2019-2020年江苏省南京市南师附中高二下学期数学期中考试
江苏省南京市2019-2020学年高二数学期中试卷分析
2019年南京市统考高二数学试卷分析一、试卷基本结构科目数学题量22总分150本次试卷结构偏向于全国卷新高考，单选题1-10题，多选题11、12题；13-16题填空题，17-22题为解答题；二、试卷知识考点&模块分析1.每题考点分析题号分值考点分析所属知识模块14直线的位置关系解析几何24向量共线定理空间向量34双曲线的渐近线方程圆锥曲线44线性回归方程线性回归方程54圆的表面积几何体的表面积64空间向量线性表示空间向量线性运算74直线与圆位置关系直线与圆位置关系84三角恒等变换三角恒等变换94抛物线弦长问题圆锥曲线104圆锥曲线圆锥曲线114立体几何线面关系立体几何证明124点的轨迹方程圆锥曲线135双曲线、抛物线方程圆锥曲线145椭圆的离心率圆锥曲线155概率概率与统计165立体几何立体几何1712解三角形三角函数1812频率分布、概率概率与统计1914立体几何证明立体几何2014空间向量、二面角空间向量角的计算2114圆锥曲线圆锥曲线2216点的轨迹方程、圆锥曲线圆锥曲线2.知识模块分析&分值占比知识模块2019年考试题号分值占比三角函数8、1710.67%平面、空间向量2、6、2014.6%概率与统计4、15、1814%立体几何11、16、1915.3%圆锥曲线3、9、10、12、13、14、21、2237.3%三、试卷综合分析整张试卷考查的知识点侧重于解析几何、立体几何；试卷结构偏向于全国卷，11-12题第一次出现多选题，学生在后面学习过程中需要更加注意对应题型的练习；整张试卷的难度中等偏上，计算量较大，对于学生的计算能力需要在平时加强练习，试卷中出现的题型与去年试卷结构出现很大差异，这也是符合新高考、新课标的要求；本次市统考期中卷在于改革，但考察的知识点都是平常我们经常讲解的、练习的题型，对于成绩不理想的学生需要反思，以及调整后续学习的重难点时间的分配！。
江苏省南京市南师附中2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
A. B。 C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果。
【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有 种方法，第二步插入第二个节目，此时有 个空，故有 种方法.
B中,如果三名女生必须连排在一起,将这三名女生捆绑,形成一个“大元素”，此时,共有 种不同的排法种数，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时,共有 种不同的排法种数，C选项正确;
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的 个空中,此时，共有 种不同的排法种数，D选项正确。
江苏省南京市南师附中2019—2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
注意事项：
1。本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题~第12题）、填空题（第13题～第题18题）、解答题（第19题~第23题)四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2。答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸。
因此不同的插法共有 种.
故选：B。
【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题。
8.定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数分析函数 的单调性,将所求不等式变形为 ，再由函数 的单调性可解此不等式，进而得解.
2019-2020年南师附中高二数学期中考试卷含答案解析
设直线EC1与A1B所成角为θ，
0，
2
，E→C1与→ A1B所成角为α.
则各点坐标为A1(0，0，0)， D(0，1，2)，E(0，1 ，1)，C1( 3 ，1，0)，B( 3，0，2)， 2
所以，E→C1＝( 3 ，1 ，－1)，→ A1B＝( 3，0，2)． 2
→→ EC1·A1B 所以，cosθ＝| → → |＝ |EC1||A1B|
列四个结论，其中正确的选项是(
)．
A. 曲线 C 关于坐标原点对称
B. 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
C. 曲线 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1
D. 曲线 C 所围成的区域的面积小于 4
高二年级数学试卷 第 2 页 共 10 页
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． 13. 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 是 B1C1 的中点，且D→O＝xD→A＋yD→C＋zD→D1，则
1 ＝2 119． 17× 7 119 2
..............3 分
所以，直线 EC1 与 A1B 所成角的余弦值为2 119． 119
..............4 分
→ （2）由题意，B( 3，0，2)，C( 3，1，2)，D1(0，1，0)，则A1D1＝(0，1，0)，
因为 F 位 BC 中点，所以 F( 3，1，2)，则A→1F＝( 3，1，2)．
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分 8 分）从 4 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人参加演讲比赛． （1）求所选 2 人恰有 1 名男生的概率； （2）求所选 2 人中至少有 1 名女生的概率．
南京师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷
南京师大附中2019-2020学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共4页，包括单选题（第1题~第8题）、多选题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第题18题）、解答题（第19题~第23题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若220n A =，则n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 函数()sin 2f x x =的导数是（ ）A. 2cos 2xB. 2cos 2x −C. 2sin 2xD. 2sin 2x −3. 若i 为虚数单位，复数z 满足()1|34|z i i +=+，则z 的虚部为（ ）A.52i B. 52 C. 52i − D. 52− 4. 已知等差数列{}n a ，若2a ，4038a 是函数()32113f x x x mx =−++的极值点，则2020a 的值为（ ） A. 1 B. 1− C. 1± D. 05. 已知复数z 满足11z −=，则z 的最大值为（ ）. 1A .2B . 3C . 4D6. 若10x ke x −−≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）.(,1]A −∞ .(0,1]B .(0,)C +∞ .[1,)D +∞7. 某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）. 12A . 20B . 36C . 120D8. 定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若()(12)31f m f m m −−≥−，则m 的取值范围是（ ）.(,1]A −∞−1.(,]3B −∞ .[1,)C −+∞ 1.[,)3D +∞ 二、多项选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A. z 的虚部为3B. ||z =C. z 的共轭复数为23i +D. z 是第三象限的点10. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法11. 已知函数()f x 定义域为[1,5]−，部分对应值如表，()f x 的导函数()f x '的图像如图所示.下列关于函数()f x 的结论正确的有（ ）.A 函数()f x 的极大值点有2个；.B 函数在()f x 上[0,2] 是减函数；.C 若[1,]x t ∈− 时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4；.D 当12a << 时，函数()y f x a =−有4个零点；12. 若函数()f x 的图像上存在两个不同的点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()f x 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（ ）.x A y e x =− 42.B y x x =− 3.C y x = .sin D y x x =+三、填空题： 本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 已知复数z 满足30z z +=，则||z =___________. 14. 已知函数()23x f x x =+，则()'0f 的值为___________. 15. 六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有_____种（请用数字作答）.16. 直线y m =与直线23y x =+和曲线ln y x = 分别相交于,A B 两点，则AB 的最小值为__________.17. 已知函数()(1)x f x e x =−，则它的极小值为__________；若函数()g x mx = ，对于任意的1[2,2]x ∈−，总存在2[1,2]x ∈−，使得12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是__________.18. 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()(2)f x f x −=+，且当01x ≤≤时，3()f x x x =+.