导数及其应用

第一章 导数及其应用

1．1变化率与导数 1．1．1变化率问题

潘树春

课时目标：

1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率.

知识建构

１．探究：如图（１）是函数h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10的图像，计算运动员在

49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

（１．１．１图（１））

⑵你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗？

结合图形可知，)0()4965

(h h =，

所以65

()(0)

490(/)65049

h h v m s -==-，

虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为

0(/)m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静

止，可以说明用平均速度________________ ２．平均变化率概念

一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变

化率为

2121

()()

f x f x x x --

说明：

（１）12x x x -=∆,)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用

x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

则平均变化率为

=∆∆=∆∆x

f x y x

x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)

()()()(111212;

（２）几何意义：两点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2)) 连线的_____________________；

（３）平均变化率反映了在函数在某个区间上____________，或说在某个区间上曲线陡峭的程度. 导学导练

知识点１ 平均变化率的计算公式

例1 已知s=

2

2

1gt ，（１）计算t 从3秒到3.1秒 、3.01秒 、 3.001秒各段内平均速度；（２）观察计算的结果，总结规律.

点拨：根据计算平均辩护率的公式进行计算，在第（２）问中主要观察计算结果变化的趋势．

变式 一质点的运动方程为2

35t S -=，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应的平均速度为 ．

A ．3t ∆+6 B. -3t ∆+6 C. 3t ∆-6 D.-3t ∆-6

知识点２ 函数平均变化率的计算

例２ 已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的点

)2,1(--A 及临近的点(1,2)B x y -+∆-+∆,则

=∆∆x

y

．

点拨：严格按照平均变化率的计算公式进行.

变式 求2

x y =在0x x =附近的平均变化率.

知识点３ 概念的辨析

例３ 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t ∆∆为 ．

Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时,物体的加速度

点拨：在概念中要注意每一个字母表示的意义，这对后面的学习和定义的理解很重要．

变式 一物体运动方程是2

2t S =,则2s 到 （2+t ∆）s 这段时间内位移的增量S ∆为 ． A. 8 B. 8+2t ∆ C. 8t ∆+2(t ∆)2 D. 4t ∆+2(t ∆)2

作业设计

1．一物体运动方程是2

5t S =，物体从1s 到3s 的平均速度是 米/秒． A.30 B.20 C.40 D.45

2.在曲线2

21y x =-的图象上取一点（1，1）及邻近一点(1,1)x y +∆+∆,则

x

y

∆∆等于 ． A. 2

42x x ∆+∆ B. 42x +∆ C. 2

4x x ∆+∆ D. 4x +∆

3.函数)(x f y =，自变量x 由0x 改变到x x ∆+0 时，函数的改变量y ∆为 ． A ．)(0x x f ∆+ B.x x f ∆+)(0 C ．0().f x x ∆ D.)()(00x f x x f -∆+

4.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆ 是 ．

A ．0x ∆>

B ．0x ∆<

C ．0x ∆≠

D ．0x ∆=

5.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2- 及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则y

x

∆∆等于 __ ． A ．4

B ．4x

C ．42x +∆

D ．()2

42x +∆

6.如果质点M 按规律2

3s t =+运动，则在一小段 时间[]2,2.1中相应的平均速度是 ． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．0.4

7.质点运动规律为32

+=t s ，则在时间)

3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 8.设函数2

()1f x x =+，求：

（1）当自变量x 从1到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 从1到1.1时，函数值的增量y ∆； （3）当自变量x 从1到1.1时，函数的平均变化率．

9.过曲线3

()y f x x ==上两点(1,1)P 和

(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，并求出当

0.1x ∆=时割线的斜率.