21曲线的参数方程精品PPT课件

小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
2.圆的参数方程
高二数学 选修4-4
一.曲线的参数方程
高二数学 选修4-4
2021/1/9
第二讲 参数方程
1.参数方程的概念
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
如果在时刻t，点M 转过的角度是， 坐标是M (x, y)，那么＝t， y
设 OM ＝r，那么由三角函数的定义有：
cost x ,sin t y
例1:
已知曲线C的参数方程是
x y
3t, 2t 2
1.
(t为参数)
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解， 因此M2不在曲线C上。
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
2 .（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
解得：t=2,a=9
∴a=9
6 a
3t, 2t2
1.
训练1：
1、曲线
x
1
t2
(t为参数）
与x轴ຫໍສະໝຸດ Baidu交点坐标是( B )
y 4t 3
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程
x y
sin cos
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2
12t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y) （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
500
（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得:
t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得: y ( x 1)2 , (x 1)2 4 y为所求.
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立
y
平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，
y轴经过点A.
A
记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资
的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，
y表示物资距地面的高度。
由于水平位移量x与高度y 是两种不
同的运动得到的，因此直接建立x,y
o
x 所要满足的关系式并不容易。
(为参数）
所表示的曲线上一点的坐标是
（ D）
A、（2，7）；B、(1 , 2); 33
C、(
1 2
,
1 2
);
D、（1，0）
训练2：
已知曲线C的参数方程是
x y
1 2t, at 2.
(t为参数,a
R
)
点M(5,4)在该 曲线上.
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知: