2020届五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考数学试题(解析版)
2020届高三六校联盟第四次联考文科数学答案(新)
∴ 曲线 C2 的直角坐标方程是 x2 ( y 2)2 4 ……5 分 （2）设点 P(4 cos , 2 sin ) ，则
| PC2 | 16 cos2 (2 sin 2)2 12 sin2 8sin 20 ……7 分
∴
当 sin 1 3
时，
|
PC2
|max
8
3 3
……8 分
ab 5 ab 5 a b 5
5
∴
2 a
1 b
的最小值是
8 5
……6 分 ……9 分 ……10 分
文科数学参考答案第 6页 / 共 6页
∴ m2
……12 分
22．解：（1）由
x
y
4 cos 2 sin
，得
x 4 y 2
cos sin
∴ ( x)2 ( y)2 1 即 x2 y2 1
42
16 4
∴
曲线
C1
的普通方程是
x2 16
y2 4
1
又由 4sin ，得 2 4sin
……1 分
……3 分 ……4 分
∴ x2 y2 4y 即 x2 ( y 2)2 4
∴
PQ
max
| PC2
|max
2
83 3
2
……9 分
故 PQ 的最大值是 8 3 2 3
……10 分
23．解：（1）当 x 1 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 5 2
……1 分
文科数学参考答案第 5页 / 共 6页
当 1 x 2 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 4x 3 (5,5) 2
m
m
∴ 函数 f (x) 的最小值为 f ( 1 ) m m ln 1
2020年五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考文科数学试题及答案
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，{}2,3,4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}3,6 B ．{}1,3,6C ．{}2,6D ．{}2,3,4【答案】A【解析】先计算{} 1,3,6U A =ð，再计算()U A B I ð得到答案. 【详解】因为{} 1,3,6U A =ð，所以(){} 3,6U A B =I ð． 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为20，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=． 故选：B 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7．函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B ，C ，计算特殊值排除D ，得到答案. 【详解】∵()()()()()()222cos ln1ln 1ln 1x f x f x x xx xx x --====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x 为奇函数，排除B ，C ；又3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln 1ln1f πππππ==>+-++，排除D ；故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ）A ．73B C ．7D【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n =______. 【答案】300【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为10， 则1004264n =++，解得300n =． 故答案为：300 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 14．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p =，所以焦点坐标为()0,3． 故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.15．已知偶函数()()R f x x ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，()()210f x xf x x '++>，()1525f =，则不等式()21f x x >的解集为______. 【答案】()(),55,-∞-+∞U 【解析】令()()1g x xf x x=-，确定()g x 在()0,∞+上单调递增，()()155505g f =-=，解不等式得到答案.【详解】 令()()1g x xf x x =-，当0x >时，()()()210g x f x xf x x''=++>，()g x 在()0,∞+上单调递增．因为()f x 是偶函数，所以()g x 是奇函数． 因为()1525f =，所以()()155505g f =-=． 不等式()21f x x >等价于()0g x x >，所以()0,0x g x >⎧⎨>⎩或()0,0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-．故答案为：()(),55,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC=，22MN=，所以其面积1222326 2S=⨯⨯=．故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数2816842表2：女生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）35；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有2615C =个基本事件，“运动达人”的可能结果为1142229C C C ⋅+=个，求得概率即可；（2）根据题意列出22⨯列联表，代入公式计算结果，然后判断即可. 【详解】（1）每周运动的时长在[20,25)中的男生有4人，在[25,30]中的男生有2人，则共有2615C =个基本事件，其中[25,30]中至少有1人被抽到的可能结果有1142229C C C ⋅+=个，所以抽到“运动达人”的概率为93155=； （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人. 可得下列22⨯列联表：2280(26241416)40404238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯20006 6.635399=<<， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =． 当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，22=PC ，23AB =，24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=，点E 为PD 的中点．（1）证明：CE AP ⊥．（2）求点E 到平面PAC 的距离． 【答案】（1）见解析（23．【解析】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ，证明CE ⊥平面PAF 得到答案. （2）利用等体积法1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅计算得到答案.【详解】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ．在直角梯形ABCD 中，23AB =,24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=， 所以4AC AD CD ===．又因为F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， 所以PC AF ⊥，又因为PC CD C =I ， 所以AF ⊥平面PCD ，所以AF CE ⊥．在直角PCD ∆中，22=PC ，4CD =，,E F 分别为,PD CD 的中点， 因为22PC CF CD PC ==，所以PCD FCP ∆∆∽，所以CPF PDC ECD ∠=∠=∠， 所以CE PF ⊥．