数理金融学导论补充练习及参考答案
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解： 是月利率。令 ，他所有存款的现值为
。
类似地，如果 是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为
。
这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）：
。
对于 ， ，可以得到
。ຫໍສະໝຸດ Baidu
这就是说，在240个月中每月存款361美元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。
附录：练习题目
第一章练习及参考答案
1.假设1期有两个概率相等的状态 和 。1期的两个可能状态的状态价格分别为 和 。考虑一个参与者，他的禀赋为( )。其效用函数是对数形式
问：他的最优消费／组合选择是什么？
解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是 。他的最优化问题是
其一阶条件为：
给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此， 。对于 我们立即得到如下解：
现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记 为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为 ，这里 ；而 是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：
该问题的解为
, ,
这里 而 。
均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：
均衡价格的解为 和 。参与者2的财富为 。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是 。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。
, ,
把 的解代人预算约束，我们可以得到 的解：
最后，我们有
, ,
可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2.考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态 和 。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：
解答：首先，市场组合的风险溢价是 。我们有
尽管资产 有相对较高的波动率，但它全是剩余风险，因而没有溢价。它的期望收益将和无风险利率一样，都是4％。资产 和 的资产收益波动率有很大一部分来自市场风险。特别地，市场回归的 都是 。然而，它们的溢价却不相同。资产 有正的12％的溢价，而资产 有负的12％的溢价。
解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：
在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；
在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；
在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；
在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。
；
两个季度后你的欠款为：
；
三个季度后你的欠款为：
；
四个季度后你的欠款为：
。
5．许多信用卡公司均是按每月计息1次的18%的年复合利率索要利息的。如果在1年的年初支付金额为 ，而在这1年中并没有发生支付，那么在这1年的年末欠款将是什么？
解：这样的复合利率相当于每个月以月利率 支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为：
2.计算在超常增长时期末股票的价格。如果股票第3年的股利为：
其中 ，试求3年期末股票的价格。
解答：股利的现值
因为股票的价格为：
所以股票价格的现值
将得到的这两个现值相加得到普通股的价值。
3．（股票定价）企业1在时期 将发行100股股票，该种股票在时期 的价值为随机变量 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为
这对于两个参与者来说是一样的。
3．一个投资者有本金 ，可以投资的钱数在0到 之间，如果投资了 ，则会以概率 获益 ，以 损失 。如果 ，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？
解：设投入金额是 ， ，投资者的投资结果记为 ，它等于 或 ，出现这两种结果的概率分别是 ， ，它们的期望效用为：
其中，
因此股票的价格为：
股票价格的现值
第三步，将从步骤1和步骤2得到的这两个现值相加得到普通股的价值。
解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金 ，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于 的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为 。这个结论可以由下式推得：
。
第四章练习及参考答案
1.考虑3个资产 、 以及 。它们具有如下的风险特征：它们年收益率的标准差为50％； 值分别为0、1.5以及-1.5。另外，市场年收益率的均值为 ，标准差为 ，无风险利率为4％。由CAPM，这三个资产的风险溢价是多少?
。
为求出 的最优值，对上式关于 求导
得：
。
令上式等于0，得：
或 。
所以投资者每次都应投资他现有财富的 。例如，如果获利的概率 ，则投资者应该投资全部财富的20%。如果 ，他应该投资40%。（当 时，容易证明最优投资数量为0。）
第二章练习及参考答案
1.设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。如果给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。
对于年利率 ，第一个现金流序列的现值为
。
其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是
46.083，43.794，43.760，45.627．
因此，公司应在两年后购买新机器。
8．一个打算在20年后退休的人，决定在今后240个月的每月月初在银行存款 ，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息1次的名义年利率为6%，那么 的值应该为多少？
，
两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。
解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态 和 。经济中有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：
两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。
2.给投资人一个机会，他可以在6年之后取得20 000美元。假如他能取得10％的回报，那么现在他最多愿意付多少钱来取得这个机会?
