 分数、百分 数、负数的意义、字母表示数
后，得到的na大于b
• 最小数原理:自然数集的任一非空子集中必存
在一个最小数
最小数原理与归纳公理等价
归纳公理最小数原理
（反证）假设自然数集N有一个非空 子集A，A中没有最小数，所以1肯定 不属于A； 令所有小于A中任何一个数的自然数 组成的集合为M，设法证M＝N；
1M，若m M，要证m＋ M
（反证）假设m＋不属于M，设法证m也不属 于M，即在A中找到比m小的数
a+(b+c)=(a+b)+c
自然数集的其他几个性质
• 自然数集的离散性：在任意两个相继的自然 数a与a＋之间不存在自然数b，使a<b<a+ 反
证 a<b得a+b
• 阿基米德性质：设a，b为任意两个自然数， 则存在自然数n，使得na>b 任何一个 确定的数b，
使用任何一个单位a去度量它，总是可以在经过n次度量之
初等数学研究 第一讲自然数
自然数的基数理论 与序数理论
第一节 人类认识和表达自然数的历史 第二节 自然数的基数理论和序数理论 第三节 数学百度文库纳法
• 人类认识和表达自然数的历史 • 自然数的基数理论和序数理论
– 怎样定义自然数 – 怎样定义自然数的大小关系 – 怎样定义自然数的加法和乘法 – 自然数运算的性质
XXIII 二十三 两个罗马数字相加，须先合
J KL M N P S T X Z & 10 20 30 40 50 70 100 200 600 800 900
XPE 675
代数学
• 在代数学的早期历史上，中国有不少成 果
– 《九章算术》有正负数加减法则，正系数 的二次方程的数值解法
– 唐初有正系数的三次方程的数值解法