又因为,AF PF ⊂平面PAF ，AF PF F =I ， 所以CE ⊥平面PAF ，则CE AP ⊥．（2）设点E 到平面PAC 的距离为h ，由（1）可知AF ⊥平面PCD ， 所以1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅， 整理得1232222314222PCEPACAF S h S ∆∆⨯⨯⋅===⨯⨯， 所以点E 到平面PAC 3． 【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．已知函数()ln f x x x x =+，()xx g x e =． （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()()1f x x g x +->． 【答案】（1）最小值为1e．（2）见解析 【解析】（1）化简得到ln 1x x a e +≤，令()ln 1xx m x e +=，求函数的最大值得到答案. （2）变换得到11ln x x x e+>，分别求表达式两边的最值得到答案. 【详解】（1）()()2f xg x ax ≤即()2ln x x x x x ax e +⋅≤，化简可得ln 1xx a e +≤． 令()ln 1x x m x e +=，()()1ln 1xx x m x e -+'=，因为1x ≥，所以11x≤，ln 11x +≥， 所以()0m x '≤，()m x 在[)1,+∞上单调递减，()()11m x m e≤=， 所以a 的最小值为1e． （2）证要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>> 两边同除以x 可得11ln xx x e +>． 设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=， 在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增．所以()()11t x t ≥=． 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->． 【点睛】本题考查了恒成立问题，表达式的证明，转化为函数的最值计算是解题的关键.21．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C交于,A B 两点，290AF B ∠=o，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45【解析】（1）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=.（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】（1）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，223b F B c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ． ∵290AF B ∠=o，∴2222254099b F A F Bc a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．又212202339F AB b S ∆=⨯⋅=，∴a b ⋅=∴a =2b =，故C 的方程为22154x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=．∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=．∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y myy y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴()()()222222000102012012000255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -=()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．【点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．【答案】（1）221164x y +=．90x --=．（2． 【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】 （1）由221613sin ρθ=+，得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ，即221164x y +=．直线l的直角坐标方程为90x --=．（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，则()2cos ,sin M αα到直线:90l x --=的距离为d ==≤所以线段OP 的中点M 到直线l． 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力. 23．设函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值．【答案】（1）{1x x ≤-或}1x ≥（2）最小值为274． 【解析】（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，12x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到32x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++=． 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦，由32x y z ++=，可知()()281124x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当32x =，12y =，12z =-时，等号成立． 所以()()22212x y z ++++的最小值为274．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.。
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。
五省优创名校2020届高三联考数学(理)试题Word版含解析
五省优创名校2020届高三联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷个【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得集合M，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.【详解】求解二次不等式可得，集合表示所有的偶数组成的集合，由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，由于区间中含有的偶数为，故，即阴影部分所示的集合的元素共有3个.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，韦恩图与集合的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（）A. B. 4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则可得：.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数，其中表示可行域内的点与点连线的斜率，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点和点处取得临界值，在点处，目标函数，在点处，目标函数，即的取值范围是.本题选择A选项.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A. i＜6B. i＜7C. i＜8D. i＜9【答案】B【解析】【分析】运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值大于，应跳出循环，即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。
