2020届五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考数学试题(解析版)
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11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为 cm，高度为 cm，现往里面装直径为 cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）
（附： ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
【答案】C
【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为 cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，得到不等式 ，计算得到答案.
【答案】（1） （2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析
【解析】（1）先求出 ，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【详解】
（1）依题意， ，故 ．
又因为 ．所以 ，
所求平均数为
（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率 ．
．
故选：
【点睛】
本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.
4．已知 为定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】判断 ，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.
【详解】
∵ ，∴ ．
故选：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
（2）由题意， 平面 ，则三棱锥 的高不变.
当四面体 的体积最大时， 的面积最大.
所以当点 位于点 时，四面体 的体积最大.
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角是 ，则 .
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
9．已知双曲线 的左、右顶点分别是 ，双曲线的右焦点 为 ，点 在过 且垂直于 轴的直线 上，当 的外接圆面积达到最小时，点 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点 的坐标为 ， ，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【答案】D
【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为： 的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知 ，
所以 的虚部是1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
3． （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得到原式 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
由题意知方程 在 上恰有三个不相等的实根，
即 ，①.
因为 ，①式两边同除以 ，得 .
所以方程 有三个不等的正实根.
记 ， ，则上述方程转化为 .
即 ，所以 或 .
因为 ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递增，且 时， .
当 时， ， 在 上单调递减，且 时， .
所以当 时， 取最大值 ，当 ，有一根.
10．点 在 所在的平面内， ， ， ， ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】确定点 为 外心，代入化简得到 ， ，再根据 计算得到答案.
【详解】
由 可知，点 为 外心，
则 ， ，又 ，
所以 ①
因为 ，②
联立方程①②可得 ， ， ，因为 ，
所以 ，即 ．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
记 的中点为 ，连接 ，易证 ．连接 ，则 ，
所以 平面 ，则 ．
同理可证， ， ，则 平面 ，
所以平面 即平面 ，且四边形 即平面 截正方体 所得的截面．
因为正方体的棱长为 ，易知四边形 是菱形，
其对角线 ， ，所以其面积 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
， ； ， ； ， ；
， ； ，此时不满足 ，跳出循环，
输出结果为 ，由题意 ，得 ．
故选:
【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
8．将函数 的图像向右平移 个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，若 为奇函数，则 的最小值为（）
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
14． 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】先求得 中含 的项与常数项，进而可得 的常数项.
【详解】
的展开式中含 的项为 ， 的展开式中的常数项为 ，所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.
【详解】
（1）证明：当四面体 的外接球的表面积为 时.
则其外接球的半径为 .
因为 时边长为2的菱形， 是矩形.
，且平面 平面 .
则 ， .
则 为四面体 外接球的直径.
所以 ，即 .
由题意， ， ，所以 .
因为 ，所以 为 的中点.
记 的中点为 ，连接 ， .
则 ， ， ，所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数的变换规则表示出 ，根据 是奇函数，可得 的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数 的图像向右平移 个单位长度，得 ，再将 图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 的图像， ，
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
所以 恰有两个不相等的实根，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
二、填空题
13．抛物线 的焦点坐标为______.
【答案】
【解析】变换得到 ，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线 的标准方程为 ， ，所以焦点坐标为 ．
故答案为：
【点睛】
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
故选：
【点睛】
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
12．已知函数 ， ，若方程 恰有三个不相等的实根，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可将方程转化为 ，令 ， ，进而将方程转化为 ，即 或 ，再利用 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为 cm的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为 cm，每装两个球称为“一层”，这样装 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，
若想要盖上盖子，则需要满足 ，解得 ，
所以最多可以装 层球，即最多可以装 个球．
16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成 小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
【答案】
【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有 种；第二行的每个位置的人员安排有 种；第三行的每个位置的人员安排有 种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率 .
5．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 （）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】根据正弦定理得到 ，化简得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
故选：
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
6．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
所以当四面体 的体积最大时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
19．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为 五个小组（所调查的芯片得分均在 内），得到如图所示的频率分布直方图，其中 ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） ，①当 时， ，②两式相减即得数列 的通项公式；（2）先求出 ，再利用裂项相消法求和证明.
【详解】
（1）解： ，①
当 时， ．
当 时， ，②
由①-②，得 ，
因为 符合上式，所以 ．
（2）证明：
因为 ，所以 ．
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的菱形，且 ， 是矩形， ，且平面 平面 ， 点在线段 上移动（ 不与 重合）， 是 的中点.
【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.
【详解】
∵ ，
∴ 为奇函数，排除B，C；
又 ， ，排除D；
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值为（）
15．在棱长为 的正方体 中， 是正方形 的中心， 为 的中点，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面面积为______.
【答案】
【解析】确定平面 即为平面 ，四边形 是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体 中，记 的中点为 ，连接 ，
则平面 即为平面 ．证明如下：
由正方体的性质可知， ，则 ， 四点共面，
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为 ，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（1）当四面体 的外接球的表面积为 时，证明： .平面
（2）当四面体 的体积最大时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题意，先求得 为 的中点，再证明平面 平面 ，进而可得结论；
（2）由题意，当点 位于点 时，四面体 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
不妨设点 的坐标为 ，由于 为定值，由正弦定理可知当 取得最大值时， 的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
此时 最大，此时 的外接圆面积取最小值，
点 的坐标为 ，代入 可得 ， ．
所以双曲线的方程为 ．
故选：
【ห้องสมุดไป่ตู้睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】
， ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2．若 ，则 的虚部是（）
A． B． C． D．
（附： ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
【答案】C
【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为 cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，得到不等式 ，计算得到答案.
