圆锥曲线轨迹方程经典例题
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轨迹方程经典例题
一、轨迹为圆的例题:
1、 必修2课本P 124B 组2:长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程:
必修2课本P 124B 组:已知M 与两个定点(0,0),A (3,0)的距离之比为
2
1
,求点M 的轨迹方程;(一般地:必修2课本P 144B 组2:已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ;讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分m =1,与m ≠1进行讨论)
2、 必修2课本P 122例5:线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆
1)1(22=++y x 上运动,求AB 的中点M 的轨迹。
(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为32。 (1)求圆心的P 的轨迹方程;
(2)若P 点到直线x y =的距离为
2
2
,求圆P 的方程。
如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x
-4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动.
设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1=
2
,241+=
+y y x ,代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得24
4)2()24(
22+⋅
-++x y x -10=0整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.
在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
(2013陕西卷理20)已知动圆过定点)0,4(A ,且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(2) 已知点)0,1(-B ,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,,若x 轴是PBQ ∠的角平分线,证明
直线l 过定点。
M
B
A
3、 定义法:(选修2-1P 50第3题)点M(x ,y )与定点F(2,0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2
1
,求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)
讨论:当这个比例常数不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢?(对应双曲线,抛物线)
4、 圆锥曲线第一定义:(选修2-1P 50第2题)一个动圆与圆
05622=+++x y x 外切,同时与圆09162
2=--+x y x 内切,求
动圆的圆心轨迹方程。
5、 圆锥曲线第一定义:点M(00,y x )圆1F 9)1(2
2
=++y x 上的一个动点, 点2
F (1,0)为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;(注意点2F (1,0)在圆内)
6、 其他形式:(选修2-1P 50例3)设点A,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM 相交于点M ,且他们的斜
率的乘积为9
4
-,求点M 的轨迹方程:(是一个椭圆) (讨论当他们的斜率的乘积为9
4
时可以得到双曲线)
(2013新课标1卷20)已知圆:M 1)1(2
2
=++y x ,圆:N 9)1(2
2=+-y x ,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,
圆心P 的轨迹为曲线C 。 (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于B A ,两点,当圆P 的半径最长时,求AB
(2013陕西卷文20)已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 (1)求动点M 的轨迹C 的方程
(2)过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点,若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率。
8、圆锥曲线第一定义:点M(00,y x )圆1F 1)1(2
2
=++y x 上的一个动点, 点
2F (1,0)为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q
的轨迹方程;(注意点2F (1,0)在圆外)
定义法:(选修2-1P 59例5)点M(x ,y )与定点F(5,0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为4
5
,求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)
四、抛物线类型:10、定义法:(选修2-1)点M(x ,y )与定点F(2,0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等,求
点M 的轨迹方程。(或:点M(x ,y )与定点F(2,0)的距离比它到定直线3-=x 的距离小1,求点M 的轨迹方程。)
(2013陕西卷文20)已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 (1)求动点M 的轨迹C 的方程
(2)过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点,若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率 已知三点(0,0)O ,(2,1)A -,(2,1)B ,曲线C 上任意一点(,)M x y 满足
||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
。
(1)求曲线C 的方程;
)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的点均在C 2:(x-5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M ,M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线C 1的方程;
(湖北)设A 是单位圆x 2+y 2
=1上的任意一点,i 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线i 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨(m>0,且m ≠1)。当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C 。
(I )求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;