贵州省五校联盟2020届高三数学第四次联考试题 文
贵州省五校联盟2020届高三第四次联考试卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
第Ⅰ卷（本卷共12小题，每小题5分，共60分）注意事项1．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为0()1()(=-=-k p p C k P k n k kn n ，1，2，… ，)n球的表面积公式：24R S π=（R 为球的半径） 球的体积公式：334R V π= （R 为球的半径）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N ⋃ =( )(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7} 2.“0a b >> ”是“222ab a b <+ ”成立的（ ）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分且必要条件D 不充分且不必要条件 3.已知函数0.5()2log (1)f x x x =+>，则)(x f 的反函数是（ ） A ．)2(2)(21<=--x x f xB ．)2(2)(21>=--x x fxC ．)2(2)(21<=--x x fx D ．)2(2)(21>=--x x fx4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-5. 在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．52D ．1046.在坐标平面内，已知)0,0(O )0,5(),2,1(Q P ， OPQ ∠的平分线交x 轴于点S .记,,==则=( )A.b a PS 3132+=B.b a PS 3231+=C.b a PS 5154+=D. b a PS 5451+= 7.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长都相等，则直线1AC 与侧面11ABB A 所成角的正弦值等于 （ ）A ．4 B ．4．2 D ．28.若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x y x ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 0k <<B.0k <<C.0k <<05k <<9.有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(相同), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( )A. 120B.60C.25D.1310.如图，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、.过点1F 作倾斜角为ο30的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P .若线段1PF 的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 3±=D ．x y 2±= 11.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上B A 、两点间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π612.函数()f x 的定义域为R.若(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，则( ) (A) )3(-x f 是偶函数 (B) )4(-x f 是偶函数 (C) )4()(+=x f x f (D) )5(+x f 是奇函数绝密★启用前贵州省2020届高三年级五校第二次联考试卷第Ⅱ卷（本卷共10小题，共90分）注意事项1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
2020年6月河南省大教育合作学校2020届高三质量检测第四次联考(全国卷)理科数学答案
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2020年普通高等学校招生全国卷五省优创名校第四次模拟考试 数学
2020年普通高等学校招生全国卷五省优创名校第四次模拟考试高三数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷(共52分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
把正确答案涂在答题卡上。
1.设集合A＝{x|y＝，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}，则(RðA)∩B＝A.[1，3)B.(1，3)C.(－1，0]∪[1，3)D.(－1，0]∪(1，3)2.命题“∃x>0。
lnr<0”的否定为A.∃x>0，lnx≥0B.∀x≤0，lnx≥0C.∀x>0，lnx>0D.∀x>0，lnx≥03.若1log13a<，则a的取值范围是A.(0，13) B.(13，1) C.(0，13)∪(1，＋∞) D.(0，13)∪(13，＋∞)4.三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法。
贵州省五校联盟20XX届高三数学第四次联考试题理.doc
贵州省五校联盟 2020 届高三第四次联考试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷 3至4页。
第Ⅰ卷（本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分）注意事项1．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”。
参考公式：如果事件 A 、 B 互斥，那么P( A B)P( A) P(B)如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P( A B) P( A) P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 发生 k 次的概率为 P n (k) C n k p k (1 p) n k ( k 0 ， 1， 2 ， ， n)球的表面积公式： S4 R 2 （ R 为球的半径）球的体积公式： V4 R 3 （ R 为球的3半径）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 2i 4i 4 bi(其中 i 是虚数单位， b 是实数），则 b （） A ． 4B ． 4C ． 8D ． 82. 若 a 、 b ∈ R ，使 |a|+|b| ＞1 成立的一个充分不必要条件是（）A |a+b| ≥ 1B |a|≥ 1C |a|≥ 1 且 |b| ≥1Db＜ -1223. 已知函数 f ( x)2 log 0.5 x ( x 1) ，则 f ( x) 的反函数是（）A ．f 1( x ) 22 x ( x 2)B ．f 1( ) 2 2 x ( x 2)xC ． f 1 ( x) 2 x 2 ( x2)D． f 1 ( x) 2x 2 (x2)4. 在等差数列 { a n } 中，有 a 6 a 7a 8 12 ，则此数列的前 13 项之和为（）A ． 24B ． 39C ． 52D ． 1045.已知 0， sincos1 ，则 cos2 的值为（）2A ．7B.7C.7D.34 44 46. 在坐标平面内，已知O(0,0) P(1,2), Q (5,0) ， OPQ 的平分线交 x 轴于点 S . 记PO a, PQ b,则 PS ()A. PS2 a 1b B.PS 1 a 2 b C.PS 4 a 1 b D.PS 1 a 4 b333 35 55 57. 已知正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱长与底面边长都相等 . 点 M 是线段 A 1C 1 的中点 , 则直线 BM 与侧面 ABB 1A 1 所成角的正切值等于（）A.2 B.3 C.5D.345528. 过点（ 1，1）的直线与圆 (x 2) 2 ( y 3) 2 9 相交于 A ，B 两点，则 |AB| 的最小值为（）A ．2 3B ． 4C ．