若函数()()t h x f x x =−在[4,0)(0,4]−上有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________.四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19. （12分）设复数122(),43z ai a R z i =−∈=−.（1）若12z z +是实数，求12z z ⋅；（2）若12z z 是纯虚数，求1z 的共轭复数.20. （12分） 已知函数3211()(6)6(,)32f x x a x ax b a b R =−+++∈.（1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率为2− ，求,a b 的值；（2）若在区间(2,3)上，函数()f x 不单调，求a 的取值范围.21. （12分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.22. （12分）如图，某景区内有两条道路AB ,AP ,现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域. 已知6BAC π∠=，2AB km =，AP =. 若绿化区域ABC 改造成本为210/km 万元，新建道路BC 成本为10/km 万元.（1）①设ABC θ∠=，写出该计划所需总费用()F θ的表达式，并写出θ的范围；②设AC x =，写出该计划所需总费用()F x 的表达式，并写出x 的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.23.（12分）设函数()ln (),()()f x x ax a R g x xf x =−∈=.（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）①若12a =，试讨论()g x 的单调性； ②若2()2e g x =有两个不同的零点，求a 的取值范围，并说明理由.。
南京市南师附中2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含解析)
A.
6
C. 3
【答案】B
B.
4
D.
2
【解析】
【分析】以 O 为坐标原点，OA 、OO1 所在直线分别为 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，利用空间向
量法可计算出异面直线 B1C 与 AA1 所成的余弦值，即可得解.
【详解】以 O 为坐标原点， OA 、 OO1 所在直线分别为 y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，
南京师大附中 2022-2023 学年度第 2 学期
高二年级期中考试数学试卷
（总分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 1 50 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
（3）当
a
e
时，若
x1
,
x2
0,
π 2
,
f (x1)
f (x2 ) ，且 f (x) 在 x t 处取极值，求证： x1 x2 2t.
南京师大附中 2022-2023 学年度第 2 学期
高二年级期中考试数学试卷
（总分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 1 50 分，考试形式闭卷．
A. 47 2
B. 47
C.
38 2
D. 38
7.
已知函数
f
(
x)
ex , x
2
x
2
0 4
x
1,
江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
有 1 件次品的抽法有
种．（请用具体数字作答）
13．已知圆 x2 + y2 - 2ax + a2 - 9 = 0 与圆 x2 + y2 = 4 相内切，则实数 a 的值为
．
( ) ( ) 14．已知存在实数 x，使得不等式 ex2+2 - tex 2 + t x2 - 2x + 2 - 2 ln t £ 0 成立，则实数 t 的取
B．12π 是 f (x) 的一个正周期 D． f (x) 在区间 (0,π) 上单调递增
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 4 ，M 是 AD 的中点，将VABM 沿着直线 BM
翻折得到△A1BM ．记二面角 A1 - BM - C 的平面角为a ，当a 的值在区间 (0,π) 范围内变化 时，下列说法正确的有（ ）
【详解】令 f ( x) = ex - x ，则 f ¢( x) = ex -1， 令 f ¢( x) > 0 ，解得 x > 0 ，令 f ¢( x) < 0 ，解得 x < 0 ， 所以 f ( x) 在(0, +¥ ) 上单调递增， (-¥ , 0) 上单调递减， 所以 f ( x) = ex - x ³ f (0) = 1 ， ex - x ³ 1一定成立，故 A 不合题意；
【详解】根据题意可知， 复数1+ 2i 对应的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 90o 可得
( ) (1+ 2i) cos 90o + isin90o = i (1+ 2i) = i + 2i2 = -2 + i ，
即所得的向量对应的复数为 -2 + i . 故选：A 3．C
南师附中高二下学期数学期中试卷及答案
1南京师大附中2021-2022 学年度第二学期高二期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 61x x二项展开式中的常数项为（ ）A.20B.15C.10D.52.随机变量X 的分布列如表：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X （ ）A.14B.13C.12D.233.已知随机变量X 满足(1)5E X ，(1)5D X ，则下列说法正确是（ ）A.()5E X ，()5D XB.()4E X ，()5D XC.()5E X ，()5D XD.()4E X ，()4D X 4.已知某年的FRM （金融风险管理）一级测试成绩X 服从正态分布2(45,3)N ，则54分以上的成绩所占的百分比约为（ ）（附：(22)95.4%P X ，(33)99.7%P X ）A. 2.38%B.1.35%C.0.26%D.0.15%5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )A.0.63B.0.24C.0.87D.0.216.如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧棱垂直于底面，AB BC ，AB BC ，AC ，1AA ，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC，则异面直线BE 与1C F 所成角的的的2余弦值为（ ）A.2B. 12C. D.127.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB =∠A 1AC =60 ，∠BAC =90 ，A 1A =3，AB =AC =2，则线段AO 的长度为（）A.2B.C.2D.8.西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有 A.36种B.68种C.104种D.110种二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如表所示：根据表中数据得到y 关于x 的回归直线方程是 3.2ˆˆyx a ，则下列说法正确的有（ ）A.ˆ40a B.回归直线过点(10,8)3C.当8.5x 时，y 的估计值为12.8D.点(10.5,6)处的随机误差为0.410.若 2345501234512a a x a x a x a x a x x ，则下列结论中正确的是 A. 01aB.123452a a a a a C. 50123453a a a a a a D. 0123451a a a a a a -+-+-=-11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率为35B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为40243C.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为25D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为262712.已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A.AEF 是正三角形B.平面AEF 平面CGHC.直线CG 与平面AEFD. 当2AB 时，多面体ABCD EFGH 的体积为83三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 122334455667777777772222222C C C C C C C ___________．414.P ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D 是正方体，其中2AB，PA 1B 到平面PAD 距离为________15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.16.将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数 的均值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？18.从包含甲､乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？的5（1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.19.已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D 的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小；（2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．21.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.22. