ch8计量经济学
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计量ch8 共线性
29
第8章 多重共线性
结论： 上面我们讨论了五种检验多重共线性的方法
（经验），但我们可以发现没有一种检验方法能够
帮助我们彻底解决多重共线性的问题。所以，要求 记住一点：多重共线性是一个程度问题，它是与样 本相关的一种现象。
30
第8章 多重共线性
第五节
修正多重共线性的方法
多重共线性必定不好吗？
如果回归分析的唯一目的是预测或预报，则多重 共线性不是一个严重的问题。因为，R2 越高，预测 越准确。通常，预测人员都是根据解释能力(用R2来 度量)来选择模型的。但是，如果对于其他样本，共 线性程度不高，依据方程的预测也将失去意义。
(4)
Yi=B1+B2X2i +B3X4i +ui
（ 5） (5)
这两个模型的不同之处，在于对收入的不同测度。
6
第8章 多重共线性
如果作X2i对X3i的回归，可的如下的回归方程
X3i =300-2X2i
（ 6） （6）
即收入变量(X3i)和价格变量(X2i)之间完全线性相关。
由于存在完全共线性，我们无法对方程(4)进行回归
C
R-squared
2.189792
0.982313
0.155715
14.06283
0.0000
Adjusted R-squared 0.978383
F-statistic
249.9282
19
第8章 多重共线性
第四节
多重共线性的诊断
在讨论如何解决多重共线性问题之前，应该明确 下面两个问题： （1）多重共线性是一个程度问题而不是存在与否的 问题。 （2）多重共线性是在假定解释变量是非随机的条件 下出现的，因而是样本的特征，而不是总体的特征。 因此，我们不仅可以“测定多重共线性”，而且可 以测度任何给定样本的多重共线性程度。
洪永淼计量经济学讲义_ch08
m^ 1 = Xn:
Matching the sample mean with the population mean evaluated at ^ :
m^ 1 =
(^)
=
1 ^
;
we obtain the method of moment estimator
^=
1
=
1 :
m^ 1 Xn
Example 2: Suppose the random sample fXtgnt=1 i.i.d.N ( ; 2): Find MME for 0 = ( ; 2)0:
Remark: In general, if is a K 1 vector, we need K equations of matching moments.
Question: Is MME consistent for 0? Because m^ k !p k( 0); we expect that ^ !p 0 as n ! 1:
CHAPTER 8 GENERALIZED METHOD OF MOMENTS
Key words: CAPM, GMM, Moment matching, Overidenti…cation, Rational expectations.
Abstract: Many economic theories and hypotheses have implications on and only on a moment condition. A popular method to estimate model parameters contained in the moment condition is the Generalized Method of Moments (GMM). In this chapter, we …rst provide some economic examples for the moment condition, and de…ne the GMM estimator. We then establish the consistency and asymptotic normality of the GMM estimator. Since the asymptotic variance of a GMM estimator depends on the choice of a weighting matrix, we introduce an asymptotically optimal two-stage GMM estimator witha suitable choice of a weighting matrix. With the construction of an asymptotic variance estimator, we then propose an asymptotically 2 Wald test statistic for the hypothesis of interest, and a model speci…cation test for the moment condition.
