一道高考试题解法探究的教学片断及感悟

２１ ０ ２年
第 ６期
Ｊ ｕｎ １ｏ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＣｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ２ １ Ｏ６ Ｏ ２
摘 要 ：课 堂例题 教 学是 高三学 生进行数 学 学习活动 的最 大 平台．那 么，如何来提 高课 堂例题教学的效果呢？从鼓励 学生探
复杂形 式 中的基本模型 ！现 在只要能证明 当 ＞１ ，九 （ ＞０ 解 法 ３过程 虽然 简洁 ，但学 生普遍感觉其 技巧性强 ，特别是证 时 ’ ） 即可 ，又将如何证明呢？
生 ：要 证 明 当 ＞１时 ，ｈ（ ＞０ ） ，只要 证 明 ｈ（ ～ ＞０即 ）
当 ≥ １ ， ｘ ＞０ 时 ｆ（ ） ，用的转化思想很难想到 ！ 原来 笔者给学生 准备 的考 题标准答案 所给 的方法是 学生最
师：说得 好 ！这名 同学用 了逆 向分析法 ，根据考题解 答 的
特 点 发 现 进 一 步 解 题 的 方 向 ．那 么 ，怎 样 说 明 当 ０＜ ＜ ｌ ， 时 ｈ（ ＜０ 当 ＞１ ，ｈ（ ＞０ ） ； 时 ） ．
１ 、
吗？师者 ，传道授业解惑也 ！兵法有 云 ： 置死地 而后生” “ ，更何 况名师说过 “ 做好老师就不要怕挂黑板 ” ，想到这里 ，笔 者决定
在 了解多种解题方法之后 ，学 生的解题 思维不能到此完结 ，
令 （ ＝ ＝ ｎ ） ＿ （ ） Ｉ ＋ １ 厂 一，贝 （ ） ０ ＝
＜０ ，所 以 （ 在 因为学 生此时对各种 解题方法 的认识还不 是非常深 刻 ：几种解 ） 题 方法是否完全 正确 ，分析解 题 的过程是 否都很恰 当 ，哪些 是 （， １上 单 调 递 减 ，则 （ ＞ １ ＝１＞０ 即 ｆ （ ＞０ ０ ） ） （ ） ， ） ，所 以 般 的解法 ，哪些是创新 的巧法 ，哪些是最简便的解法 ，等等 ，
由此 得 证 ．
笔者不禁拍案 叫绝 ，也 引来学生 片片喝彩 ……生 的回答也 出乎笔者的预料 ，不 免感 叹学生 的思维灵活． 笔者非常满意 ，给
予 了及 时 表 扬 ． 还 想 让 学 生 理 解 笔 者 的解 法 ，于 是 又 问 ： “ 但 还 有 其 他 解 法 吗 ？ ” 解法 ２ ：分 解 转 化 ，精 彩纷 呈
尝试 一 下 ．
生３ ：当 ０ ＜１ ＜ 时，ｈ（） ２ｌ ＝ ｘ 一（＋ １ ２ ０ ｎ ＋ ＜ ，因为
、 咒 ，
１ ， １
师 ：说得非常好 ！这是我们解这种题型的常规思路和方法 ， 下面我们按 生． 的思路来做一下．
收 稿 日期 ：２ １ —４ ０ ０２ ０ — ５
生 回答 也 出乎 笔 者 的意 料 ，此 法 还 用 到 了 解法 １中 的二 的 次 求 导 的思 路 ，解 法 １和 解 法 ２都 比笔 者 准 备 的 方 法 简 单 ，不
题 的能力和效率． 这一过程 ，就是一个继续 思维 的过程 ，也是一
个对该题 的各种解法 的再认识过 程 ，它是一题 多解训 练的一个 免有点兴奋 ，于是继续追 问学生 ：一 般综合题 ，前后两 问总会 不 可 忽 视 的环 节 ． 有 这 样 ，学 生 遇 到 陌生 的 问题 ，才 会 迅 速 抓 只 存在一定 的联 系 ，能不能借助于第 （ ） １ 问证明第 （ ） ２ 问呢？ 住各种方法 的精神实 质 ，迅速 寻找到 （ 灵活 变换）解 题的切 或
化 为求 （ … 只要能证 明 ｈ ｘ ≥ ０即可． ） （） 是 呀 ！多好 的想法呀 ！但此 时笔者心 中充满矛盾 和紧张 ．因 为笔者对此法在 备课 时已经研究过 了 ，当时没做 出来 ，笔者 给 学 生准备的是考题标准答案所给方法 ，即后 面的解法 ３ 继续解 ．
