标号法求最短路径例题详解
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
7.
一只密蜂从 A 处出发， A 回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而 不准逆行，共有多少种回家的方法？
1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 B
8. 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出 “ APPLE ”的路线共有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
有问题跟我联系哦！wutong@ 【数学加油站答案】
1.
A E1 1 C 1 F2 3 1 D
3G 6 B
H
I
2. 首先明确三天所走的路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有， 是什么？搞清 楚这些问题后，仍然用标数法求解．第一天（无限制条件）共有 16 条；第二天（必须 经过公园）共有 8 条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条． 3. 因为 B 在 A 的右下方，由标号法可知，从 A 到 B 的最短路径上，到达任何一点的走法 数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和． 有积水的街道不可能有路线 经过，可以认为积水点的走法数是 0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依 次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从 A 到 B 的最短路线有 22 条．
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法，在给出的图形中 的每一个结点标出到达该点的方法 数，最后利用相加的原则求出到达目 的地的方法数。
从 A 到 B 的最短路线有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
5. 用“标数”求出：从学校到养老院共 126 条．必经过市中心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条） ．
仓储习题
1.一辆送货车从配送中心所在地V1 给V6，V7 两地客户实现共同配送。
已知车辆自身成本消耗0.2 元/ 公里。
各站点间的距离（单位：公里）数如下图所示。
在V6，V7两地的线路间有一收费站，每次每台车辆通过均收费15 元。
1.用标号法求出送货车的最优送货路线？2.此次送货,车辆总的花费是多少解：把收费站的收费折算成路线后，如下图：用用标号法解出各站点距V1的最短路径用标号法解出最短路线：V1－V2－V4－V5－V6－V7按上述路线的走法花费最少，TC=95×0.2＋15=34 元若避开收费站走：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7 TC=（85＋20＋45）×0.2＝30 元因此，最优送货路线：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7；此次送货，车辆总的花费是30 元。
2.下图为某地区的交通运输道路示意图。
其中V1为配送中心位置，V8为要货客户位置，现V8客户向配送中心提出了4吨订货要求，并且要越快越好。
配送中心物流计划人员已做出了用一台4吨东风卡车配送的计划安排。
但要以最快的速度将货物送达，就必须确定最短的配送路线，而该计划人员不知如何确定。
（1）请您帮该物流计划人员优化出最佳的送货路线？（2）已知车辆的平均行驶速度为50公里/小时，如早晨8：00发车，货物什么时间可以送达客户？解：用T标号法求解得最短路线为：V1－Ｖ２－Ｖ３－Ｖ６－Ｖ７－Ｖ８。
最短配送距离为１２０公里。
时间：120/50=2﹒4小时，即10：24到达。
3.某物流公司拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供应配送,各工厂的具体位置与年物料配送量于下表,请利重心法（91页）确定物流公司的仓库位置,设拟建物流公司仓库对各工厂的单位运输成本相等。
4.随着业务的发展，该公司在四个城市都设置了配送中心，并在城市4设置了一个总仓库为四个配送中心送货，各配送中心的位置(Xi,Yi)及其日常送货数量qi（车）如表3所示。
由于需求增加过快和成本过高等原因，该公司正在设想将仓库从城市C4搬出，另外选址建设一个仓库。
标号法
标号法标号法是一种最佳算法，多用于求图的最短路问题。
一、标号法的概念：所谓标号，是指与图的每一个顶点相对应的一个数字。
标号法可以说是动态规划，它采用顺推的方法，对图的每一边检测一次，没有重复的回溯搜索，因此标号法是一种最佳算法。
二、标号法的算法流程：现有一图G，求从起点Vs到终点Ve的最短距离。
设：Sum(j)───顶点Vj的标号，代表的是Vs到Vj的最短距离。
Vj•已标味着Vs到Vj的最短路以及这条路径的长度已求出。
M(i,j)───Vi到Vj的非负长度。
H(j)───顶点Vj的前趋结点。