斯托克《计量经济学》Ch8
ˆ LR 2[l ( x, y,: β) l ( x, y,: 0)] ~ 2 (k )
ˆ l ( x, y : β) ：对数似然函数在参数极大似然估计处的取值
l ( x, y,0) ：对数似然函数在原假设下的取值
MacFadden R2：
ˆ l ( x, y : ) 1 l ( x, y : 0)
n
因此：
ˆ ˆ ~ N β, V β (a) n
检验假设： 检验统计量：
H0 : i 0,
H1 : i 0
ˆ i zi ~ N 0, 1 ˆ ) (a) ˆ s(i
©上海财经大学经济学院
Ch8：分类选择模型
计量经济学PPT
Probit 模型的检验：整体检验-似然比检验 检验假设： H0 : 1 k 0 ，H1 : 存在i 0, i 1,2,, k 检验统计量：
?????n构造z检验统计量21111xxxxxeexxeeexxf?iiixiixxiiepypeepyp?111011112??1??ii??????????i?????inixxaxxeenvv?上海财经大学经济学院ch8
Ch8：分类选择模型
计量经济学PPT
定义：又称离散选择模型，是指因变量取离散值，用以描述分类、状态等 的模型。 二元选择模型 因变量只取两个值0，1。 传统线性回归模型对二元选择建模的缺陷： （i）人为增加约束条件： P( yi 1) pi , P( yi 0) 1 pi
E( yi ) 1 P( yi 1) 0 P( yi 0) pi
0 pi 0 1x1i k xki 1
（ii）人为导致异方差：
1 0 1 x1i k xki 1 pi , yi 1 i ( 0 1 x1i k xki ) pi , yi 0
计量经济学简介
Function Y=f(x) ? Random Variables Correlation between y and x? Not causality
since w may be correlated with other factors that also affect y.
6
Ceteris Paribus Analysis
10
Example 1: Effects of Fertilizer on Soybean Yield
Intuition tells us that more fertilizer should lead to higher yields. Experiment? In the simplest case, this implies an equation like:
计量经济学
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础， 运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量 模型为主要手段，定量分析具有随机性特性的经济变 量关系，主要内容包括理论计量经济学和应用计量经 济学。理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发 展数理统计的方法，使之成为随机经济关系测定的特 殊方法。应用计量经济学是在一定的经济理论的指导 下，以反映事实的统计数据为依据，用经济计量方法 研究经济数学模型的实用化或探索实证经济规律。 计量经济学广泛采用计算机组织教学，着重培养学生 定量地分析问题、解决问题的能力。
Deciding on the list of proper controls is not
always straightforward, and using different controls can lead to different conclusions about a causal relationship between y and w.
计量经济学第八章完整课件
对于矩阵形式： Y=X+
采用工具变量法（假设X2与随机项相关，用工具 变量Z替代）得到的正规方程组为：
ZY ZXβ
参数估计量为：
β~ (ZX)1 ZY
其中
1 1
X
11
X 12
Z
Z1
Z2
X k1 X k 2
1
X
1n
Zn
X kn
称为工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量
工具变量法是GMM的一个特例。 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释 变量相关的工具变量并不是一件很容易的事
可以用Xt-1作为原解释变量Xt的工具变量。
五、案例——中国居民人均消费函数
例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估 计中，采用OLS估计了下面的模型：
CONSP 0 1GDPP
通常把这种过去时期的，具有滞后作用的变量 叫做滞后变量（Lagged Variable），含有滞后变量 的模型称为滞后变量模型。
滞后变量模型考虑了时间因素的作用，使静态 分析的问题有可能成为动态分析。含有滞后解释变 量的模型，又称动态模型（Dynamical Model）。
1、滞后效应与与产生滞后效应的原因
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0 Cov( X 2i, is ) E(x2i is ) 0
s0
3. 随机解释变量与随机误差项同期相关 (contemporaneously correlated)。
Cov( X 2i, i ) E(x2i i ) 0
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
第一步，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归：
Xˆ i ˆ0 ˆ1Zi
《计量经济学导论》ch8.ppt
© 2013 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part.