2 5D ． 59. 有 5 张音乐专辑 , 其中周杰伦的 3 张 ( 相同 ), 郁可唯和曾轶可的各 1 张. 从中选出 3 张送给 3 个同学 ( 每人 1 张 ). 不同送法的种数有 ( )A. 120B.60C.25D.1310. 四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上，且 CD 2 ， AB3 ，在外接球面上 A 、B 两点间的球面距离是（）Ａ．π Ｂ． π Ｃ．2πＤ．5π633611. 函数 f ( x) 的定义域为 R. 若 f (x 1) 是奇函数， f (x 1) 是偶函数，则 ()(A) f ( x 3) 是偶函数(B)f ( x 4) 是偶函数(C)f ( x)f (x 4)(D)f (x5) 是奇函数12. 如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且D CAB // CD . 若双曲线 C 1 以 A 、 B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（） .ABA.3B.1 3C.2D.2 3绝密★启用前贵州省 2020 届高三年级五校第二次联考试卷第Ⅱ卷（本卷共 10 小题，共90 分）注意事项1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(带答案解析)
数学（理)试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 （）
A．1B．2C． D．3
3．抛物线 的准线方程是 ，则实数 （）
A． B． C． D．
4．已知 ， 则p是q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．在棱长为a的正方体 中，E、F、M分别是AB、AD、 的中点，又P、Q分别在线段 、 上，且 ，设平面 平面 ，则下列结论中不成立的是（）
A． 平面 B．
C．当 时，平面 D．当m变化时，直线l的位置不变
9．已知抛物线 ，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若 ， ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
故选：C
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
9．A
【解析】
【分析】
根据 可知 ,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
16．已知三棱锥 ， ， 是边长为4的正三角形， ， 分别是 、 的中点， 为棱 上一动点（点 除外）， ，若异面直线 与 所成的角为 ，且 ，则 ______.
17．在数列 和等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校第四次联考数学试题及答案(理科)
2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考.数学(理科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A.[12]-， B.[1- C.(- D.⎡⎣ 2.若202031i i z i+=+，则z 的虛部是( ) A.i B.2i C.1- D.13.3507017020cos sin sin sin ︒︒-︒︒ =( )A. C.12 D.12- 4.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当1()0x ∈-，时，()433x f x =+，则3()32f log =( ) A.-2 B.2 C.-3 D.35.在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，已知4bcosBsinC =，则B =( ) A.6π或56π B.4π C.3π D.6π或3π 6.函数()f x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.7.明代数学家程大位(1533~1606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生开始心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输人的x 的值为( ) A.74 B.5627 C.2 D.164818.将函数()36f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( ) A.9π B.18π C.29π D.24π 9.已知双曲线22221()00x y a b a b-=>>，的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为(2，0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP V 的外接圆面积达到最小时.点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( ) A.2213x y -= B.2213y x -= C.22122x y -= D.22144x y -= 10.点O 在ABC V 所在的平面内，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，|21|||AB AC ==u u u r u u u r ，，,()AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42()0λμμ-=≠，则||BC =u u u r ( )A.73B.2C.7 11.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )(附 1.414≈ 1.732≈ 2.236≈)A.22个B.24个C.26个D.28个12.已知函数()()242,2ln ax f x lnx ax g x x x=-=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为( ) A.(0)12e ， B.(0]e ， C.(),e +∞ D.(0)1e， 第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线2112y x =的焦点坐标为_________. 14.()2612()x x x +-的展开式中的常数项为_________.15.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面a 与直线DE 垂直.则平面a 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为_________.16.某部队在训练之余，由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为_________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----L (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明： 11226n T ≤≤ 18.如图，在三棱柱ADE BCF -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动(P 不与C 重合)，H 是AE 的中点.(1)当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB 平面EDP .(2)当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值.19.某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10)，[10，11)，[11.12)，[12，13)，[13.14]五个小组(所调查的芯片得分均在[9，14]内)，得到如图所示的频率分布直方图，其中0.18a b -=.(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同-组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测.若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元.