第五节 简单拉压超静定问题

第五节简单拉压超静定问题

在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。

(a) (b)

图5-25

图5-26

在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。这类问题称为超静定问题或称静不定问题。未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。

求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。下面通过例题说明超静定问题的解法。

例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。

&

图5-27

解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程

0,0=-+-=∑X B A R P P R

得 B A R R = （a ）

上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。

显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为

0=∆+∆+∆DB CD AC l l l

根据虎克定律，得到AC l ∆=EA l R A -，=∆CD l EA l R P A )(-，=∆DB l EA l R B

-，代入上式得到变形的几何方程为

0)(=--+-

EA l R EA l R P EA l R B A A

、 整理后得

P R R B A =+2 （b ）

将式（a ）代入式（b ），可解得

3P R R B A =

=

作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。 例5-9 图5-28a 所示结构中，已知杆1、杆2和杆3的抗拉刚度均为EA ，角030=α， 重物G=38kN ，试求各

杆所受的拉力。

(a) (b) (c)

图5-28

解：（1）列平衡方程

&

在重力G 作用下，三根杆均被拉长，故可设三杆均受拉力，节点A 的受力图如图5-28b 所示，列平衡方程：

ΣX=0， 0sin sin 21=+-ααN N F F

ΣY=0， 0cos cos 321=-++G F F F N N N αα

整理得到

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=033121G F F F F N N N N （1）

（2）变形几何关系

由图5-28c 可以看到，由于结构左右对称，杆1、2的抗拉刚度相同，所以节点A 只能垂直下移。设变形后各杆汇交于A’点，则3l A A ∆='。以B 点为圆心，杆1的原长BA 为半径作圆弧并与BA’相交，BA’在圆弧以外的线段

即为杆1的伸长1l ∆，由于变形很小，可用垂直于BA’的直线AE 代替上述弧线，且仍可以认为030=='∠αD A B 。

于是

αcos 31l l ∆=∆ （2）

（3）物理关系

由虎克定律，得到

。

EA l F l EA l F l N N 3

33111,=∆=∆ （3）

（4）补充方程

将物理关系式（3）代入几何方程（2），得到解该超静定问题的补充方程

αcos 3311EA l F EA l F N N =

将αcos 13l l =代入上式，整理得到α231cos N N F F =，即

3175.0N N F F = （4）

（5）求解各杆轴力

联立求解补充方程（4）和平衡方程（1），可得

kN

5.16175.033=+⨯=G

F N ,

21N N F F ==

&

对于超静定结构，由于制造误差会造成装配应力，温度变化会造成温度应力。

我们知道，所有构件在制造中或多或少都会有一些误差，这种误差，在静定结构中不会引起任何内力及应力。

而在超静定结构中则有不同的特点。例如图5-29所示的三杆桁架结

图5-29

构，如果杆3制造时短了δ，为了将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆1、2压短，这种强行装配使杆3中产生拉应力，杆1、2中产生压应力。这种由于装配而引起的杆内应力，称为装配应力。装配应力是在载荷作用前结构中已经具有的应力，因而是一种初应力。这种应力的存在，有时是不利的，它会降低构件承受载荷的能力，但有时又可以利用它来达到一定的目的。例如轮毂和轴的紧配合就是有意识地利用与装配应力相应的变形，来防止轮毂和轴的相对转动；预应力钢筋混凝土构件，也是利用装配应力来提高其承受载荷的能力。

在工程实际中，构件往往会遇到温度变化，从而引起构件热胀冷缩的温度变形。在静定结构中，构件可以自由变形，故温度改变不会在构件内产生应力。例如图5-25a 、图5-26a 所示的杆，如果全杆各点处温度均上升了ΔT 0C ，则杆件因热胀而伸长，但不会产生应力。然而在图5-30a 所示的超静定结构中，如果杆AB 的温度发生变化，由于有了多余的约束，在杆内将出现温度应力。设温度变化前杆AB 长度正好合适，如果全杆各点处温度均上升了

图5-30

ΔT 0C ，设想此时只有一个支座A ，则杆应伸长L T L t ⋅∆=∆α，其中α为材料的线膨胀系数。但由于两端均受到刚性支座的约束，杆的长度不能改变。因此，杆的两端必受到来自支座的轴向压力P ，使杆缩短了ΔL P (t L ∆=)而回到原长L （图5-30c ）。同时在杆内产生了应力

L L E P T ∆=σ。这种由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应力，

其计算式为 $

T E T ∆=ασ (5-11)

碳钢的C /1105.1206-⨯=α，E=200GP a 。所以

a a 96MP 2.5P 10200105.12T T T ∆=∆⨯⨯⨯=-σ

可见当温度变化T ∆较大时，T σ的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在送热管道中可以增加伸缩节（图5-31）；在铁路钢轨各段之间留有伸缩缝，以削弱对钢轨膨胀的约束，降低温度应力；铁路桥梁一端用固定铰链支座，另一端采用可动铰链支座（图5-32），可以避免桥梁水平方向的温度应力。