Unconditional error variance is unaffected by sticity (which refers to the conditional error variance)
Heteroscedasticity invalidates variance formulas for OLS estimators The usual F-tests and t-tests are not valid under heteroscedasticity Under heteroscedasticity, OLS is no longer the best linear unbiased estimator (BLUE); there may be more efficient linear estimators
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Unconditional error variance is unaffected by sticity (which refers to the conditional error variance)
Heteroscedasticity invalidates variance formulas for OLS estimators The usual F-tests and t-tests are not valid under heteroscedasticity Under heteroscedasticity, OLS is no longer the best linear unbiased estimator (BLUE); there may be more efficient linear estimators
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计量经济学第八章完整课件
多元线性回归分析
多元线性回归模型
多元线性回归模型是用来描述因变量和多个自 变量之间线性关系的模型。
模型的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量， β0, β1, ..., βp是模型的参数，ε是误差项。
回归分析的应用领域
经济学、金融学、社会学、生物学等。
回归分析的分类
1 2
一元线性回归分析
研究一个因变量与一个自变量之间的线性关系。
多元线性回归分析
研究一个因变量与多个自变量之间的线性关系。
3
非线性回归分析
研究因变量与自变量之间的非线性关系。
回归分析的步骤
确定研究问题
01
明确研究目的，确定因变量和自变量。
主成分分析
将多个高度相关的解释变量组合成少数几个主成分，用主成分代 替原始变量进行回归分析。
岭回归
通过在回归系数上加上一个小的正则项，解决多重共线性问题， 使估计的系数更加稳定。
THANKS
感谢观看
模型修正
对模型进行修正，以消除异方差性的影响。例如，可 以使用加权最小二乘法等方法对模型进行修正。
04
自相关性与处理
自相关性的定义
01
自相关性是指时间序列数据中，当前值与过去值之 间存在相关性。
02
在计量经济学中，自相关性是指一个随机误差项的 各期值之间存在相关性。
03
自相关性可能导致模型估计的不准确，因此需要对 其进行检验和处理。
相关性检验
通过计算解释变量之间的相关系数，判断是否存在 高度相关性。相关系数接近1或-1，表明存在多重 共线性。
多元线性回归模型
多元线性回归模型是用来描述因变量和多个自 变量之间线性关系的模型。
模型的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量， β0, β1, ..., βp是模型的参数，ε是误差项。
回归分析的应用领域
经济学、金融学、社会学、生物学等。
回归分析的分类
1 2
一元线性回归分析
研究一个因变量与一个自变量之间的线性关系。
多元线性回归分析
研究一个因变量与多个自变量之间的线性关系。
3
非线性回归分析
研究因变量与自变量之间的非线性关系。
回归分析的步骤
确定研究问题
01
明确研究目的，确定因变量和自变量。
主成分分析
将多个高度相关的解释变量组合成少数几个主成分，用主成分代 替原始变量进行回归分析。
岭回归
通过在回归系数上加上一个小的正则项，解决多重共线性问题， 使估计的系数更加稳定。
THANKS
感谢观看
模型修正
对模型进行修正，以消除异方差性的影响。例如，可 以使用加权最小二乘法等方法对模型进行修正。
04
自相关性与处理
自相关性的定义
01
自相关性是指时间序列数据中，当前值与过去值之 间存在相关性。
02
在计量经济学中，自相关性是指一个随机误差项的 各期值之间存在相关性。
03
自相关性可能导致模型估计的不准确，因此需要对 其进行检验和处理。
相关性检验
通过计算解释变量之间的相关系数，判断是否存在 高度相关性。相关系数接近1或-1，表明存在多重 共线性。
CH8 经典回归和分类