每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.20.已知12F F ，分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，直线23y b =与C 交于,A B 两点290AF B ∠=︒，且2209S F AB =V . (1)求C 的方程；(2)已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于M N ，两点，直线PM PN MN OP ，，，的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值.21.已知函数()f x xlnx x =+,()xx g x e =. (1)若不等式()()2f x g x ax ≤对1[)x ∈+∞，恒成立，求a 的最小值；(2)证明：()()1f x x g x +->.(3)设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()001,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩，，若存在1212,1),,(x x x x ∈+∞<，使得()()12F x F x =，证明：()2012()F x F x x <-.(二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离.23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()121f x x x =++-.(1)求不等式()3f x ≥的解集；(2)若()3f x ≥的最小值为a .且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值.2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考数学参考答案(理科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C因为{|{|1}2A x x B x x ==-<≤，，所以(A B =-I .2. D 由题可知1321i z i i+==++，z 的虚部是1. 3. B35070170201020102030cos sin sin sin cos cos sin sin cos ︒︒︒︒=︒︒-︒︒=︒一 4. B ∵32103log -<<，∴33322324()()()233233f log f log f log =-==+=. 5. D由4bcosBsinC =，得4sinBcosBsinC =，∴2sin B =，23B π=或23π，∴6B π=或3B π=. 6. A ()()cos x f x x f ==---=，∴()f x 为奇函数，排除B C ，. 又()()()22300f f f πππ====>，，排除D ， 故选A .7. C341y x i =-=，；349162y y x i =-=-=，；3427523y y x i =-=-=，；34811604y y x i =-=-=，；34243484y y x =-=-此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =.8. B由题意知()1326g x sin x m π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，因为()g x 是奇函数，所以36m k k Z ππ-+=∈，，解得183k m k Z ππ=-∈，.因为0m >，所以m 的最小值为18π. 9. C不妨设点P 的坐标为()(20)m m >，，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时， APB V 的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为22a a tan APF tan BPF m m+-∠=∠=，， 所以222221(2)a a a m m tan APB tan APF BPF a a b m m m m +--∠=∠-∠==+-+⋅+a b ≤=， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立， 此时APB ∠最大，此时APB V 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为(2)b ，，代人22221x y a b-=，可得ab ==所以双曲线的方程为22122x y -=. 10. D 由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r 可知，点O 为ABC V 的外心， 则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB u AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以224212AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ①因为42λμ-=，② ①②联立方程可得5163AB AC λμ==⋅=-u u u r u u u r 4，，. 因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BC =u u u r 11. C由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正四面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)101n cm +-，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球. 12. A由题意知方程()()f x g x =在()(011)+∞U ，，上恰有三个不相等的实根， 即24ln 22ln ax x ax x x-=-，① 因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x ax a x x -=- 所以方程ln 4220ln x ax a x x --+=有三个不等的正实根. 记()01()()1lnx t x x x=∈+∞U ，，，，则上述方程转化为()4220()a t x a t x --+=， 即()()220t x t x a ⎡⎤⎡-⎤⎣⎦⎣⎦+=，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln 'x t x x -=，当()(0)11x e ∈U ，，时，()'0t x >，所以()t x 在(0，1)，(1)e ，上单调递增，且0x →时，()t x →-∞，当()x e ∈∞，+时，()()'0t x t x <，在()e +∞，上单调递减，且x →+∞时，()0t x →，所以当x e =时，()t x 取最大值1e ，当()2t x =-，有一根，所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(0，3) 抛物线2112y x =的标准方程为2126x y p ==，，所以焦点坐标为(0，3). 14.-25 61()x x -的展开式中含21x 的项为42462115()C x x x -=，61()x x -的展开式中的常数项为33361()20C x x-=-，所以2261(2)()x x x +-的展开式中的常数项为154025-=-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1MC CN NA ，，，则平面1A MCN 即为平面α.证明如下：由正方体的性质可知，1//A M NC ，则1A M C N ，，，四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥.连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥.同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面. 