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A 平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，G 是棱1CC 上一点，且12C G GC．的6（1）证明：EF ∥平面11ABB A ；（2）从①三棱锥1C ABC 的体积为1；②1C C 与底面ABC 所成的角为60°；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A EG F 的余弦值．24.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x （精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s ＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望.（参考数据：P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）≈0.6827；P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）≈0.9974）的7南京师大附中2021-2022 学年度第二学期高二期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 61x x的二项展开式中的常数项为（ ）A.20B.15C.10D.5【1题答案】 【答案】A 【解析】【分析】化简得到展开式的通项为6216r rr T C x ，令3r ，即可求得展开式的常数项.【详解】由题意，二项式61x x展开式的通项为6621661()r r r r r r T C x C x x ，令3r ，可得展开式的常数项为34620T C .故选：A.【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.2.随机变量X 的分布列如表：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X （ ）A.14B.13C.12D.23【2题答案】 【答案】D 【解析】【分析】由a ，b ，c 成等差数列得到a ，b ，c 的关系，再根据随机变量分布列的性质得到a ，b ，c 的和为1，进而求出a +c ，最后根据题意得到答案.8【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2a cb，根据随机变量分布列的性质：1a b c ，所以 32=123a c a c ，所以2(||1)(1)(1)3P X P X P X .故选：D.3.已知随机变量X 满足(1)5E X ，(1)5D X ，则下列说法正确的是（ ）A.()5E X ，()5D XB.()4E X ，()5D XC.()5E X ，()5D XD.()4E X ，()4D X 【3题答案】 【答案】B 【解析】【分析】利用均值和方差的性质求解. 【详解】因为()()E aX b aE X b ，所以(1)(1)()15E X E X E X ，所以()4E X ．因为2()()D aX b a D X ，所以2(1)(1)(1)()5D X D X D X ，所以()5D X ．故选：B.4.已知某年的FRM （金融风险管理）一级测试成绩X 服从正态分布2(45,3)N ，则54分以上的成绩所占的百分比约为（ ）（附：(22)95.4%P X ，(33)99.7%P X ）A.2.38%B.1.35%C.0.26%D.0.15%【4题答案】 【答案】D9【解析】【分析】根据题意，先求出P (45 3 3 X 45 3 3) ，进而根据正态分布的对称性求得答案.【 详 解 】 因 为 X 服 从 正 态 分 布 N45,32， 所 以 P (45 3 3 X 45 3 3 )99.7% ， 即(3654)99.7%P X ，所以1(54)(199.7%)0.15%2P X.故选：D ．5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( ) A.0.63 B.0.24C.0.87D.0.21【5题答案】 【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ，则由题可知P (A )＝0.7，P (B )＝0.3，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C ， 从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D ， 则由题可知P (C )＝0.9，P (D )＝0.8， 由题可知A 、B 、C 、D 互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：P (AC )＋P (BD )＝P (A )P (C )＋P (B )P (D )＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87． 故选：C ．6.如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧棱垂直于底面，AB BC ，AB BC，AC，1AA ，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC，则异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为（）10A.2B. 12C. 2D.12【6题答案】 【答案】D 【解析】【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F BE C F BE C F即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C 中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC，AC，1AA，得2AB BC ，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C，1(0,2,A，1C，E ．由14CF BC ，得11(2,0,0),0,042CF，所以11C F C C CF11(0,0,,0,0,0,22，BE，所以异面直线BE 与1C F所成角的余弦值为111312cos ,32BE C F BE C F BE C F． 故选：D ．7.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB =∠A 1AC =60 ，∠BAC =90 ，A 1A =3，AB =AC =2，则线段AO 的长度为（）11A.2C.2【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】用1,,AB AC AA 表示出AO，计算2AO ，开方得出AO 的长度.【详解】因为四边形11BCC B 平行四边形，111122BO BC BC BB ,111111122222AO AB BO AB BC AA AC AB AA 11160,90,3,2,A AB A AC BAC A A AB AC 22214,9,0AB AC AA AB AC,1132cos603AB AA AC AA,22114AO AB AC AA ,22211112224AB AC AA AB AC AB AA AC AA 294||2AO，是12即2AO . 故选：A8.西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有 A.36种 B.68种 C.104种 D.110种【8题答案】 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有3272(1)68C A 种;第二类有222732()36C C A 种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.考点：排列组合的综合应用．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如表所示：根据表中数据得到y 关于x 的回归直线方程是 3.2ˆˆyx a ，则下列说法正确的有（ ）A.ˆ40a B.回归直线过点(10,8)C.当8.5x 时，y 的估计值为12.8D.点(10.5,6)处的随机误差为0.4【9题答案】 【答案】ABC 【解析】【分析】先算出样本中心点，进而求出ˆa，即可判断A,B ；然后将8.5x 代入回归直线方程可以判断C ；最后将10.5x 代入回归方程算出ˆy，进而算出随机误差判断D.【详解】由题意可知 199.5110.511105x， 1111086585y ，故回归直线过点（10,8），且8 3.21ˆˆ040aa ，故A ，B 正确．当8.5x 时，ˆ 3.28.54012.8y ，故C13正确．点（10.5,6）处的随机误差为6( 3.210.540)0.4 ，故D 不正确．故选：ABC ．10.若 2345501234512a a x a x a x a x a x x ，则下列结论中正确的是 A. 01aB.123452a a a a a C. 50123453a a a a a a D.0123451a a a a a a -+-+-=-【10题答案】 【答案】ACD 【解析】【分析】根据赋值法，分别令0x ，1x ，1x ，可判断ABC ；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D 选项.【详解】因为 2345501234512a a x a x a x a x a x x ，令0x ，则5011a ，故A 正确；令1x 代入 2345501234512a a x a x a x a x a x x ，得0123451a a a a a a ，所以12345012a a a a a a ，故B 错； 令1x 代入 2345501234512a a x a x a x a x a x x ，得01253453a a a a a a ，故C 正确；因为二项式 512x 的展开式的第1r 项为15(2)r r rr T C x ， 所以当r 为奇数时，5(2)r rC 为负数；即0i a （其中i 为奇数），所以0123450123451a a a a a a a a a a a a ；故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型. 11. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率为35B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为40243C.