标号法的算法流程如下：sum（s）←0↓Vs进入队列L↓-----→移出队列L的队首Vk←-----| ↓ || Vk是不是Ve------------------|---→计算结束打印路径| N∣ Y || ↓ || 由Vk扩展出结点Vj || （Vk与Vj之间相连） || Sj←Sum(k)+M(k，j) || ↓ || Sj小于Sum（j） || | || Y | N || | --------------------| || ↓| Sum（j）←Sj| H（j）← Vk| Vj加入队列L并对队列L按Sum值由小到大排序| ↓---------------注意：1.只有两个顶点间的距离为非负时，才可用标号法。
2.只有队列的首结点是目标结点时，才可停止计算。
•否则得出的不一定是最优解。
三、例题解析：1.相邻项序列(GDOI97第四题)问题描述：对于一个N*N(<=100)的正整数矩阵M，存在从M[A1，•B1] •开始到M[A2，B2]结束的相邻项序列.两个项M[I，J]和M[K，L]•相邻的件是指满足如下情况之一：(1)I=K+-1和J=L(2)I=K和J=L+-1。
任务：从文件中输入矩阵M，再读入K(K<=4)组M[A1，B1]和M[A2，B2]的值。
对于每一组M[A1，B1]和M[A2，B2]，求一相邻项序列，使得相邻项之差的绝对值之和为最小。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
dijkstra标号法例题
dijkstra标号法例题
Dijkstra标号法是一种用于求解带权图中单源点最短路径的算法。
以下是一个Dijkstra标号法的例题：
题目：已知一个带权图，求顶点A到其他所有顶点的最短路径。
图中的顶点及其权重如下：
顶点：A(0)，B(4)，C(3)，D(2)，E(1)
边权：AB(1)，AC(2)，AD(3)，AE(4)，BC(1)，BD(2)，BE(3)，CD(1)，DE(1)
以下是使用Dijkstra标号法求解的过程：
1. 初始化：将起点A的标号设为0，其他顶点的标号设为无限大。
2. 将起点A加入优先队列中。
3. 从优先队列中取出距离起点最近的点，这里是最小权值为0的A。
将A的邻接顶点B、C、D、E的标号更新为1（即距离A的最短路径长度为1）。
4. 修改从A出发到集合V-S（已找到最短路径的顶点）上任一顶点K 的最短路径长度。
如果d[K]大于d[A] + a[A,K]，则修改为d[K] = d[A] + a[A,K]。
在本例中，修改B、C、D、E到其他顶点的距离。
5. 重复步骤3和4，直到所有顶点都获得最短路径。
最终得到的最短路径如下：
A -> B(1) -> E(2) -> D(3) -> C(4)
需要注意的是，Dijkstra标号法得到的最短路径是单源点A到其他顶点的最短路径，而非A到B、A到C等两点之间的最短路径。
如需求解两点之间的最短路径，可以分别以两个顶点为起点，重复上述过程。
最短路径问题的求解PPT精选文档
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3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
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2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
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最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
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最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
最短路径：标号校正算法
前驱图
假设我们Update(5) 且pred(5)=4
27
前驱图
假设我们Update(4) 且pred(4) := 8. 那么4-8-5-4 有负代价.
在Update(4)前, 以下为 真: d(5) = d(4) + c45 d(8) = d(5) + c58 d(4) > d(8) + c84
d(j) ≤d(i) + cij ，i ∈N ，j ≠1.
(1)
d(1) = 0.
(2)
那么对于每个 j 有 d(j) ≤d*(j).
证明：令 P 是任何一从结点 1 到结点 j的路径，其长度 是c(P)，且假设 P 有 k 条弧.
断言: d(j) ≤c(P). 注释: 如果 P 是从 1 到 j的最短路径，那么
当k遍以后，dk(j) ≤dk-1(i) + cij= d*(j).
14
证明结束
定理 FIFO 标号纠正算法对于所有的在N中的j,在 O(nm)步找到从路径1到j的最小路径长度，或者说明 存在一个负代价圈.
证明：如果没有负代价圈，从 1 到j 的最短通路有至多有 n-1条弧，因此n-1遍后，对于所有的j 有d(j) = d*(j).
通过前面的定理得到： d(j) = d*(j).
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更多关于有限性
如果数据不被要求是整数，将发生什么？ 算法仍然是有限的，但是需要使用不同的证明.
如果有一个负代价圈，将会发生什么？ 算法也许不再有限. 可能，d(j)保持减小到 -∞ 但是当 d(j)<-nC的时候，我们可以停止它，既然这保 证存在一个负代价圈.