个问题 ：① ＝１ 是如何来定？ 学生有的陷入 了沉 思 ，有的进行激烈 的讨 论．过了一会儿 ，
生 手 站 起 来 ，说 出 了 以下 解 答 ：用 逆 向思 维 ，注 意 到 ｈ １ ＝ 举 （ ） ０ ，用 分 析法 ，因 为要 证 （ ≥ ０ ） ，所 以 ｈｘ 定 在 ＝ｌ 取 得 （） 处
所 以 ｈ （ ：２ ｌ — 一 ＋２ ） ｘｎ ，
探 究， 阐述 了教 师如何 在课 堂上 与学 生合 作探 究例题 的潜 能 ，
以提 高课 堂例 题 教 学效 果 的 实效 性 ． 关键 词 ：解题 教 学 ；通 性 通 法 ； 解题 反 思 ；感 悟
令 ｈ（ ＝０ 即 ２ ｌ — 一 一＋２＝０ ） ， ｎ ．
、
课 堂 探 索 展精 彩
解 法 １ 曲径 通 幽 ，步 步 深 入 ：
师 ：接下来我们来做第 （ ） ２ 问． （ 让学生先独立思考 ，然后让生。 阐述他的思路． ）
生 。 的思路是这样 的 ：要证 不等式 （ ：我 一１厂 ）≥ ０ ）（ ，构 造 函数 ｈｘ ＝（ （ ） 一１厂 ） ） （ ，把 问题转化 为证 ｈ ｘ （ ）≥ ０ ，进而转
如本文的解法 １ 和解 法 ２ ． ２ ．鼓励 学 生反 思 回顾
生 ：我的思路是这样 的，根据积的符号法则 ， 要证 （ 一１ ）・
厂 ） ０ （ ≥ ，只需 证 当 ０ ＜ｌ 厂 ＜ ，且 当 ≥ １ ，（ ） ０ ＜ 时 （） ０ 时 ， ≥ 即 ＇ 可 ．（ ） ０ ＜１ ， （ ） ＋１Ｉ — １当 ＜ 时 ｆ ｘ ＝（ ） ＋１ 厂（ ） ｎ ｎ ， ＝ｌ ＋ ｌ ＿，
最小值 ，只要 我们 能说 明当 ０＜ ＜】 ，ｈ（ ＜０ 时 ） ；当 ＞１ ， 时 ｈ（ ＞ ，即说明 ｈｘ 在 ＝１ ） ０ （） 处取得极小值 即可．
决 这个 问题 吧 ，心 中一点 底都没有 ，害怕 挂黑板 ，如果解决不
了 ，怎 么 办 呢 ？ 不 解 决 这 个 问 题 吧 ，这 节 课 还 有 上 下 去 的意 义
究发 现 、反 思 回顾 两 个 方 面诠 释 了教 学要 在 预 设 的 基 础 上 有 机
地 生 成 ；从 教 师 潜 心 钻 研 例 题 入 手 ， 对例 题 的 通 性 、 通 法 进 行
令 ｈｘ ＝（ （ ） 一１厂 ） ）（ ，
即 ｈｘ ＝（ 一１ｉ 一（ （） ） ｎ 一１ （ ） ＞０ ． ）
可 ，这又转 化 为求 一个 新 函数 ｈ（ 的最 小值 ，可 考虑对 函数 不喜 欢的方法 ！所 以教学要在 预设的基础 上有机地 生成 ，不 能 ）
ｈ （ 再 次 求 导 ． 令 （ ） ）＝ｈ （ ： ２ｌ — 一 ） ｘｎ
为此要做到以下几点 ． ＋２ 则 把教师 的想法强行灌输给学生． ， １ ．鼓励 学 生探 究发 现 “ 在人 的心灵深处 ，都有一种根深蒂 固的需要 ，希望感到 自 己是一个 发现者 、研究 者 、探 索者 ” ，根据 学生 的这种 心理 特 点 ，教 师在解题教 学时 ，切不 可包办代替 ，每到关键 处 、紧要 处 ，留下悬念 ，给学 生 “ ”的时间和机会 ，有时 还可 以把学 想
一
＿（ 在 （，１上单调递增 ，．ｆ（ ） ｌ（ ） ，所 以当 ０＜ ＜１ 这些都要引导学生 自己去进一步思考 ，进一步去认识 ． 厂 ） ０ ） ￣ ｘ ＜ １ ＝０ ｌ 厂 否则是对 时 ， ｘ ＜０ ｆ（ ） ，即 当 ０＜ ＜１时 ，（ 一１厂 ≥０ ２ ）（） ．（ ）当 ≥ １ 是错 ，是优 是劣 ，是 简是繁 ，学生都不知 道 ，这样 就不能达 到 时 ，由（ ） ｆ（ 在 ［ ，＋。 上 也是单 调递 增 的 ，所 以此 时有 提高学生解题能力的 目的．只有通过引导学生 自己对上述求得 的 １知 ） １ 。） ｆ（ ）≥ｆ（ ） ，所 以 ≥ １时 ， ）≥ ０ ｘ １ ＝０ ｆ（ ，即 ≥ １ ，有 时 各种解题方 法进行逐 一 比较 ，展 开热烈 的讨 论或争论 ，才能真 （ 一１厂 ） ０ 综上 （ ）２ ，（ ）（ ≥ ． １（ ） 一１厂 ）≥ ０ ）（ ． 正把握该题 型的最简便 的解题方 法 ，才能进 一步提高解 答数学