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概14率为25D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为2627【11题答案】 【答案】AD 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式判断A 选项，利用二项分布判断B 、D 选项，利用条件概率判断C 选项． 【详解】解：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，对于A ：恰有1个白球的概率为214236C C 623C 205P，故A 正确．对于B ：6次试验中取到白球的次数X 服从二项分布，即1~(6,3X B ，所以22461180(2)C ()(1)33243P X ，故B 错误．对于C ：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球概率为35，故C 错误．对于D ：3次试验中取到红球的次数Y 服从二项分布，即2~(3,)3Y B ，所以3226(1)1(0)1(1)327P Y P Y ，故D 正确．故选：AD ．12.已知图1中，A 、B 、C 、EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A.AEF 是正三角形B.平面AEF 平面CGH的15C.直线CG 与平面AEFD.当2AB 时，多面体ABCD EFGH 的体积为83【12题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH 平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH，O 为CD 的中点，OH CD ，平面CDH 平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD ，OH 平面CDH ，OH 平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH的边长为 0a ，可得四边形ABCD 的边长为2a ，在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ，90BAD ， 四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM ，且90OCB ，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则 2,,0A a a 、 2,,0B a a 、 0,,0C a 、 0,,0D a 、 ,,E a a a 、 2,0,F a a 、 ,,G a a a 、0,0,H a .对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得AE AF EF ，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z ， ,0,AE a a ， 0,,AF a a，16由111100m AE ax az m AF ay az，取11z ，则11x ，11y ，则 1,1,1m u r ， 设平面CGH 的法向量为 222,,n x y z ， ,0,CG a a ， 0,,CH a a， 由222200n CG ax az n CH ay az ，取21z ，可得21x ，21y ，则 1,1,1n r ，22111110m n ，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C选项，cos ,3CG m CG m CG m，设直线CG 与平面AEF 所成角为，则sin 3，cos 3 ，所以，sin tan cos，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH 补成长方体1111ABCD A B C D ，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB ，即1a ，则1OH ，长方体1111ABCD A B C D 的体积为2214V ，11211111113326A A EF A EF V S AA △，因此，多面体ABCD EFGH 的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V ， D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：17（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角 满足sin hl（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角的正弦值为sin cos ,a n.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 122334455667777777772222222C C C C C C C ___________．【13题答案】 【答案】2 【解析】【分析】构造 0072C 项后即可轻易看出该式符合二项式定理的展开式，利用二项式定理化简后即可求解.【详解】12233445566327717777777777012403457772222222222222C C C C C C C C C C C C C 71212 .故答案为：2 .14.P ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D 是正方体，其中2AB，PA 1B 到平面PAD 的距离为________【14题答案】【答案】518【解析】【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z，(0,2,0),(1,1,2)AD AP，∴由00m AD m AP，可得2020y x y z 取1z 得(2,0,1)m，1(2,0,2)B A，∴1B 到平面PAD的距离1||||B A m d m. 故答案：5. 【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.为19【15 题答案】 【答案】96 【解析】 【分析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，分析 6 个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A 区域涂色有3种方法， B 、C 、D 、E 、F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有32222296 种涂色方案.故答案为：96【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.16.将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数 的均值为______． 【16题答案】 【答案】 ①. 215； ②. 35##0.6. 【解析】【分析】运用排列中的倍缩法求出6个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论6个字母的排列情况，进而求出概率；分数可能取值为0,1,3，进而求出分数为1和203的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最后求出均值.【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a ，b ，c 三个字母全排列，有33A 种方法，第二列剩下的a ，b ，c 三个字母的排列方法有22A 种，所以共有3232A A 12 种排列方法，六个字母在32 的表格中进行排列，共有66222222A 90A A A 种排列方法，所以所求概率为1229015．由题意知，分数 的可能取值为0,1,3， 11123322C C C A 21905P ，33A 1(3)9015P，(0)1(1)(3)P P P 218151515，所以所得分数 的均值为8213()013155155E ．故答案为：215，35.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？【17题答案】【答案】（1）55%；（2）有. 【解析】【分析】（1）根据表格即可计算百分比；（2）根据列联表的数据求出2K ，再和临界值表对照下结论.【详解】（1）该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例的估计值为20103055%5555. （2） 225520151010 3.9130253025K，因为3.911 3.841 ，所以有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关.2118.从包含甲､乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.【18题答案】【答案】（1）60；（2）480. 【解析】【分析】（1）先排甲、乙两人，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，分步乘法计数原理，即得解；（2）从甲､乙2人中选出1人，排在第一棒或第四棒，再从另外6人中选3人排在剩余的三个位置，根据分步乘法计数原理，即得解【详解】（1）甲､乙2人必须跑中间两棒，则有22A 种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有26A 种排法，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为2226A A 60 .（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲､乙2人中选出1人，有12C 种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有12C 6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有36A 种排法，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为113226C C A 480 .19.