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =12S =⨯= 16.1140首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅== 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.(1)解：123123252525253n n n a a a a ++++=----L ① 当1n =时，14a =当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----L ② 由①-②，得3522()n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=. (2)证明：114411()(35)(38)33538n n a a n n n n +==-++++ 12231111n n n T a a a a a a +=+++L 4111111[()()()]381111143538n n =-+-++-++L 411()3838n =-+ 因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤≤ 18.(1)证明：当四面体EDPC 外接球的表面积为5π时，， 因为ABCD 是边长为2的菱形，CDEF 是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，则ED ⊥平面ABCD，EC =，则EC 为四面体EDPC 外接球的直径，所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.由题意，CB ED EP ED E ⊥=I ，，所以CB DP ⊥因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点记AD 的中点为M ，连接MH MB ，，则////MB DP MH DE DE DP D =I ，，，所以平面//HMB 平面EDP 因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP(2)解：由题意，ED⊥平面ABCD，则三棱锥E DPC-的高不变，当四面体EDPC的体积最大时，DPCV的面积最大，所以当点P位于点B时，四面体EDP C的体积最大.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-，则110000010,020()()))()22D E B H C-，，，，，，，，，，，，所以))110021())212DB DH EC EB==-=-=-u u u r u u u u r u u u r u u u r，，，，，，，，.设平面HDB的法向量为111()m x y z=，，.111111122DB m yDH m y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u ru u u u r令11x=，得1(m=--，设平面EBC的一个法向量为222()n x y z=，，，2221120EC n y zEB n y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u ru u u r令23y=，得6)n=，设平面HDP与平面EPC所成锐二面角是ϕ，则7||||8m ncosm nϕ⋅==所以当四面体EDPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为7819.解：(1)依题意，()0.050.350.2811a b ++++⨯=，故0.32a b +=.又因为0.18a b -=，所以0.250.07a b ==，.所求平均数为9.50.0510.50.2511.50.3512.50.2813.50.07⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.475 2.625 4.025 3.50.94511.57=++++= (万分)(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于-一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率0.350.280.070.7P =++=设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500，()26000.30.09P X ===，()9000.730.70.320.30.70.30.469P X ==+⨯+⨯⨯=，()1312000.30.720.30.1323P X C ==⨯⨯⨯=，()1315000.30.720.70.3087P X C ==⨯⨯⨯=，故每颗芯片的测试费用的数学期望为()6000.099000.46912000.132315000.30871097.91E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (元)，因为1001097.91⨯>100000，所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.20.解：(1)由题意不妨设3()2,A b ，2,)3B b ， 则22()(2233)b b F A c F B c =-=-+u u u u r u u u u r ，，， ∵90AF B ∠=︒2∴220F A F B ⋅=u u u u r u u u u r ∴2245a b =又212202339F AB b S =⨯⨯=V∴ab =∴2a b =故C 的方程为22154x y += (2)设00()P x y ，，11()M x y ，，22()N x y ，，则00op y k x =∵0op MN k k +=， ∴00MN y k x =- 设直线MN 的方程为00)0(y y x m m x =-+≠， 联立0022154y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m ++-=一.∵P 在C 上，∴22004520x y +=∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-= 22222220001212000,,4(416)024mx y m x x x x x x x m y m +==-∆=-+>Q 200121202()25y mx y y x x m x ∴+=-++= 2220001212000()()5y y m x y y x m x m y x x =-+-+=- 222200010201201202()()()5m x mx y y y y y y y y y y y -∴--=-++=1020102045PM PN y y y y k k x x x x --∴⋅=⋅=-- 21.(1)解：2()()f x g x ax ≥，即()2x x e xlnx x ax ⋅+≥，化简可得ln 1x a x e+≤ 令()1x lnx k x e +=，()1(1)'x lnx x k x e-+= 因为1x ≥，所以11x≤，11lnx +≥， 所以()'0k x ≤，()k x 在[1,)∞+上单调递减，()()11k x k e ≤=. 所以a 的最小值为1e. (2)要证()()1f x x g x +->，即()10xlnx x +>>，两边同除以x 可得11xlnx x e +> 设()1t x lnx x =+，则()22111'x t x x x x-=-= 在(0)1，上，()'0t x <()0t x <，所以()t x 在(0)1，上单调递减， 在(1)+∞，上，()'0t x >，所以()t x 在(1)+∞，上单调递增.所以()()11t x t ≥= 设()1x h x e=，因为()h x 在(0)+∞，上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->(3)证明：方程()()f x g x x -=在区间(1)+∞，上的实根为0x ，即001ln x x e=，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()2F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <- 当01x x <<时，()F x xlnx =，()'10F x lnx =+>，因而()F x 在0(1)x ，上单调递增； 当0x x >时，()()1'0x x x x F x F x e e-==<，，要证()()1012F x F x x <-即要证0011122x xx x x lnx e --<， 记()001022,1x x x x m x xlnx x x e --=-<< 因为001x lnx e =，所以()000000x x x lnx m x e ==， 000002221221'()1ln 1ln x x x x x x x x x x m x x x e e e ---+--=++=++- 设()()1,'t tt t n t n t e e -==，当)1(0t ∈，时，()'0n t >； 1()t ∈+∞，时，()'0n t <.