师 ：这是 一个无理 方程 ，进展 到这里 ，遇 到 了障碍 ，是不
是 应 该 放 弃 这种 做 法 ，另 寻 他 法 ？
生 ：我认 为不 能半途而废 ，这是解决这种 题型的通性通 法 ， 近 日，在 高三一轮复 习时 ，为 了激 发学生 的学 习兴趣 ，提 而 高 考 注 重 通 性 通法 ，一 定 会 有 办 法 的 ！ 升学生 的解题 能力 ，笔者 开设 了一 堂以一道高考题 为载体 的复 师 ：生 这种不服输的精神值得肯定 ，说不定再往前一步就 习课 ，课后 感触 良多．题 目如 下 ，由于第（ ） 的求解很顺 利 ， 会 “ 暗花 明 ” １问 柳 ，这 个 无 理 方 程 真 的 没 办 法 解 吗 ？这 是 一 个 值 得 本 文 不再 赘述 ． 研究 的问题 ，我们一块 儿来研究 ，看谁先研究 出来？ （ 这样做 ， 题 目 （０ ０年 高考数 学大纲全 国卷 Ｉ理科 第 ２ ２１ ０题） 已知 不仅 给 了学生充分思考 的空间 ，相信 学生会 有好 的想法 ；同时 函数 厂 ） ＋１ｉ — ＋１ （ ＝（ ） ｎ ． 也给 了笔 者再 思考的时间 ，走 出窘境． ） （） １ 若 （ ≤ ＋ ＋１ ） ，求 ａ的取值范围 ；
查结果更令我吃惊 ！学 生都喜欢解法 １ 和解法 ２ ，竟然没学生喜
师 ：太好 了 ！他 根据式 子 的特点发 现 了均值定 理 的应用 ， 欢解法 ３ 因是他们认为解法 １ １原 和解法 ２ 属于通性通法 ，虽然
由此 也 可见 命 题 人 的巧 妙 构 造 ， 因 此 在 解 题 过 程 中要 注 意 识 别 用到 了两次求导 ，但 容易理解 和掌握 ，也很容易想到这种 思路．
２ｌ ０ ｘ ＜ ，由均值不等式，得 ＋ ＞ ， ｎ ２ 所以一 一＋ ＜ ， ｆ＋ １ ２ ０
作者简介： 姚利娟 （９ １ ） 女 ，陕西乾县人 ，中学二级教 师，主要从事 中学数学教育与教学研 究 １８一 ，
３ ６
所 以 当 ０＜ ＜１ ，ｈ（ ＜０ 时 ） ．
生 的思路引入 “ 歧途 ” ，然 后再 “ 途知返” 迷 ，这样 学生学起来
就会很有兴趣．每当学生怎么也想不 出来的时候 ，教 师再一语道 破天机 ，让学生 们有豁然开 朗的感 觉．通过对解题正误 的辨析 ， 有利 于学生通过一 系列的数学 活动 ，深刻 理解 同学 的思想和数 学知识 ，培养数学思维品质 和对数学 问题本质的理解掌握． 鼓励 学生探 索发现 ，甚 至可以得 到许 多新 的富有创造性 的东西 ，例
（） ２ ］ｘ ＋１ ＝ｘ ＋ ｎ ，显 然当 ＞１ 时 （ ＞ ，所 以函数 （ ） ０ ）
戈一
在 （ ，＋。 １ 。）上单调递增 ，所 以 （ ＞ １ ＝０ ） （ ） ，即 ｈ（ ） ， ＞０
综上可得 ：函数 ｈｘ ＝ｈ １ ＝ ，即 （）≥０ （ （） （） ０ ， 一１厂 ） ， ）（ ≥０
（ ） 明 ：（ ２ 证 一１厂 ）≥ ０ ）（ ．
一
学生们一听说教师要他们 比赛 ，立刻跃跃欲 试． 急 中生智 ，笔者经过 紧张的再思考 ，突然 顿悟 ，胸有 成竹 ，
但 不 露 声 色 ，要 让 学 生 自己发 现 ． 生２ 发 现 ＝ｌ 方 程 ２ｌ 一 一 ＋２ ：我 为 ｘｎ ＝０的解 ． 师 ：说 得 好 ！他 用 观 察 法 看 到 了这 个 方 程 的解 ．但 是 还 有 两