已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D 的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小；（2）求1A E 与平面1B FB所成角的余弦值．22【19题答案】 【答案】（1）60°； （2）23. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果； 【小问1详解】以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ， 2,,0E a a ， ,2,0F a a ，所以1(0,2,2)A D a a ，(,,0)EF a a，设1A D 与EF 所成角的大小为 ，则21111cos cos ,2A D EF A D EF A D EF， 因为异面直线成角的范围是0,90，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°．【小问2详解】设平面1B FB 的法向量为 0000,,n x y z ，1A E 与平面1B FB 所成角为 ，0,2．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a，1(0,0,2)BB a ，所以0000102020n BF ax ay n BB az，令02x ，得0(2,1,0)n 为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a，所以101010sin cos,3A E nA E nA E n，所以2cos3．21.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求X的分布列和数学期望.【21题答案】【答案】（1）480；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1.【解析】【分析】（1）根据频率即可计算出；（2）可知X可取的值为0,1,2，分别计算出概率，即可得出分布列，进而求出数学期望.【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为6000.5000.2500.050480；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.0502乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.1004，从甲班抽到的学生人数X可取的值为0,1,2，2324则 032436105C C P X C ， 122436315C C P X C ， 212436125C C P X C ，所以的分布列为：则X 的数学期望为：0121555E X .【点睛】本题考查频率分布直方图的理解，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题. 22. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A 平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，G 是棱1CC 上一点，且12C G GC．（1）证明：EF ∥平面11ABB A ；（2）从①三棱锥1C ABC 的体积为1；②1C C 与底面ABC 所成的角为60°；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A EG F 的余弦值．【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）53【解析】【分析】（1）取11A B 的中点M ，连接ME ，MB ，易证四边形MEFB 为平行四边形，从而有//EF MB ，故而得证；（2）过点1C 作1C O AC 于O ，连接OB ，由平面11ACC A 平面ABC ，推出1C O 平面ABC ．25选择条件①：先求得1OC ，可证OB AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、1OC 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，依次得平面11ACC A 和平面EFG 的法向量OB 与n ，再由cos ,||||OB nOB n OB n，得解；选择条件②：易知160C CO ，从而得1OC ，接下来同①；选择条件③：易知130A AE ，从而有160C CO ，接下来同②中． 【小问1详解】证明：取11A B 的中点M ，连接ME ，MB ，因为E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则11////ME B C BF ，111122ME B C BC BF， 四边形MEFB 为平行四边形，//EF MB ，EF 平面11ABB A ，MB 平面11ABB A ，//EF 平面11ABB A ．【小问2详解】解：在平面ACC 1中过点1C 作1C O AC 于O ，连接OB ，平面11ACC A 平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC ，1C O 平面ABC ，选择条件①：26三棱锥1C ABC的体积1111121332ABC V C O S C O，1C O 在1Rt C OC中，1OC ，点O 为AC 的中点，OB AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、1OC 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B， 0,E，1,,022F，20,,33G，3,2EF，50,,3EG，OB AC ，平面ABC 平面11ACC A AC ，OB 平面ABC ，OB 平面11ACC A ，平面11ACC A 即平面A E G的一个法向量为OB ，设平面EFG 的法向量为 ,,n x y z r ，则00n EF n EG，即30225033x y y z， 令1y，则3x，z ，,1,36n ，cos ,||||OB nOB n OB n，显然二面角A EG F 为锐二面角，故二面角A EG F的余弦值为53． 选择条件②：1C C 与底面所成的角为60 ，160C CO ，1OC ，点O 为AC 的中点，OB AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、1OC 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B， 0,E，1,,022F，20,,33G，273,,22EF，50,,33EG， OB AC ，平面ABC 平面11ACC A AC ，OB 平面ABC ，OB 平面11ACC A ，平面11ACC A 即平面A E G的一个法向量为OB ，设平面EFG 的法向量为 ,,n x y z r ，则00n EF n EG，即30225033x y y z ， 令1y，则3x，z ，n ，cos ,53||||OB nOB n OB n，显然二面角A EG F 为锐二面角，故二面角A EG F的余弦值为53． 选择条件③：11//BB AA ，1A AE 即为异面直线1BB 与AE 所成的角，即130A AE ， 12AA ，11A E ，160AA E ，即160C CO ，1OC ，故以O 为原点，OB 、OC 、1OC 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B， 0,E，1,,022F，20,,33G，3,2EF，50,,3EG，OB AC ，平面ABC 平面11ACC A AC ，OB 平面ABC ，OB 平面11ACC A ，28平面11ACC A 即平面A E G的一个法向量为OB ，设平面EFG 的法向量为 ,,n x y z r ，则00n EF n EG，即30225033x y y z ， 令1y，则3x，6z ，n ，cos ,53||||OB nOB n OB n，显然二面角A EG F 为锐二面角，故二面角A EG F的余弦值为53． 24.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x （精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s ＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（3）通过研究样本原始数据发现，抽取50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望.（参考数据：P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）≈0.6827；P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）≈0.9974） 【24题答案】的。
2020-2021学年江苏省南京师范大学附属中学高二下学期期中考试复习卷数学试题
