椭圆方程及性质应用 ppt课件
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12 4
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,
所以x1+x2=6k1=6
k 3
m k
2
,
所以m=-(1+3k2),所以-mx2+6kmx+3m2-12=0,
由题意知，判别式大于0，即36k2m2+4m(3m2-12)>0,
m(m-4)<0,所以0<m<4,故m的取值范围为(0，4).
【补偿训练】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直 线 x 3y40 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长. 【解析】设椭圆长轴长为2a(且a＞2)， 则椭圆方程为 x2 y2 1.
a2 a2 4
由
x2
a
2
a
y2 2
得4
1，
x 3 y 4 0 ,
4 a 2 1 2 y 2 8 3 a 2 4 y 1 6 a 2 a 2 4 0 .
因为直线与椭圆只有一个交点，所以Δ=0，即192(a2-4)216(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0，解得a=0(舍去)，a=2(舍去)， a 所7，以长轴长 2a 2 7.
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)(2014·衡水高二检测)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3,2),过
点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
B.2x+3y-12=0
C.4x+9y-144=0
D.9x+4y-144=0
(2)(2014·济宁高二检测)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短
y kx 1，
【(m自+主5k解2)答x2】+1(10)k方x+法5一(1:由-m)= x052,
y消2 去1 ，y,整理得
m
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
因为直线与椭圆总有公共点,
所以Δ≥0对任意k∈R都成立.
因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,所以1-m≤0,即m≥1.
2x23( 6x2)2 6, 6
即 5x22 6x60.
2
Δ= 262 4 5 6 2 4 6 0 3 6 ＜ 0 . 2
因此直线与椭圆没有公共点.
【延伸探究】题(2)条件不变，问椭圆上是否存在一点，它到
直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】因为直线l与椭圆2x2+3y2=6不相交，设与椭圆相切的
标，利用中点坐标公式，找它们之间的联系.
2.一般思路是联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x(或y)的
一元二次方程，由根与系数的关系得 x1x22y1y22
程.
(2)若椭圆C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且
|AM|=|AN|，求m的取值范围.
【解析】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)
的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长
度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为
轴长为4,离心率为 3 .
2
①求椭圆C的方程；
②设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两 点，且 AB 16 2, 求直线l的方程.
5
【解题探究】1.题(1)求弦所在直线的方程，还需确定什么？
如何利用中点这个条件？
2.题(2)求弦长的一般思路是什么？你能得出弦长的公式吗？
【探究提示】1.还需确定直线的斜率，可设出弦的两个端点坐
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0<m<5,
所以1≤m<5.
方法二：因为直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或
0＜ m ＜ 5，
椭圆上，由此得 答案：［1,5)
02＋ 5
1
2解得1≤m＜5.
1，
m
(2)由
y
6 6
得x
2,
2 x 2 3 y 2 6
直线m平行于直线l，则直线m的方程为y： 6 x b,
6
由方程组
y
6 6
消x 去b ,y得:
2 x 2 3 y 2 6
5x2 6bx3b260, 2
即 5 x 2 26 b x 6 由b 2Δ 1 =2 0 ，0 ， 得 或 b 1 0
2
b 10 , 2
当 b 时1 0，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，此时
x22 y42
1.
12
4wenku.baidu.com
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1,y1),N(x2,y2)分别代入椭圆C：x 2 y 2 得1：
12 4
x
2 1
y12
1,
①
12 4
x 22 y 22 1,
②
12 4
用①减去②得：x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2,
第2课时 椭圆方程及性质的应用
【题型示范】
类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】 (1)若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 x 2 ＋ y 2 1 总有公共
5m
点，则m的取值范围为________． (2)判断直线l: y 6 x 2 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.
6
【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定 点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭 圆有公共点？ 2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？ 【探究提示】1.恒过定点(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时， 经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行 判断.
2
m的方程为y 6 x 10 ,
6
2
10 2
直线m与直线l的距离d 2
105 2 42 .
1 ( 6 )2
7
6
所以最大距离为 105 2 42 .
7
【方法技巧】直线与椭圆位置关系的判断方程
【变式训练】已知椭圆C：x 2 y 2 1, 一个顶点为A(0，2).
12 4
(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方
1 2
4
所以 ky1y21再由x1垂x直2,平分线的性质得
x1x2 3 y1y2
1 k
y1 x1
y2
2 x2
2 0
y1 y2 4, x1 x2
2
所以 3y1y2y1y24,
x1x2
x1x2
所以y1+y2=-2,所以x1+x2=-3k(y1+y2)=6k,
故MN的中点(3k,-1),
把y=kx+m代入椭圆Cx ：2 y 2 1 得，
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,
所以x1+x2=6k1=6
k 3
m k
2
,
所以m=-(1+3k2),所以-mx2+6kmx+3m2-12=0,
由题意知，判别式大于0，即36k2m2+4m(3m2-12)>0,
m(m-4)<0,所以0<m<4,故m的取值范围为(0，4).