思考一下：
• 回归的例子：如果希望建立用自变量(雨量、 肥料量、土壤种类)来预测因变量(作物产量) 的模型，这就是回归模型。其中因变量为定 量变量，自变量有定量变量（雨量和肥料量） 和分类变量（土壤种类）。 • 分类的例子：如果希望根据各个企业的种类、 资产、利润、资金周转情况、地域（自变量） 及已有的信用程度记录（因变量）等来建立 确定企业信用程度的模型，这就是分类问题 或判别分析问题。这里因变量为定性或定序 变量，而自变量包括定量和分类变量。
统计学：从概念到数据分析
第八章 经典回归和分类
吴喜之
回归和分类概述 “黑匣子”说法
• 在有了一些变量的数值之后，人们往往希望能够 以此来预测另外一些变量的值，或者了解这两部 分变量之间的关系。 • 比如，金融机构就希望利用人们的职业、收入、 购买习惯、以及诸如年龄、性别、家庭情况等变 量的数据来预测他们的信用等级；农业工作者希 望能够用土壤、肥料、水分、温度等各种变量来 预测农作物的产量；医药研究者希望知道什么变 量能够减少某些疾病的恶化等等。
线性回归模型
• 前面说过，数据建模的人通常希望这些模型有下 面的函数形式： • 响应变量=f(预测变量，随机噪声，参数)。 • 而当响应变量或响应变量的函数参数的线性组合 加上随机误差项时，称这个模型为线性模型。如 果用 Y 表示因变量，而用 X1 和 X2 表示两个自变 量，用 ε 表示随机误差。那么下，参数) 或 Y=f(X，ε，β)
• 参数为数学模型中的一些未知的，需要根 据数据来估计或判断的量； • 随机噪声为模型所无法解释的各种干扰， 如果模型合适，则它应该是随机的；但如 果模型不合适，那么这个噪声就不是随机 的，而包括了模型不能解释的所有部分。
试图破解“黑匣子”的实践:算法建模文化
古扎拉蒂计量经济学第四版讲义Ch8 Autocorrelation
cov (εt ,εt+s ) = cov (εt ,εt−s ) and cor (εt ,εt+s ) = cor (εt ,εt−s )
It is critical to note that ρ < 1. If ρ < 1, we say that the AR(1) process given in 12.2.1 is
=
n t=2
i
xt − ρ
n t=2
i
x t −1
i
xt −
i
y
t
−
ρ
ρ
i
xt −1
2
i
y t −1
+
C
12.3.1
where
i
xt = xt − x,
i
yt = yt − y,
i
xt−1 = xt−1 − x
i
yt−1 = yt−1 − y
and C is a correction factor that may be disregarded in practice.
,εt−2
)
=
ρ
2
σ 1−
2 u
ρ
2
cov (εt
, ε t −3
)
=
ρ3
σ
2 u
1− ρ
2
and so on. Now the correlation coefficient is the ratio of covariance to variance （p6 注脚 3）. Hence,
cor (εt ,εt−1 ) = ρ
cor (εt ,εt−2 ) = ρ 2
It is critical to note that ρ < 1. If ρ < 1, we say that the AR(1) process given in 12.2.1 is
=
n t=2
i
xt − ρ
n t=2
i
x t −1
i
xt −
i
y
t
−
ρ
ρ
i
xt −1
2
i
y t −1
+
C
12.3.1
where
i
xt = xt − x,
i
yt = yt − y,
i
xt−1 = xt−1 − x
i
yt−1 = yt−1 − y
and C is a correction factor that may be disregarded in practice.
,εt−2
)
=
ρ
2
σ 1−
2 u
ρ
2
cov (εt
, ε t −3
)
=
ρ3
σ
2 u
1− ρ
2
and so on. Now the correlation coefficient is the ratio of covariance to variance （p6 注脚 3）. Hence,
cor (εt ,εt−1 ) = ρ
cor (εt ,εt−2 ) = ρ 2
应用时间序列分析(第6版)PPTch8
产生伪回归的原因是在非平稳场合，参数的ｔ检验统计量不再服从ｔ分布。统计量真实
的抽样分布 t(ˆ1) 尾部肥，方差大，比ｔ分布要扁平很多。如果继续使用t分布的临界值做
方程显著性判断，则会导致很大的犯第一类错误的概率（如图阴影部分所示）。
本章内容
01
ARIMAX模型
02
干预分析
1 ,t处于6 10月 x2t = 0 ,t处于11 5月
1 ,t处于11 5月 x3t = 0 ,t处于6 10月
互相关图
干预机制