证明. d(j) ≤d*(j). 且, d(j) ≥d*(j)， d(j) 是从结点 1 到 结点 j 的某路径的长度. 因此 d(j) = d*(j).
标号法求最短路径例题详解
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 p标号(永久性标号)l i( r ): 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) l i( r ) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
4
标号法求最短路径 第三步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8
6 4
所以v3下面还是8。 通过v2到达v4需要4 到达不了v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8 7 7/v4
6 4 4/v2
10 9
7
r 0 1 2 3 4 5 w
vi 0
v0
v1
1 1/v0 4
v2
4 4/v0
v3
v4
v5
6 6/v4 6
0
1
4
8 6 8 5 8 5/v2 8 8/v1 8 5
=v0v1v2v4v3v5,
w()=6
8
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束 了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应 vi所需要的最短路径
1
标号法(续)
算法: 1. v1获p标号: l i( 0 )=0, P0={v1}, T0=V-{v1}, vj(j=2,3,,n)获t 标
点点之间的运输问题-dijkstra标号法
一、任务分析
注意：具有P标号的点 的T标号不用修改
（2）将T新变P标号 比较所有T新标号，取最小T新标号对应的点为P标号的点。
若此前有T新（v2）=3， T新（v4）=7， 则v2得到P标号，将V2在图上标上（3,3）
第三步 重复第二步，直到所有点都得到P标号。
第四步 沿着P标号在图上找出最短路径和最小费用。
• 路径长度的具体含义取决于边上权值所代表的意义，如费 用、距离等。
一、任务分析
（一）最短路径问题的描述 假设有一个由n个节点和m条弧构成的连通图G（Vn,Em）， 并且图中的每条弧（I,j）都有一个长度cij，在连通图G （Vn,Em）中找到一条从节点1到节点n的距离最小的路径。
一、任务分析
（二）问题的基本假设 为了能得到合理的正确的解，问题模型一般需要满足一定 的假设条件。 • 1、两点之间的弧线距离为整数。（手算要考虑，软件算 不需考虑）。 • 2、在连通图中，从任何一个端点vi到其他所有的端点都 有直接的路径，如果存在不直接相连的端点对，则可在它 们之间加上一个极大的距离正无穷，表示它们之间不可能 作为一个备选方案。 • 3、连通图的所有距离为非负。
二、任务求解
（3,3） 3 V2 2 （6,6） 6 3 V3 （10,10） 3 （0,0） V1 1 7 V4 4 7 6 （6,6） 9 V7 1 2 （5,5） 5 3 V5 （8,8） 8 V6 2 6 10 12 V8
2
10
（9,9）
三、任务的规划求解
三、任务的规划求解
v0出发的一条最短路，再参照它求出一条次短路，以此类 推，直到求出v0至vn的最短路径。
一、任务分析
2、定理
dijkstra标号法的可靠性基于以下定理：
标号法(label-setting algorithm)求解带时间窗的最短路问题
标号法(Label-Setting Algorithm)求解带时间窗的最短路问题一、引言带时间窗的最短路问题是一个经典的组合优化问题，它要求在满足时间窗约束的条件下，寻找两个地点之间的最短路径。
这类问题在物流配送、车辆路径规划等领域具有广泛的应用。
近年来，随着人工智能和优化算法的发展，许多有效的求解方法被提出，其中标号法作为一种简单直观的算法，在求解带时间窗最短路问题中表现出良好的性能。
二、标号法基本原理标号法的基本原理是从起点开始，通过不断地更新标号来逐步逼近最短路径。
在带时间窗的条件下，标号不仅代表了节点间的距离，还包含了时间窗的限制。
算法通过不断优化当前节点的候选解集合，逐步逼近最短路径。
三、算法步骤1.初始化：给起点赋予一个特殊标号，表示起点本身。
将起点加入已访问节点的集合中。
2.循环处理：对于当前节点，根据其邻居节点的信息，更新邻居节点的标号和候选解集合。
如果邻居节点在时间窗内且通过当前节点到达的距离更短，则更新其标号和候选解集合。
将邻居节点加入已访问节点的集合中。
3.终止条件：当所有节点都被访问过，或者达到预设的最大迭代次数时，算法终止。
最终得到的标号最小的路径即为最短路径。
四、算法优势与局限性标号法的优势在于其简单直观的原理和实现方式，能够快速找到最短路径。
然而，标号法对于大规模问题的求解效率有待提高，因为随着节点数量的增加，算法的迭代次数和计算复杂度会急剧上升。
此外，标号法对于时间窗约束的处理方式可能无法充分利用某些特定问题的结构特征，导致求解效果不佳。
五、改进方向为了提高标号法在求解带时间窗最短路问题中的性能，可以考虑以下几个方面进行改进：1.优化数据结构：采用适合本问题的数据结构（如优先队列等）来管理候选解集合和节点信息，以提高算法的搜索效率。
2.引入启发式信息：在更新邻居节点的标号时，可以考虑一些启发式规则，利用问题的一些特性来指导算法搜索更可能包含最优解的区域。
3.并行化处理：针对大规模问题，可以考虑将算法并行化处理，利用多核处理器或分布式计算资源来加速求解过程。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
(完整word版)最短路径算法附应用
最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。
如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。
在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。
最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。
一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。
首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。
例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。
执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。
在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。
例1中，s=1。
因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。
最短路问题
v6
9
7
4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3
10 8
8 6
9
7
5 3 4
0 4 3
4 0 1
3
1
0
1 11
2 2 2
3 3 3
4 4 4
4 5 5
4
5 6
由于D(2) =D(3)，故D(3)中的元素就是vi到vj的 最短距离,D(3)称为最短距离矩阵。
1 1 2 2 3
到其他不直接邻接的节点的最短 距离不会发ห้องสมุดไป่ตู้变化。
②在v1到所有其他节点的最短距离中选择最小的距 离，找到节点 vk，使下式满足：