故()1max n t e= 且()0n t >，故()10n t e<<， 因为021x x ->，所以002210x x x x e e---<-< 因此()'0m x >，即()m x 在0(1)x ，上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即01011122ln x x x x x e x --<故()()2012F x F x x <-得证.22.解：(1)由221613sin ρθ=+得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416x y +=，即221164x y +=.直线l 的直角坐标方程为90x -=.(2)可知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)， 设4202()[)P cos sin αααπ∈，，，，则()2M cos sin αα，到直线90l x --=：的距离为d ==≤ 所以线段OP 的中点M 到直线l的最大距离为92+ 23.解：(1)()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x -≤≤时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >，时，由33x ≥，解得1x ≥. 所以所求不等式的解集为1{}1|x x x ≤-≥或(2)由(1)知，当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++= 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y x =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ≤++++⎡⎤⎣⎦， 由32x y z ++=，可知()()281124x y z ⎡⎤⎣⎦++++≥ 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当311222x y z ===-，，时，等号成立. 所以()()22212x y z ++++的最小值为274.。
2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校第四次联考数学176C(文科)
2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第四次联考.数学(文科)考生注意:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,5,2,3,4,6U A B ===,则() U C A B I =（ ） A. {1,3,6} B. (3,6} C. {2,6} D. {2,3,4}2.若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.3507017020cos sin sin sin ︒︒-︒︒ =( )A. C.12 D.12- 4.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当1()0x ∈-，时，()433xf x =+，则3()32f log =( ) A.-2 B.2 C.-3 D.35.高考“3+3"模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.计人总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择.某中学为了解本校学生的选择情况,随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位,选择化学的学生共有30位,选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，已知4bcosBsinC =，则B =( ) A.6π或56π B.4π C.3π D.6π或3π7.函数()f x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.8.明代数学家程大位(1533~1606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生开始心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输人的x 的值为( ) A.74 B.5627 C.2 D.164819.将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( )A.9πB.18πC.29πD.24π10.点O 在ABC V 所在的平面内，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，|21|||AB AC ==u u u r u u u r ，，,()AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42()0λμμ-=≠，则||BC =u u u r( )A.73C.711.已知双曲线22221()00x y a b a b-=>>，的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为(2，0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP V 的外接圆面积达到最小时.点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( )A.2213x y -=B.2213y x -= C.22122x y -= D.22144x y -= 12.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)，底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )(附 1.414≈ 1.732≈ 2.236≈) A.22个 B.24个 C.26个 D.28个第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为100,则n =_________. 14.抛物线2112y x =的焦点坐标为_________. 15.已知偶函数()()f x x R ∈,其导函数为()'f x ,当0x >时,()()()211'0,525f x xf x f x ++>= ,则不等式()21f x x>的解集为_________. 16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面a 与直线DE 垂直.则平面a 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时) ,按照[0,5),[5,10) ,[10,15),[15,20) ,[20,25),[25,30]共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”。
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【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
9．已知双曲线 的左、右顶点分别是 ，双曲线的右焦点 为 ，点 在过 且垂直于 轴的直线 上，当 的外接圆面积达到最小时，点 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点 的坐标为 ， ，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
．
故选：
【点睛】
本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.