• 时序图显示，序列有明显的季节效应。６３号法令执行之后 （参照线前后）， 序列的周期波动特征没有明显改变，但是序列的波动水平比以前明显降低。所以 季节效应和63号法令作为两个干预变量引入臭氧序列拟合。
yt
53.322
0.565 0.426B 0.299B2 1 0.601B
B3 xt
+
1
11.53B
0.64B2
at
模型比较
• 输出序列ARIMAX模型的 AIC＝８，SBC＝３４。显然，这个ARIMAX模型比不考虑输入 序列的单纯的AR(1,2,4)疏系数模型优化多了。
拟合模型
AIC
BIC
• 互相关图显示，两个干预变量都是0阶滞后互相关系数最大。所以假定干预变量 对序列的干预只是水平影响，且无延迟。确定干预模型结构如下
ozonet
0
1x1t
2 x2t
(B) (B)
at
干预分析步骤二
• 对臭氧浓度序列进行１２步差分，实现差分平稳
干预分析步骤三
• 考察残差序列 t 的自相关图和偏自相关图，为残差序列指定模型结构为
• 他们提醒计量经济学家，在使用时间序列进行线性回归分析时，回归模型很 容易通过方程显著性检验。很多时候不是因为这些序列之间真的具有因果关 系，而是时间的相关性，造成非平稳序列之间的“伪”回归。
的抽样分布 t(ˆ1) 尾部肥，方差大，比ｔ分布要扁平很多。如果继续使用t分布的临界值做
方程显著性判断，则会导致很大的犯第一类错误的概率（如图阴影部分所示）。
本章内容
01
ARIMAX模型
02
干预分析
1 ,t处于6 10月 x2t = 0 ,t处于11 5月
1 ,t处于11 5月 x3t = 0 ,t处于6 10月
互相关图
干预机制
• 时序图显示，序列有明显的季节效应。６３号法令执行之后 （参照线前后）， 序列的周期波动特征没有明显改变，但是序列的波动水平比以前明显降低。所以 季节效应和63号法令作为两个干预变量引入臭氧序列拟合。
yt
53.322
0.565 0.426B 0.299B2 1 0.601B
B3 xt
+
1
11.53B
0.64B2
at
模型比较
• 输出序列ARIMAX模型的 AIC＝８，SBC＝３４。显然，这个ARIMAX模型比不考虑输入 序列的单纯的AR(1,2,4)疏系数模型优化多了。
拟合模型
AIC
BIC
• 互相关图显示，两个干预变量都是0阶滞后互相关系数最大。所以假定干预变量 对序列的干预只是水平影响，且无延迟。确定干预模型结构如下
ozonet
0
1x1t
2 x2t
(B) (B)
at
干预分析步骤二
• 对臭氧浓度序列进行１２步差分，实现差分平稳
干预分析步骤三
• 考察残差序列 t 的自相关图和偏自相关图，为残差序列指定模型结构为
• 他们提醒计量经济学家，在使用时间序列进行线性回归分析时，回归模型很 容易通过方程显著性检验。很多时候不是因为这些序列之间真的具有因果关 系，而是时间的相关性，造成非平稳序列之间的“伪”回归。
ch8 马尔可夫预测方法
由于 P (m ) = P m ,故有
u ( m ) = u ( 0) ?P ( m ) (m
.
1, 2, L ).
（8.9）
由上述内容可以看到,应用马尔可夫预测法的关键是要找出所考察 系统的一步转移矩阵P 及初始状态向量 u ( 0 ) .
2013-7-9
15
8.1 马尔可夫过程定义及其性质 下面通过实例理解上述的预测模型. 【例8.1】设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴 天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件. 以0 表示晴 天状态（0或1）.试写 天状态，以1 表示雨天状态， x表示第 n n 出马尔可夫链的一步转移概率矩阵；又已知10月1日为晴天， 问10月3日为晴天、10月5日为雨天的概率各等于多少？ 解 由于任一天晴或雨是互为逆事件，而且雨天转晴天的概率 为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率矩阵分别为
2013-7-9 9
我们称 P{x(t 1) j x(t ) i} 为转移概率.由于这种转 移概率不依赖于时间，因此具有稳定性，我们用常数 pij 来表示.将各个状态之间的转移概率用一个矩阵表 示出来，就得到一个马尔科夫问题（有限状态稳定的 马尔可夫过程问题）的数学模型：
2013-7-9
u (0) (0.3, 0.4, 0.3)
转移矩阵为
轾 p11 犏 P = 犏 p21 犏 犏 p31 犏 臌
p12 p22 p32
p13 p23 = p33
轾 0.2 0.2 0.6 犏 犏 0.1 犏 0.7 0.2 犏 犏 0.1 0.8 0.1 犏 臌
2013-7-9
19
8.1 马尔可夫过程定义及其性质
轾 0.2 0.2 0.6 犏 犏 = (0.25 , 0.347 , 0.428) 犏 0.7 0.2 = (0.225 , 0.347 , 0.428). 0.1 犏 犏 0.1 0.8 0.1 犏 臌
u ( m ) = u ( 0) ?P ( m ) (m
.