求 min{T (v j )}
vk
满足
T (vk
)
min{T
v jS
(v
j
)}
令：P(vk ) T (vk )
比较v1到所有其它节点的最短距离，找到 节点vk,并将最小的距离记录在P(vk)中。
的最短路。
（1）使用条件—没有负回路
（2）步骤：
①
令
d 1 j
w1 j，j
2,3,, N，其中
w1 j为起点v1
到 v j 的弧（v1, v j ）的权；
②用下列递推公式进行迭代：
d d k min
j
i
k 1
j
wij
j 2,3,, N
其中，
d k j
表示从起点 v1 到点 v j 走k步
的最短距离；
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的。）
交通规划最短路标号法
交通规划最短路标号法
标号过程：
1.初始化，令起点Vs的W（Vs）=0,并标为是P标号，记作P（s）=0；令其余各点Vi 的W（Vi）=∞，并标为T符号，记作Ti=∞
2.计算T标号T（j）=min【T（j），P（i）+dij】其中dij为Vi到Vj弧的权
3.确定P标号在所有的T标号点中，找出标号最小的点标上P标号
4.终止判别，若求出从Vs到Vt的最短路，则当Vt标上P 标号时算法终止，否则回到步骤2若求出从Vs到所有点的最短路，则当所有点都标上P标号时算法终止，否则回到步骤2。
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力．知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．例题精讲例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？解析】（方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：A C D GB 、AC F G B、A E F G BA C F I B、A E F I B、A E H IB 这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D 、从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线．我们把数字“ 1 ”分别标在C、D、E、 H 这四个点上．②看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，也可以是 A E F ，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“ 2”（2=1 1）．③ 看G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G．在G点标上数字“ 3”（3=1 2）．④看I点：共有三种走法，即： AC F I 、 A E F I 、 A E H I ，在I 点标上“ 3” （3=1 2）．⑤看B点：从上向下走是G B ，从左向右走是I B ，那么从出发点 A B有六种走法，即： A C D G B、 A C F G B、A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B，在B点标上“ 6”（ 6 33），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共解析】 共有 9种，即： A A B O C 、B O DC 、A D OBC ,最短的路是 : A OC 、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O C C ．解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走，这条路线共有 5条线段，每次走 一步或两步，要求从 A 走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根 据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法．而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言，每一条路 线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法．进一步：从 A 到B 共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标 数法”来解决，有 10 条．综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种．巩固】 从A 到 B 的最短路线有几条呢？解析】 图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条．巩固】 有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许 爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短 的是哪条呢？有多少种不同走法？D DE EFBDEACFB AC CB例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？解析】 从学校到少年宫的最短路线， 只能向右或向下走． 我们可以先看 A点：从 学校到 A 点最短路线只有 1种走法，我们在 A 点标上1．B 、E 、F 、G 点同 理．再看J 点：最短路线可以是 A J 、E J 共2条，我们在 J 点标上 2．我 们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和．所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法．巩固】 方格纸上取一点 A 作为起点，再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点，画一条由 A 到B 的最短路线，聪明的小朋友， 你能画出来吗？总共能画出几条 呢？解析】 根据“标号法”可知共有 10 种，如图．学校学校1 1 12 3J136 1 4 I10BAAC D 少年宫巩固】如图，从 F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？G分析】 共 有 115种．小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄 山最近的道路共有 10 条．2456 3 6 10 1521 4 10 20 3565 1535 7126 北村1 1 11 1 1 1巩固】 分析】 根 据“对角线法”知共有 126种，如图．南村北京1 1 12 1 122 3241 3710黄山解析】北京巩固】从甲到乙的最短路线有几条？解析】有11条．例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河流解析】本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．学校2 310 103 64 105 15 25 356 21 46 81甲学校11拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢？解析】 此 题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有 41 条．