解答：为了回答这一问题，必须以10％的折现率计算6年之后收到的20 000美元的现值。 为20 000， 为10％，即0．1， 为6年。 为0．564。
1美元的现值(PVIF)
解：由于
，
所以
。
即股票的期望回报率为11%。
第三章练习及参考答案
1．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：
， ； ， 。
若两个回报率的相关系数 ，投资者的效用函数为：
求这两个证券的最优组合。
解：设 ， ，由式
得：
。
又由于 ，由式
得：
。
所以我们应该选择 ，使下式的值达到最大：
求其期望值。
解答： 的可能值为26.62、21.78、17.82、14.58，分别对应于 取值3、2、1、0．将这些值代人公式(5—18)求得概率为0.512、0.374、0.096、0.008．到期时期权的收益分别为5.62、0.78、0、0，因此期望收益是
(美元)
2.考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。计算该股票的价值。
， ，
，
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
解：应用证券市场线性方程
。
即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现 ，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有
。
以15%贴现， ，因有100股，故每股价值为7.83$。
第五章练习及参考答案
1.二项分布的期望值。一个三期的二叉树，股价的参数为 , , , ,如果期权在到期日的收益为：
既然这两个值在考虑了时间因素后是等价的，那么这意味着对能够从她的投资中取得10％的回报来说，选择现在收到11 280美元还是选择6年之后得到20 000美元并没什么不同。换句话说，投资人可以在今天以10％的利率投资11 280美元，那么在6年之后就会得到20 000美元。
3.计算利率为4％时，750美元6个月的单利终值是多少？
如用收益的方差来度量，尽管三个资产有完全相同的总风险，但是风险的构成是不一样的。资产 的风险与市场风险完全无关。因此，它没有风险溢价。资产 和 都有很大的市场风险。但是，它们的风险溢价不同。资产 的 值为正，因而它的收益与市场收益正相关。给定参与者都持有市场组合，资产 的风险是不受欢迎的。因此，它有正的溢价。资产 的 值为负，即它的收益与市场收益负相关。也就是说，当市场表现好时它的收益较低，但市场表现差时它的收益反而较高。对于一个持有市场组合的参与者来说，资产 实际上提供了一个保险。因此，它有负的溢价。也就是说，参与者愿意为了持有它而付出一个溢价。事实上，资产 的期望收益是 ，它是负的。也就是说，排除了不确定性，资产 得到的平均回报是每年 ，而市场中的无风险收益率是4％。如果理解了资产 提供的实质上是对市场风险的一个保险，那么这个结论就不足为奇了。
为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。
。
6．如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？
解：有效利率应为：
。
即有效利率是每年 。
7．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？
注在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式：
。
为了证明这个等式，我们令
注意到
。
因此，
，
这就证明了该等式。
利用相同的方法，或者令 趋向于无穷，可以证明当 时有
。
9．终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额 款项的权利。这就是说，对于每一个 ，在第 年的年末要向持有者支付 。如果利率为 ，每年计息1次，那么这个现金流序列的现值是多少？
解答：其中， ，且 。于是
并且
4.如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息1次的复利形式支付利息，借期1年，那么1年后你欠了多少钱？
解：每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：
或等价的，最大化
。
简单计算后得知 取下值时，上式达到最大：
。
即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。将 代入前面等式，得 ， ，最大期望效用等于：
。
这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。
解答：考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。为了计算该股票的价值，可采用如下步骤：
第一步，计算在超常增长时期的股利，并求出其现值。假定 为2美元， 为15％， 为12％：
或
股利的现值
第二步，计算在超常增长时期末股票的价格。第三年的股利为：
。
类似地，如果 是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为
。
这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）：
。
对于 ， ，可以得到
。ຫໍສະໝຸດ Baidu
这就是说，在240个月中每月存款361美元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。
附录：练习题目
第一章练习及参考答案
1.假设1期有两个概率相等的状态 和 。1期的两个可能状态的状态价格分别为 和 。考虑一个参与者，他的禀赋为( )。其效用函数是对数形式
问：他的最优消费／组合选择是什么？
解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是 。他的最优化问题是
其一阶条件为：
给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此， 。对于 我们立即得到如下解：
现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记 为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为 ，这里 ；而 是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：
该问题的解为
, ,
这里 而 。
均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：
均衡价格的解为 和 。参与者2的财富为 。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是 。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。
, ,
把 的解代人预算约束，我们可以得到 的解：
最后，我们有
, ,
可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2.考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态 和 。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：
解答：首先，市场组合的风险溢价是 。我们有
尽管资产 有相对较高的波动率，但它全是剩余风险，因而没有溢价。它的期望收益将和无风险利率一样，都是4％。资产 和 的资产收益波动率有很大一部分来自市场风险。特别地，市场回归的 都是 。然而，它们的溢价却不相同。资产 有正的12％的溢价，而资产 有负的12％的溢价。
解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：
在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；
在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；
在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；
在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。
；
两个季度后你的欠款为：
；
三个季度后你的欠款为：
；
四个季度后你的欠款为：
。
5．许多信用卡公司均是按每月计息1次的18%的年复合利率索要利息的。如果在1年的年初支付金额为 ，而在这1年中并没有发生支付，那么在这1年的年末欠款将是什么？
解：这样的复合利率相当于每个月以月利率 支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为：
2.计算在超常增长时期末股票的价格。如果股票第3年的股利为：
其中 ，试求3年期末股票的价格。
解答：股利的现值
因为股票的价格为：
所以股票价格的现值
将得到的这两个现值相加得到普通股的价值。
3．（股票定价）企业1在时期 将发行100股股票，该种股票在时期 的价值为随机变量 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为
这对于两个参与者来说是一样的。
3．一个投资者有本金 ，可以投资的钱数在0到 之间，如果投资了 ，则会以概率 获益 ，以 损失 。如果 ，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？
解：设投入金额是 ， ，投资者的投资结果记为 ，它等于 或 ，出现这两种结果的概率分别是 ， ，它们的期望效用为：
其中，
因此股票的价格为：
股票价格的现值
第三步，将从步骤1和步骤2得到的这两个现值相加得到普通股的价值。
解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金 ，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于 的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为 。这个结论可以由下式推得：
。
第四章练习及参考答案
1.考虑3个资产 、 以及 。它们具有如下的风险特征：它们年收益率的标准差为50％； 值分别为0、1.5以及-1.5。另外，市场年收益率的均值为 ，标准差为 ，无风险利率为4％。由CAPM，这三个资产的风险溢价是多少?