1, 2, L ).
（8.9）
由上述内容可以看到,应用马尔可夫预测法的关键是要找出所考察 系统的一步转移矩阵P 及初始状态向量 u ( 0 ) .
2013-7-9
15
8.1 马尔可夫过程定义及其性质 下面通过实例理解上述的预测模型. 【例8.1】设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴 天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件. 以0 表示晴 天状态（0或1）.试写 天状态，以1 表示雨天状态， x表示第 n n 出马尔可夫链的一步转移概率矩阵；又已知10月1日为晴天， 问10月3日为晴天、10月5日为雨天的概率各等于多少？ 解 由于任一天晴或雨是互为逆事件，而且雨天转晴天的概率 为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率矩阵分别为
2013-7-9 9
我们称 P{x(t 1) j x(t ) i} 为转移概率.由于这种转 移概率不依赖于时间，因此具有稳定性，我们用常数 pij 来表示.将各个状态之间的转移概率用一个矩阵表 示出来，就得到一个马尔科夫问题（有限状态稳定的 马尔可夫过程问题）的数学模型：
2013-7-9
u (0) (0.3, 0.4, 0.3)
转移矩阵为
轾 p11 犏 P = 犏 p21 犏 犏 p31 犏 臌
p12 p22 p32
p13 p23 = p33
轾 0.2 0.2 0.6 犏 犏 0.1 犏 0.7 0.2 犏 犏 0.1 0.8 0.1 犏 臌
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8.1 马尔可夫过程定义及其性质
轾 0.2 0.2 0.6 犏 犏 = (0.25 , 0.347 , 0.428) 犏 0.7 0.2 = (0.225 , 0.347 , 0.428). 0.1 犏 犏 0.1 0.8 0.1 犏 臌
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δˆ3SLS = σˆ11Aˆ11
σˆ21Aˆ21
−1
σˆ12Aˆ12
σˆ11Cˆ11 + σˆ12Cˆ12
σˆ22Aˆ22
σˆ21Cˆ21 + σˆ22Cˆ22
where
Aˆmh
=
(
1 n
Cˆmh
=
(
1 n
1 ZimXi)( n
1 ZimXi)( n
XiXi
)−1(
1 n
XiXi
)−1(
1 n
exploits this structure such that
δˆF IV E = δˆ(Gˆ−1)
with Gˆ coming from the structure on the previous page. Usually the initial estimator of δˆm, m = 1, 2, to calculate Gˆ is the 2SLS estimator. Now, if the set of instruments is the same across equations such that Xi1 = Xi2 = Xi = K × 1 vector , we can simplify the estimators even more. Let
(1) AM×N ⊗ BK×L = CMK×LN ⇒ εi ⊗ Xi = gi
(2)
a11B · · · a1nB
A⊗B =
...
...
...
εi1Xi
⇒
εi
· · amnB
In addition, we can write G as
G = σ11E(Xi1Xi1) σ12E(Xi1Xi2) = σ11E(XiXi) σ12E(XiXi) = Σ ⊗ E(XiXi)
the efficient multiple-equation GMM estimator δˆ(Gˆ−1). However, if the equations are unrelated in the sense that
E[εi1εi2Xi1Xi2] =0 E[εi2εi1Xi2Xi1] =0
Then G becomes a block diagonal matrix and plimn→∞Wˆ = G−1. Since Wˆ − G−1 →p 0 then √nδˆ(Wˆ ) − √nδˆ(Gˆ−1) →p 0. So under the above conditions the equation-by-equation GMM estimator is asymptotically equivalent to the multiple-equation GMM estimator. Some caveats: (1) Small sample properties might be better without joint estimation. (2) The asymptotic result presumes the model is correctly specified. If the model is misspecified, neither the single-equation GMM nor the multiple-equation GMM is guaranteed to be consistent. Chances of misspecification increase as we add equations. Consider our current example: (1) ln Wi = φ1 + β1Si + γ1IQi + ΠEXPi + εi1 (2) KW Wi = φ2 + β2Si + γ2IQi + εi2
and εi2. The term 3SLS comes from the fact that the 2SLS estimator of δ1 and δ2 are used
as the initial estimator.
