高中数学全套讲义 选修2-3 离散型随机变量 基础教师版

目录

考点一：离散型随机变量 (2)

题型一、离散型随机变量分布列 (3)

题型二、离散型随机变量期望与方差 (5)

课后综合巩固练习 (9)

考点一：离散型随机变量

离散型随机变量及其分布列 （1）离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．

如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．

（2）离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,

,)i n =列表表示：

X 的分布列． 两点分布

如果随机变量X 的分布列为

其中01p <<，1q p =-p 的两点分布．

两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足点分布．

两点分布又称01-分布，所以这种分布又称为伯努利分布．

考点二：离散型随机变量期望及方差

离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应

的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的

均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是

1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散

型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机

变量波动大小的量．

X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()

E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．

题型一、离散型随机变量分布列

1．（2019春•重庆期末）设随机变量X 的概率分布列如下：

则(4)(P X <= ) A ．0.15

B ．0.3

C ．0.65

D ．0.5

【分析】(4)(2)(3)0.30.20.5P X P X P X <==+==+=．

【解答】解：依题意，(4)(2)(3)0.30.20.5P X P X P X <==+==+=． 故选：D ．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，考查了互斥事件的概率加法公式．解题时要认真审题，是基础题．

2．（2019春•邹城市期中）已知随机变量X 的概率分布为()(0(1)(2)

a

P X n n n n ===++，

1，2)，其中a 是常数，则(02)P X <的值等于( )

A．1

3

B．

2

3

C．

2

9

D．

8

9

【分析】根据条件，由概率分布的性质概率之和为1，分析即可求出a的值，再由(02)(0)(1)

P X p X P X

<==+=，即可求出结果．

(02)

X<=

故选：D．

【点评】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型．

3．（2019春•南岗区校级月考）设离散型随机变量ξ的分布列如表，则(

p=)

A．1B．1C．1+D．1±

【分析】由离散型随机变量ξ的分布列的性质列出方程，能求出p的值．

【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：

故选：B．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．（2019春•思明区校级期中）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“4

X>”表示试验的结果为()

A．第一枚为5点，第二枚为1点

B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C．第一枚为6点，第二枚为1点

D．第一枚为4点，第二枚为1点

【分析】由于X 表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差，故可得“4X >”表示试验的结果． 【解答】解：

X 表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差，

∴ “4X >”表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点

故选：C ．

【点评】本题考查离散型随机变量的含义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 5．（2018春•滦南县期末）已知随机变量X 服从的分布列为

则k 的值为( ) A ．1

B ．2

C ．

12

D ．3

【分析】利用随机变量X 服从的分布列的性质直接求解． 【解答】解：由随机变量X 服从的分布列得： n n 个

1k ∴=．

故选：A ．

【点评】本题考查概率的求法，考查随机变量X 服从的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

题型二、离散型随机变量期望与方差

1．（2019春•武昌区校级期中）设01p <<，随机变量X 的分布列是

则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．()E X 增大

B ．()E X 减小

C ．()E X 先增大，后减小

D ．()

E X 先减小，后增大