。
为求出 的最优值，对上式关于 求导
得：
。
令上式等于0，得：
或 。
所以投资者每次都应投资他现有财富的 。例如，如果获利的概率 ，则投资者应该投资全部财富的20%。如果 ，他应该投资40%。（当 时，容易证明最优投资数量为0。）
第二章练习及参考答案
1.设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。如果给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。
对于年利率 ，第一个现金流序列的现值为
。
其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是
46.083，43.794，43.760，45.627．
因此，公司应在两年后购买新机器。
8．一个打算在20年后退休的人，决定在今后240个月的每月月初在银行存款 ，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息1次的名义年利率为6%，那么 的值应该为多少？
，
两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。
解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态 和 。经济中有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：
两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。
2.给投资人一个机会，他可以在6年之后取得20 000美元。假如他能取得10％的回报，那么现在他最多愿意付多少钱来取得这个机会?
解答：为了回答这一问题，必须以10％的折现率计算6年之后收到的20 000美元的现值。 为20 000， 为10％，即0．1， 为6年。 为0．564。
1美元的现值(PVIF)
解：由于
，
所以
。
即股票的期望回报率为11%。
第三章练习及参考答案
1．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：
， ； ， 。
若两个回报率的相关系数 ，投资者的效用函数为：
求这两个证券的最优组合。
解：设 ， ，由式
得：
。
又由于 ，由式
得：
。
所以我们应该选择 ，使下式的值达到最大：
求其期望值。
解答： 的可能值为26.62、21.78、17.82、14.58，分别对应于 取值3、2、1、0．将这些值代人公式(5—18)求得概率为0.512、0.374、0.096、0.008．到期时期权的收益分别为5.62、0.78、0、0，因此期望收益是
(美元)
2.考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。计算该股票的价值。
， ，
，
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
解：应用证券市场线性方程
。
即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现 ，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有
。
以15%贴现， ，因有100股，故每股价值为7.83$。
第五章练习及参考答案
1.二项分布的期望值。一个三期的二叉树，股价的参数为 , , , ,如果期权在到期日的收益为：
既然这两个值在考虑了时间因素后是等价的，那么这意味着对能够从她的投资中取得10％的回报来说，选择现在收到11 280美元还是选择6年之后得到20 000美元并没什么不同。换句话说，投资人可以在今天以10％的利率投资11 280美元，那么在6年之后就会得到20 000美元。
3.计算利率为4％时，750美元6个月的单利终值是多少？
如用收益的方差来度量，尽管三个资产有完全相同的总风险，但是风险的构成是不一样的。资产 的风险与市场风险完全无关。因此，它没有风险溢价。资产 和 都有很大的市场风险。但是，它们的风险溢价不同。资产 的 值为正，因而它的收益与市场收益正相关。给定参与者都持有市场组合，资产 的风险是不受欢迎的。因此，它有正的溢价。资产 的 值为负，即它的收益与市场收益负相关。也就是说，当市场表现好时它的收益较低，但市场表现差时它的收益反而较高。对于一个持有市场组合的参与者来说，资产 实际上提供了一个保险。因此，它有负的溢价。也就是说，参与者愿意为了持有它而付出一个溢价。事实上，资产 的期望收益是 ，它是负的。也就是说，排除了不确定性，资产 得到的平均回报是每年 ，而市场中的无风险收益率是4％。如果理解了资产 提供的实质上是对市场风险的一个保险，那么这个结论就不足为奇了。
为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。
。
6．如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？
解：有效利率应为：
。
即有效利率是每年 。
7．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？
注在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式：
。
为了证明这个等式，我们令
注意到
。
因此，
，
这就证明了该等式。
利用相同的方法，或者令 趋向于无穷，可以证明当 时有
。
9．终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额 款项的权利。这就是说，对于每一个 ，在第 年的年末要向持有者支付 。如果利率为 ，每年计息1次，那么这个现金流序列的现值是多少？
解答：其中， ，且 。于是
并且
4.如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息1次的复利形式支付利息，借期1年，那么1年后你欠了多少钱？
解：每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：
或等价的，最大化
。
简单计算后得知 取下值时，上式达到最大：
。
即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。将 代入前面等式，得 ， ，最大期望效用等于：
。
这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。
解答：考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。为了计算该股票的价值，可采用如下步骤：
第一步，计算在超常增长时期的股利，并求出其现值。假定 为2美元， 为15％， 为12％：
或
股利的现值
第二步，计算在超常增长时期末股票的价格。第三年的股利为：