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试复习卷数学试题一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1．已知x，y∈R，则“2214xy+≤”是“12xy+≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知()1i2+=z，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数0,0()sin,0lnxf x x xxx=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为A，b，C，乙的三张扑克牌分别记为a，B，c.这六张扑克牌的大小顺序为A a B b C c>>>>>.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（）A ．16B ．23C ．13D ． 125．在等差数列{}n a 中，若20200a =，则有等式12124039n na a a a a a -+++=+++（4039n <且n *∈N ）成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若20211b =，则有（ ）A ．12124041n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅（4041n <且n *∈N ） B ．12124040n nb b b b b b -⋅=⋅⋅⋅⋅⋅（4040n <且n *∈N ）C ．12124041n nb b b b b b -+++=+++（4041n <且n *∈N ） D ．12124040n nb b b b b b -+++=+++（4040n <且n *∈N ）6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C ECD -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．26πC ．24πD ．28π7．如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足π6PAB ∠=，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e e a b c ===-，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、多选题（共4题，每题5分，共20分：漏选得2分，错选或不选得0分）9．由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（ ）A ．BJ ⊥平面ADJB ．平面//BCJ 平面EADC ．平面ECB ⊥平面EADD ．BE AJ ⊥10．已知双曲线22:163x y C -=的左、右两个焦点分别为12F F 、，直线(0)y kx k =≠与C交于AB 、两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形12AF BF 为平行四边形 B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为2kD ．90PAB ∠>︒11．已知函数()2sin sin 2f x x x =-，则下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[],ππ-上有2个零点C ．函数()f x的图象关于(π对称D ．函数()f x的最小值为12．“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线．．．（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条.”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：()2ax axe ef x a -+=，其中a 为悬链线系数.当a =1时，()2x x e e f x -+=称为双曲余弦函数，记为ch 2x xe e x -+=.类似的双曲正弦函数sh 2x xe e x --=．直线=x t 与ch x 和sh x 的图像分别交于点A 、B ．下列结论正确的是（ ）A ．sh()sh ch ch sh x y x y x y +=⋅+⋅B ．ch()ch ch sh sh x y x y x y +=⋅-⋅C ．AB随t 的增大而减小D ．ch x 与sh x 的图像有完全相同的渐近线三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．两对夫妻准备周末出去旅游，有甲､乙､丙､丁四辆顺风车可以搭乘，其中甲､乙两车每辆最多可搭乘两人，丙､丁两车每辆最多可搭乘一人，不是夫妻的两个人不能搭乘同一辆车，若不考虑座位顺序，且这两对夫妻都要坐上车.则不同的搭乘方案共有___________种. 14．设复数z ，满足11z =，22z =，12i +=-z z ，则12z z -=____________．15．已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______.16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，∈b R ，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______四、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在①6sin 5sin B A =，②4ab ＝，③60C ︒＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =3，9cos 3B a b =+，______？18．（12分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ．19．（12分）2020年10月份南京市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y (单位：g )与尺寸x (单位：mm )之间近似满足关系式by c x =⋅(b ､c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数试求随机变量ξ的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：①根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；②已知优等品的收益z (单位：千元)与x ，y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？(精确到0.1) 附：对于样本(),(1,2,,)i i v u i n =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvubv v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa u bv =-， 2.7182e ≈.20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．21．（12分）如图，已知椭圆22:15x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆的动弦AB 过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，椭圆C 在点,A B 处的两切线的交点为M .（1）求证：,,O M N 三点共线；（2）求||||||AB FM FN ⋅的最小值.22．（12分）已知函数()1e2ln46xf x x x-=-+-，e是自然对数的底数．（1）求曲线()y f x=在()()1,1f处的切线方程；（2）若()0,x∈+∞，证明：曲线()y f x=不落在()32y x=-图像的下方．——★ 参*考*答*案 ★——一、单选题二、多选题 三、填空题13. 50 1415.2213y x -=16.[1,1]a a -- 19四、解答题17. 解：由9cos 3B a b =+及余弦定理可得 222299962a c b a c abc +-=+.因为=3c ，于是22332270a b ab ++-=（*）.方案一：选条件①.由6sin 5sin B A =和正弦弦定理得56b a=，代入（*）解得=2a ，53b =. 因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时53b =.方案二：选条件②.由于4ab =得4a b =，代入（*）得42319480b b -+=.因为2219240∆=-<，所以b 不存在.因此，选条件②时，问题中的三角形不存在. 方案三：选条件③.因为3c =，60C =︒，由余弦定理可得229a b ab +=+.代入（*）得0ab =，因此，选条件③时，问题中的三角形不存在.18. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为24b =，所以2222log 4a b ==，所以212d a a =-=，所以()2122n a n n=+-⨯=．又22log n na b =，即222log nn b =，所以2log =n n b ，所以2nn b =．（2）由（1）112222n n n n b a --==⋅=，即nb 是数列{}n a 中的第12n -项．设数列{}n a 的前n 项和为n P ，数列{}n b 的前n 项和为n Q ，因为67642b a a ==，731282b a a ==，所以数列{}n c 的前100项是由数列{}n a 的前107项去掉数列{}n b 的前7项后构成的，所以1001077S P Q =-()8107221422212⨯+-=--11302=．19. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内，即(0.302,0.388)y x ∈则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品. 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=0333361(0)20C C P C ξ===，1233369(1)20ξ===C C P C ， 2133369(2)20C C P C ξ===，3033361(3)20ξ===C C P Cξ的分布列为∴19913()0123202020202ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E（2）对(,0)by c x b c =⋅>两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i iv x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：1222175.324.618.360.271ˆ101.424.660.542ni i i nii v u nv ubvnv ==-⋅-⨯÷====-÷-∑∑1ˆˆ18.324.6612⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭a u bv ，得ˆˆln 1==ac ，故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为12y e x =⋅② 由① 可知，12ˆy e x =⋅，则ˆ20.32z x =由优等品质量与尺寸的比12ˆ,(7,9)97y ex e e x x ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭，即(49,81)x ∈.