【补偿训练】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直 线 x 3y40 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长. 【解析】设椭圆长轴长为2a(且a＞2)， 则椭圆方程为 x2 y2 1.
a2 a2 4
由
x2
a
2
a
y2 2
得4
1，
x 3 y 4 0 ,
4 a 2 1 2 y 2 8 3 a 2 4 y 1 6 a 2 a 2 4 0 .
因为直线与椭圆只有一个交点，所以Δ=0，即192(a2-4)216(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0，解得a=0(舍去)，a=2(舍去)， a 所7，以长轴长 2a 2 7.
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)(2014·衡水高二检测)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3,2),过
点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
B.2x+3y-12=0
C.4x+9y-144=0
D.9x+4y-144=0
(2)(2014·济宁高二检测)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短
y kx 1，
【(m自+主5k解2)答x2】+1(10)k方x+法5一(1:由-m)= x052,
y消2 去1 ，y,整理得
m
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
因为直线与椭圆总有公共点,
所以Δ≥0对任意k∈R都成立.
因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,所以1-m≤0,即m≥1.
2x23( 6x2)2 6, 6
即 5x22 6x60.
2
Δ= 262 4 5 6 2 4 6 0 3 6 ＜ 0 . 2
因此直线与椭圆没有公共点.
【延伸探究】题(2)条件不变，问椭圆上是否存在一点，它到
直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】因为直线l与椭圆2x2+3y2=6不相交，设与椭圆相切的
标，利用中点坐标公式，找它们之间的联系.
2.一般思路是联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x(或y)的
一元二次方程，由根与系数的关系得 x1x22y1y22
程.
(2)若椭圆C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且
|AM|=|AN|，求m的取值范围.
【解析】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)
的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长
度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为
轴长为4,离心率为 3 .
2
①求椭圆C的方程；
②设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两 点，且 AB 16 2, 求直线l的方程.
5
【解题探究】1.题(1)求弦所在直线的方程，还需确定什么？
如何利用中点这个条件？
2.题(2)求弦长的一般思路是什么？你能得出弦长的公式吗？
【探究提示】1.还需确定直线的斜率，可设出弦的两个端点坐
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0<m<5,
所以1≤m<5.
方法二：因为直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或
0＜ m ＜ 5，
椭圆上，由此得 答案：［1,5)
02＋ 5
1
2解得1≤m＜5.
1，
m
(2)由
y
6 6
得x
2,
2 x 2 3 y 2 6
直线m平行于直线l，则直线m的方程为y： 6 x b,
6
由方程组
y
6 6
消x 去b ,y得:
2 x 2 3 y 2 6
5x2 6bx3b260, 2
即 5 x 2 26 b x 6 由b 2Δ 1 =2 0 ，0 ， 得 或 b 1 0
2
b 10 , 2
当 b 时1 0，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，此时
x22 y42
1.
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(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1,y1),N(x2,y2)分别代入椭圆C：x 2 y 2 得1：
12 4
x
2 1
y12
1,
①
12 4
x 22 y 22 1,
②
12 4
用①减去②得：x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2,
第2课时 椭圆方程及性质的应用
【题型示范】
类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】 (1)若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 x 2 ＋ y 2 1 总有公共
5m
点，则m的取值范围为________． (2)判断直线l: y 6 x 2 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.
6
【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定 点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭 圆有公共点？ 2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？ 【探究提示】1.恒过定点(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时， 经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行 判断.
2
m的方程为y 6 x 10 ,
6
2
10 2
直线m与直线l的距离d 2
105 2 42 .
1 ( 6 )2
7
6
所以最大距离为 105 2 42 .
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【方法技巧】直线与椭圆位置关系的判断方程
【变式训练】已知椭圆C：x 2 y 2 1, 一个顶点为A(0，2).
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(1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方
1 2
4
所以 ky1y21再由x1垂x直2,平分线的性质得
x1x2 3 y1y2
1 k
y1 x1
y2
2 x2
2 0
y1 y2 4, x1 x2
2
所以 3y1y2y1y24,
x1x2
x1x2
所以y1+y2=-2,所以x1+x2=-3k(y1+y2)=6k,
故MN的中点(3k,-1),
把y=kx+m代入椭圆Cx ：2 y 2 1 得，