乘法公式(提高)知识讲解

乘法公式（提高讲义）

【重点梳理】

重点一、平方差公式

平方差公式：2

2

()()a b a b a b +-=-

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3

2

3

2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+

（6）增因式变化：如2

2

4

4

()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式

完全平方公式：()2

2

2

2a b a ab b +=++

2222)(b ab a b a +-=-

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

()2222a b a b ab +=+-()2

2a b ab =-+

()

()2

2

4a b a b ab +=-+

重点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式

2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2

233()()a b a ab b a b ±+=±；

3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b ±=±+±；2

2

2

2

()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．

【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】

解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(32

21+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(32

21+)＋1 ＝64

2－1＋1＝64

2．

【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：

【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192

【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2

,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2

=12 =1；

(2)2018×2020-20192

=(2019-1)(2019+1)-20192

=20192-1-20192 =-1．

【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．

【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；

（a ﹣b ）（a 2

+ab+b 2

）= ；

（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3

）= ． （2）猜想：

（a ﹣b ）（a n ﹣1

+a n ﹣2

b+…+ab n ﹣2

+b n ﹣1

）= （其中n 为正整数，且n≥2）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22

+2． 【答案】

解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2

﹣b 2

；

（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3

；

（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4

；

故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4

； （2）由（1）的规律可得：

原式=a n

﹣b n

，

故答案为：a n ﹣b n

；

（3）29

﹣28

+27

﹣…+23

﹣22

+2=（2﹣1）（28

+26

+24

+22

+2）=342．

例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：

（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．

（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．

【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法