【答案】（1） （2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析
【解析】（1）先求出 ，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【详解】
（1）依题意， ，故 ．
又因为 ．所以 ，
所求平均数为
（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率 ．
．
故选：
【点睛】
本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.
4．已知 为定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】判断 ，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.
【详解】
∵ ，∴ ．
故选：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
（2）由题意， 平面 ，则三棱锥 的高不变.
当四面体 的体积最大时， 的面积最大.
所以当点 位于点 时，四面体 的体积最大.
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角是 ，则 .
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
9．已知双曲线 的左、右顶点分别是 ，双曲线的右焦点 为 ，点 在过 且垂直于 轴的直线 上，当 的外接圆面积达到最小时，点 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点 的坐标为 ， ，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【答案】D
【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为： 的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知 ，
所以 的虚部是1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
3． （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得到原式 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
由题意知方程 在 上恰有三个不相等的实根，
即 ，①.
因为 ，①式两边同除以 ，得 .
所以方程 有三个不等的正实根.
记 ， ，则上述方程转化为 .
即 ，所以 或 .
因为 ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递增，且 时， .
当 时， ， 在 上单调递减，且 时， .
所以当 时， 取最大值 ，当 ，有一根.
10．点 在 所在的平面内， ， ， ， ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】确定点 为 外心，代入化简得到 ， ，再根据 计算得到答案.
【详解】
由 可知，点 为 外心，
则 ， ，又 ，
所以 ①
因为 ，②
联立方程①②可得 ， ， ，因为 ，
所以 ，即 ．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
记 的中点为 ，连接 ，易证 ．连接 ，则 ，
所以 平面 ，则 ．
同理可证， ， ，则 平面 ，
所以平面 即平面 ，且四边形 即平面 截正方体 所得的截面．
因为正方体的棱长为 ，易知四边形 是菱形，
其对角线 ， ，所以其面积 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
， ； ， ； ， ；
， ； ，此时不满足 ，跳出循环，
输出结果为 ，由题意 ，得 ．
故选:
【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
8．将函数 的图像向右平移 个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，若 为奇函数，则 的最小值为（）
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
14． 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】先求得 中含 的项与常数项，进而可得 的常数项.
【详解】
的展开式中含 的项为 ， 的展开式中的常数项为 ，所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.
【详解】
（1）证明：当四面体 的外接球的表面积为 时.
则其外接球的半径为 .
因为 时边长为2的菱形， 是矩形.
，且平面 平面 .
则 ， .
则 为四面体 外接球的直径.
所以 ，即 .
由题意， ， ，所以 .
因为 ，所以 为 的中点.
记 的中点为 ，连接 ， .
则 ， ， ，所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数的变换规则表示出 ，根据 是奇函数，可得 的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数 的图像向右平移 个单位长度，得 ，再将 图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 的图像， ，
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
所以 恰有两个不相等的实根，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
二、填空题
13．抛物线 的焦点坐标为______.
【答案】
【解析】变换得到 ，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线 的标准方程为 ， ，所以焦点坐标为 ．
故答案为：
【点睛】
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
故选：
【点睛】
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
12．已知函数 ， ，若方程 恰有三个不相等的实根，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可将方程转化为 ，令 ， ，进而将方程转化为 ，即 或 ，再利用 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为 cm的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为 cm，每装两个球称为“一层”，这样装 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，
若想要盖上盖子，则需要满足 ，解得 ，
所以最多可以装 层球，即最多可以装 个球．
16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成 小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
【答案】
【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有 种；第二行的每个位置的人员安排有 种；第三行的每个位置的人员安排有 种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率 .
5．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 （）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】根据正弦定理得到 ，化简得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
故选：
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
6．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
所以当四面体 的体积最大时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
19．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为 五个小组（所调查的芯片得分均在 内），得到如图所示的频率分布直方图，其中 ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） ，①当 时， ，②两式相减即得数列 的通项公式；（2）先求出 ，再利用裂项相消法求和证明.
【详解】
（1）解： ，①
当 时， ．
当 时， ，②
由①-②，得 ，
因为 符合上式，所以 ．
（2）证明：
因为 ，所以 ．
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的菱形，且 ， 是矩形， ，且平面 平面 ， 点在线段 上移动（ 不与 重合）， 是 的中点.
【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.
【详解】
∵ ，
∴ 为奇函数，排除B，C；
又 ， ，排除D；
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值为（）
15．在棱长为 的正方体 中， 是正方形 的中心， 为 的中点，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面面积为______.
【答案】
【解析】确定平面 即为平面 ，四边形 是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体 中，记 的中点为 ，连接 ，
则平面 即为平面 ．证明如下：
由正方体的性质可知， ，则 ， 四点共面，
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为 ，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（1）当四面体 的外接球的表面积为 时，证明： .平面
（2）当四面体 的体积最大时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题意，先求得 为 的中点，再证明平面 平面 ，进而可得结论；
（2）由题意，当点 位于点 时，四面体 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
不妨设点 的坐标为 ，由于 为定值，由正弦定理可知当 取得最大值时， 的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
此时 最大，此时 的外接圆面积取最小值，
点 的坐标为 ，代入 可得 ， ．
所以双曲线的方程为 ．
故选：
【ห้องสมุดไป่ตู้睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】
， ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2．若 ，则 的虚部是（）
A． B． C． D．