乘法公式(提高)知识讲解

乘法公式（提高讲义）

【重点梳理】

重点一、平方差公式

平方差公式：2

2

()()a b a b a b +-=-

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3

2

3

2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+

（6）增因式变化：如2

2

4

4

()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式

完全平方公式：()2

2

2

2a b a ab b +=++

2222)(b ab a b a +-=-

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

()2222a b a b ab +=+-()2

2a b ab =-+

()

()2

2

4a b a b ab +=-+

重点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式

2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；

3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b ±=±+±；2

2

2

2

()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．

【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】

解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(32

21+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(32

21+)＋1 ＝64

2－1＋1＝64

2．

【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：

【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192

【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2

,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2

=12 =1；

(2)2018×2020-20192

=(2019-1)(2019+1)-20192

=20192-1-20192 =-1．

【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．

【变式2】（2019?内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；

（a ﹣b ）（a 2

+ab+b 2

）= ；

（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3

）= ． （2）猜想：

（a ﹣b ）（a n ﹣1

+a n ﹣2

b+…+ab n ﹣2

+b n ﹣1

）= （其中n 为正整数，且n≥2）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22

+2． 【答案】

解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2

﹣b 2

；

（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3

；

（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4

；

故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4

； （2）由（1）的规律可得：

原式=a n

﹣b n

，

故答案为：a n ﹣b n

；

（3）29

﹣28

+27

﹣…+23

﹣22

+2=（2﹣1）（28

+26

+24

+22

+2）=342．

例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：

（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．

（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．

【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法

∴①+②的面积=a 2-b 2

;

①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2

, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2

．

（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2

, ③+④的面积=(a-b)a=a 2

-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2

;

①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2

, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2

．

【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：

【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2

,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2

,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2

B ．a 2-b 2

=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2

（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52

; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2

=24．

【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2

=(a+b)(a-b);

（2）①67.52-32.52

=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．

【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;

由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2

; ∴a 2-b 2

=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2

,选B ；

（2）①67.52-32.52

=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2

=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．

【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．

类型二、完全平方公式的应用

例3、运用乘法公式计算：

（1）2

(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．

【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；

（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】

解：（1）原式2

2

2

[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-

22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．

（2）原式2

2

2

2

2

[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：

【变式】运用乘法公式计算：

(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2

x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】

解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]

＝()(

)2

2

2

2

2

2a b c a b bc c

--=--+

＝222

2a b bc c -+-．

(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]

＝()()()

2

2

2

2

21421x y x y y --=--+

＝22

421x y y -+-．

(3)()()()()2

2

2

2

2x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+????

＝222

222x xy y xz yz z -++-+．

(4) ()()231123a b a b +---＝()2

231a b -+-

＝－22

[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋

＝－()2

2

(2)2233461a a b b a b ??+??+--+??

＝22

4129461a ab b a b －－－＋＋－

例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222

0a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．

【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】

解：∵ 222

0a b c ab bc ac ++---=，

∴ 222

2222220a b c ab bc ac ++---=，

即2

2

2

2

2

2

(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即2

2

2

()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，

即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．

【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：

【变式】多项式2

2

2225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；

提示：()()2

2

2

2

222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.