Then,
Σˆ = σˆ11
σˆ12
1
=
σˆ21 σˆ22
n
εˆiεˆi
G = σ11E(Xi1Xi1)
σ21E(Xi2Xi1)
σ12E(Xi1Xi2)
σ22E(Xi2Xi2)
An estimator exploiting the structure of G is
Gˆ =
σˆ11(
1 n
σˆ21(
1 n
Xi1Xi1)
σˆ12(
1 n
Xi2Xi1)
σˆ22(
1 n
σ21E(Xi2Xi1) σ22E(Xi2Xi2)
σ21E(XiXi) σ22E(XiXi)
⇒ G−1 = Σ−1 ⊗ E(XiXi)−1
and Gˆ−1 = Σˆ −1 ⊗ ( 1 n
⇒
Wˆ mh
=
σˆmh
·
(
1 n
Xi Xi )−1 XiXi)−1 m, h = 1, 2.
where σˆmh is the (m, h) element of Σˆ −1. Substituting into the expression in the last lecture(expanded GMM estimator), we get
E(εimεih|Xim, Xih) = σmh ∀m, h = 1.2
This gives us a very simplified version of the matrix of cross moments G = E(gigi). Consider the (1, 1) block
E(εi1εi1Xi1Xi1) = E E(εi1εi1Xi1Xi1|Xi1, Xi2) = E E(εi1εi1|Xi1, Xi2)Xi1Xi1 = E[σ11Xi1Xi1] = σ11E(Xi1Xi1)
2
Remember the sampling error is given by:
plimn→∞δˆ(Wˆ ) − δ = (ΣxzWˆ Σxz)−1ΣxzWˆ E[Xi1 · εi1]
(1)
0
In efficient multiple equation-GMM, W is not block diagonal so any element of plimn→∞δˆ(Wˆ )− δ can be non-zero when the orthogonality conditions of any equation is violated. Joint estimation: Biases due to a local misspecification contaminate the rest of the system. This problem does not arise in equation-by-equation GMM which constrains Wˆ to be block diagonal. Next, consider the conditional homoskedasticity assumption.
εi1 εi =
εi2 2×1
Then let Σ denote the 2 × 2 matrix of cross moment of εi s.t.
σ11
Σ= σ21
σ12 = E(εiεi)
σ22 2×2
To estimate Σ consistently we need an initial consistent estimator of δˆ1 and δˆ2 to calculate εi1
4
With the common instruments assumption we can write
Xi · εi1
gi =
εi1 = ⊗ Xi = εi ⊗ Xi
Xi · εi2
εi2
2K ×1
where ⊗ indicates Kronecker product.
Some brief facts (see Greene for details)
Xi1Xi2)
Xi2Xi2)
3
where for some consistent estimator δˆm
1 σˆmh = n
εˆimεˆih
εˆim = yim − Zimδˆm m = 1, 2; h = 1, 2.
The Full-Information Instrumental Variables Estimator (FIVE) (under conditional homoskedasticity)
XiZih) Xi · yih)
5
Similarly, we can write the asymptotic variance (and its estimator) as
(1) If the system is just identified → We have the IV estimator and no dependence on the
choice of the weighting matrix. (2) If at least 1 equation is over-identified, the choice of Wˆ affects the numerical value of the GMM estimator. The equation-by-equation estimator can be written as δˆ(Wˆ ) where Wˆ
Consider the alternative to multiple equation GMM, namely, equation-by-equation GMM