4．已知 为定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】判断 ，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.
【详解】
∵ ，∴ ．
故选：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
10．点 在 所在的平面内， ， ， ， ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】确定点 为 外心，代入化简得到 ， ，再根据 计算得到答案.
【详解】
由 可知，点 为 外心，
则 ， ，又 ，
所以 ①
因为 ，②
联立方程①②可得 ， ， ，因为 ，
所以 ，即 ．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
（2）由题意， 平面 ，则三棱锥 的高不变.
当四面体 的体积最大时， 的面积最大.
所以当点 位于点 时，四面体 的体积最大.
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 .
则
令 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角是 ，则 .
（1）当四面体 的外接球的表面积为 时，证明： .平面
（2）当四面体 的体积最大时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题意，先求得 为 的中点，再证明平面 平面 ，进而可得结论；
（2）由题意，当点 位于点 时，四面体 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
（1）解： ，①
当 时， ．
当 时， ，②
由①-②，得 ，
因为 符合上式，所以 ．
（2）证明：
因为 ，所以 ．
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的菱形，且 ， 是矩形， ，且平面 平面 ， 点在线段 上移动（ 不与 重合）， 是 的中点.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数的变换规则表示出 ，根据 是奇函数，可得 的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数 的图像向右平移 个单位长度，得 ，再将 图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 的图像， ，
因为 是奇函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为 cm的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为 cm，每装两个球称为“一层”，这样装 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，
若想要盖上盖子，则需要满足 ，解得 ，
所以最多可以装 层球，即最多可以装 个球．
【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.
【详解】
∵ ，
∴ 为奇函数，排除B，C；
又 பைடு நூலகம் ，排除D；
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值为（）
故选：
【点睛】
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
12．已知函数 ， ，若方程 恰有三个不相等的实根，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可将方程转化为 ，令 ， ，进而将方程转化为 ，即 或 ，再利用 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
所以当四面体 的体积最大时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
19．某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为 五个小组（所调查的芯片得分均在 内），得到如图所示的频率分布直方图，其中 ．
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为 ，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） ，①当 时， ，②两式相减即得数列 的通项公式；（2）先求出 ，再利用裂项相消法求和证明.
所以 恰有两个不相等的实根，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
二、填空题
13．抛物线 的焦点坐标为______.
【答案】
【解析】变换得到 ，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线 的标准方程为 ， ，所以焦点坐标为 ．
故答案为：
【点睛】
【答案】D
【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为： 的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知 ，
所以 的虚部是1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
3． （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得到原式 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
由题意知方程 在 上恰有三个不相等的实根，
即 ，①.
因为 ，①式两边同除以 ，得 .
所以方程 有三个不等的正实根.
记 ， ，则上述方程转化为 .
即 ，所以 或 .
因为 ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递增，且 时， .
当 时， ， 在 上单调递减，且 时， .
所以当 时， 取最大值 ，当 ，有一根.
记 的中点为 ，连接 ，易证 ．连接 ，则 ，
所以 平面 ，则 ．
同理可证， ， ，则 平面 ，
所以平面 即平面 ，且四边形 即平面 截正方体 所得的截面．
因为正方体的棱长为 ，易知四边形 是菱形，
其对角线 ， ，所以其面积 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为 cm，高度为 cm，现往里面装直径为 cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）
（附： ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
【答案】C
【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为 cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为 cm，得到不等式 ，计算得到答案.
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】
， ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2．若 ，则 的虚部是（）
A． B． C． D．
16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成 小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.