令(7,9)t =，222ˆ()0.3220.320.320.32e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭当8.5(7,9)0.32et ==≈∈时，ˆz取最大值， 即优等品的尺寸()72.3x mm ≈，收益ˆz的预报值最大. 20. 解：（1）分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、EF 、PF ． 因为PA PB =，E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥． 又因为//AB CD ，所以CD PE ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且AB CD =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，//AE DF ∴且AE DF =，2ADF π∠=，所以，四边形ADFE 为矩形，则EF CD ⊥，EFPE E =，所以CD ⊥平面PEF ．因为PF ⊂平面PEF ，所以CD PF ⊥． 在PCD 中，F 为CD 的中点，CD PF ⊥，所以PC PD =．又因为PA PB =，AD BC =，所以PAD PBC ≅，从而可得PAD PBC ∠=∠； （2）由（1）可知，CD ⊥平面PEF ，//AB CD ，AB ∴⊥平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，EF AB ∴⊥，所以PEF ∠为二面角P AB C的平面角，且PE ==， 以点E 为坐标原点，EB 、EF 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF α∠=，其中0απ<<， 则()1,0,0A -、()1,0,0B 、()1,2,0C 、()1,2,0D -、()0,2,0F 、()P αα，()AP αα=，()2,0,0DC =，()FP αα=-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n DC n FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()2020x y z αα=⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，取α=y，则1z α=，0x =，()0,2sin ,1n αα∴=，(cos ,n AP n AP n AP⋅<>===⋅=令(33t α-=∈-+，则cos α=则22cos ,3n AP <>==≤=， 当且仅当1t =时，即当cos 2α=时，即当4πα=时，等号成立.所以，当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C 为4π．21. 解：（1）椭圆的右焦点为(2,0)F ，设AB 所在的直线的方程为(2)(0)y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y联立方程组22(2),1,5y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()()222251202050k x k x k +-+-=则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，点N 的坐标为222102,5151k k k k ⎫⎛-⎪ ++⎝⎭， ON ∴所在的直线的方程为15y x k =-，设在点()11,A x y 处的切线为：21()y y k x x -=-，与椭圆联立后由0∆=，可得115x k y =-，整理得：椭圆C 在,A B 处的切线方程为1115x x y y +=，2215x x y y +=，联立方程组11221515x xy y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y ⎫-⎛-⎪ --⎝⎭，()()12122112212112211555OMONx x x y x y x x y y y y x y x y k k k -----==-=-=，故,,O M N 三点共线.（2）由（1）可知，)21221||51k AB x k +=-=+||2FM =-=2||251FN k =-=+)22221||||1||2||51k AB FM k FN k k +⋅⋅+==⨯+1||||k k ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1||||k k =即||1k =时，等号成立.22. （1）解：由题意知，()12e 4x f x x -'=-+，故()13f '=，而()11f =-，故所求切线方程为()131y x +=-，即340x y --=．（2）证明：要证曲线()y f x =不落在()32y x =-图像的下方，即证()31e 2ln 462x x x x --+-≥-，即证()()31e 2ln 232x x x x x --+≥---．令()()()3232g x x x =---，0x >，()1e2ln x h x x x-=-+．()()()313g x x x '=--，令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >，所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2．而()12e 1x h x x -'=-+，易知()12e 1x h x x -'=-+在()0,∞+上单调递增，且()10h '=．令()0h x '<，得01x <<，令()0h x '>，得1x >，故()()min 12h x h ==．故当03x <≤时，()()h x g x ≥．设()()()()31e2ln 246x m x h x g x x x x -=-=---+-，则()()212e 324x m x x x -'=---+．设()()p x m x '=，则()()122e 62x p x x x -'=+--．设()()q x p x '=，则()134e 6x q x x -'=--，易知()q x '在()3,+∞上单调递增，则()()243e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在()3,+∞上单调递增， 从而()()223e 609p x p ''>=+->，则()m x '在()3,+∞上单调递增，则()()213e 03m x m ''>=+>，从而()m x 在()3,+∞上单调递增，所以当()3,x ∈+∞时，()()23e 52ln 30m x m >=+->，故当3x >时，()()h x g x >．综上所述，当()0,x ∈+∞时，曲线()y f x =不落在()32y x =-图像的下方．。
(苏科版)南京市鼓楼区2019-2020学年高二数学下期中考试文科试题(附答案)(精校版)
高二下期中考试数学试题(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数 1z在复平面内对应的点位于第 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 辆．4场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：环的概率为 ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ．(第5题)(第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S507090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ．10．为了计算2×4×6×8×10(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ． 14．设函数f (x ) =12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )=ln xx． (1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．5 10．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分 所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分 9分12分15分 16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx 2． 令f ' (x )＝1－ln xx 2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分 若a >2，则当x ∈(2a ，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a )时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln nn，即m n =n m ． 【…、￥。
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3i n南京师大附中 2019-2020 学年度第 2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括单选题（第 1 题~第 8 题）、多选题（第 9 题~第 12 题）、填空题（第 13 题~第题 18题）、解答题（第 19 题~第 23 题）四部分，本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若 A 2= 20 ，则n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 函数 f ( x ) = sin 2 x 的导数是（ ） A. 2 c o s 2 xB. -2 cos 2 xC. 2 sin 2 xD. - 2 sin 2 x3. 若i 为虚数单位，复数z 满足 z (1 + i ) =| 3 + 4i | ，则 z 的虚部为（ ）A.5i B. 5C. - 5iD. - 522 2 24. 已知等差数列{a } ，若a ， a 是函数 f ( x ) = 1 x 3 - x 2+ mx + 1的极值点，则 a 的值为（ ）n 2 403832020A. 1B. - 1C. ± 1D. 05. 已知复数z 满足 z -1 - = 1，则 z 的最大值为（ ）A. 1 B .2 C . 3 D . 46. 若 ke x - x -1 ≥ 0 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A .(-∞,1]B .(0,1]C .(0, +∞)D .[1, +∞)7. 某班联欢会原定的 3 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. 1 2B. 20C. .36D . 1208. 定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足 f '(x ) < 1，若 f (m ) - f (1 - 2m ) ≥ 3m -1，则m 的取值范围是（ ）A.(-∞, -1]B.(-∞, 1 ]3 C .[-1, +∞) D.[1,3+∞)二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若复数z 满足(z+2)i=3+4i（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.z 的虚部为3B. | z |=C. z 的共轭复数为2 + 3iD. z 是第三象限的点10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576 种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440 种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440 种不同排法11.已知函数f (x) 定义域为[-1, 5] ，部分对应值如表，f (x) 的导函数f '(x) 的图像如图所示.x - 10245f (x) 12021下列关于函数f (x) 的结论正确的有（）A.函数f (x) 的极大值点有2 个；B.函数在f (x) 上[0, 2] 是减函数；C.若x ∈[-1,t]D . 当1 <a < 2时，f (x) 的最大值是2，则t 的最大值为4；时，函数y =f (x) -a 有4 个零点；12.若函数f (x) 的图像上存在两个不同的点A, B ，使得曲线y =f (x) 在这两点处的切线重合，称函数f (x) 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（）A. y =e x -xB. y =x 4 -x 2 C . y =x3D.y =x + sin x三、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.13.已知复数z 满足z +3= 0 ，则| z |=. z14.已知函数f (x)= xx2 + 3，则f '(0)的值为.15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.1316. 直线y = m 与直线 y = 2x + 3 和曲线 y = ln 2x 分别相交于 A , B 两点，则 AB 的最小值为 .17. 已知函数 f ( x ) = e x ( x - 1) ，则它的极小值为 ；若函数g (x ) = mx 总存在x 2 ∈ [-1, 2]，使得 f (x 1 ) > g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是 .，对于任意的 x 1 ∈ [-2, 2] ， 18. 已知定义域为 R 的奇函数 f (x ) 满足 f (-x ) = f (x + 2) ，且当0 ≤ x ≤ 1时， f ( x ) = x 3 + x .若函数h (x ) = f (x ) - t在[-4, 0) Y (0, 4] 上有 4 个不同的零点，则实数t 的取值范围是.x四、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19. （12 分）设复数 z 1 = 2 - ai (a ∈ R ), z 2 = 4 - 3i . （1）若 z 1 + z 2 是实数，求 z 1 ⋅ z 2 ；z 1 （2）若 2是纯虚数，求 z 1 的共轭复数.20. （12 分）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 1(a + 6)x 2+ 6ax + b (a , b ∈ R ) .3 2（1）若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率为 -2 （2）若在区间 (2, 3) 上，函数 f (x ) 不单调，求a 的取值范围.，求 a ,b 的值； z21. （12 分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.22. （12 分）如图，某景区内有两条道路AB , AP ,现计划在AP 上选择一点C ，新建道路 B C ，并把ςABC 所在的区域改造成绿化区域. 已知∠BAC =π，AB = 2 km ，AP = 2 3km . 若绿化区域ςABC 改造6成本为10万元/ km2 ，新建道路 B C 成本为10万元/ km .（1）①设∠A B C=θ，写出该计划所需总费用F (θ)的表达式，并写出θ的范围；②设AC =x ，写出该计划所需总费用 F (x )的表达式，并写出x的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.23.（12 分）设函数f (x) = ln x -ax(a ∈R), g(x) =xf (x) .（1）若f (x) ≤ 0恒成立，求a的取值范围；（2）①若 a =1，试讨论g(x) 的单调性；2e2②若g(x) =有两个不同的零点，求2a的取值范围，并说明理由.nn 南京师大附中2019-2020 学年度第2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共4 页，包括单选题（第1 题~第8 题）、多选题（第9 题~第12 题）、填空题（第13 题~第题18 题）、解答题（第19 题~第23 题）四部分，本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟.2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A2 = 20 ，则n 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】A2 =n (n -1)= 20 解的n = 5【点评】考查排列组合的运算。
2.函数f (x)= sin 2x 的导数是（）A.2cos 2xB.【答案】A-2cos 2x C. 2sin 2x D.-2sin 2x【解析】f' (x)=(sin2x)' =(2x)' cos2x=2cos2x【点评】复合三角函数求导运算3.若i 为虚数单位，复数z 满足z (1 +i )=| 3 + 4i | ，则z 的虚部为（）A.5i B.5C.-5i D.-5 2【答案】D52 2 2 5(1 -i ) 5 5【解析】z ===-i1 +i2 2 2【点评】考查内容较综合，包括复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，利用方程思想解题。
4.已知等差数列{a }，若a ，a 是函数f (x)=1x3 -x2 +mx + 1的极值点，则a 的值为（）n 2 4038320203i max A. 1B. -1C. ±1D. 0【答案】 A【解析】 f '(x ) = x 2- 2x + m由韦达定理 a + a= 2 ，又 a= 1(a + a)，所以a = 1.2403820202 2 20382020【点评】基础题型：导数求极值点方程，利用韦达定理利用等差数列性质得到答案5. 已知复数z 满足 z -1 - = 1，则 z 的最大值为（ ）A. 1B .2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】设 z = a + bi ，由题意得(a -1)2+ (b -3 )2= 1，圆心到原点的距离为 2， z = 2 + r = 3 . 【点评】考查复数的模长公式、圆的最值问题，属于基础题.6. 若 ke x - x - 1 ≥ 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是（ ）A .(-∞,1]B .(0,1]C .(0, +∞)D .[1, +∞)【答案】D【解析】由题意得 k ≥x +1恒成立，令 g (x ) =x +1 ， g '(x ) =-x = 0 则 x = 0 ， g (x )= g (0) = 1 ，故 k ≥ 1 .ex exexmax【点评】考查恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于基础题.7. 某班联欢会原定的 3 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 12B. 20C. 36 D . 120【答案】B【解析】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有 4 种方法，第二步插入第二个节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 20 种. 【点评】考查分步计数原理，属于基础题.8. 定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足 f '(x ) < 1，若 f (m ) - f (1 - 2m ) ≥ 3m - 1，则m 的取值范围是（ ）A .(-∞, -1]B .(-∞, 1] 3C .[-1, +∞)D .[1 , 3+∞)【答案】B【解析】令 g (x ) = f (x )- x ， g '(x ) = f '(x ) -1 < 0 ，故 g (x )单调递减. f (m ) - m ≥ f (1 - 2m ) + 2m -1，即 g (m ) ≥ g (1- 2m )， m ≤ 1 - 2m ， m ≤ 1.3【点评】根据题意构造新函数并判断新函数的单调性，再依据新函数单调性化简不等式即可.属于中等题.134 54 4 35 4 3 3 3 2 2 3二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若复数z 满足(z+2)i=3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.z 的虚部为3B. | z |=C.z 的共轭复数为2 + 3iD. z 是第三象限的点【答案】B, C【解析】z =3 + 4i- 2 =-3i + 2 ，虚部为-3，z =，共轭复数为2 + 3i ，是第四象限点。