例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫 少年宫解析】 采用对角线法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？解析】 “对角线”法（如图） ，共 14 条．例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；游乐场游乐场14 59 5243 211 1 1 小猪家第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从 学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？仍 然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须 经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条．大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶， 可是市中心在修路 （城市的街道 如图所示 ）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友， 请你们快想想吧！方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．解析】巩固】市中心学校解析】 （方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共 心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66（条）． 126条．必经过市中515 35 70 126 410 203556 3610 市中心152123456学校养老院111学校 养老院养老院养老院5 15 25 40 661 4 10 10 15 2651 3 6111 2 3 4 5 6学校 1 1 1例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？分析】如图，共有716种．例 9】如图，从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条？解析】由于不能经过线段CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数（如下图所示）．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78 条．Y18 3685170 342 71617 28 49 85 172 37416 21 2 36 87 2021 5 15 15 51 115151 4 10 36 6413 6 10 15 21 281 2 3 4 5 6 7X 1 1 1 1 11CD和EF，巩固】下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B 处的最短路线共有多少条？解析】从A到B的最短路线有431条.解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．B431B174110 5564 55 55 30 129C25 18 12 7 398 7 6 5 4 3 2 111 1 1 1 1 1 1例 10 】按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？1742571910A通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径．例 11】 按图中箭头方向所指行走，从 A 到G 有多少种不同的路线？解析】 运 用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图从 A 到 G 共有 21 条不同的路线．巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从 X 到Y 有多少种不同的路线？ ⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？C EBAEB2 1AC GG分析］ ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线，如下图左所示． ⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条．例 12】 ⑴如下图左，如果只允许向下移动，从 A 点到 B 点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从 A 点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方， 问共有多少种不同的走法？34Y入口出口5 8 31X13AB解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22 种不同的走法，如下图右．巩固】 图中有 10个编好号码的房间， 你可以从小号码房间走到相邻的大号码房 间，但不能从大号码房间走到小号码房间， 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法？分析】 图 中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络 图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法．A68 BB 22 16 61例 13】一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法 ．例 14 】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母， 当沿着这些线段行走时，正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？PP LPP P L E L P分析］ 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径．P P L P P A P L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1铺垫］图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．8-8. 最短路线 . 题库 教师版 page 21 of 15我 1 爱 1 希 望 1 杯1 1 1 1爱 1 希 2 望 3 杯 41234希 望 杯 希1望1望 3杯4杯6 望 1杯1 4分析］ 从我（ 1个）、爱（ 2个）、希（ 3个）、望（ 4个）、杯（ 5个）中组成“我 爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1 4 6 4 116（种）．拓展］ 如 下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ Einstein ” .1i E1 1 i2 i 1 1s n3 n 3 n 1 t4 s t 6 s t 4 s 10 t 10 t ee 1i 0 2i 0i 10 3n 0 i 3n 0 i分析］ 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”，每一种拼法都 对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有 30条，所以共有 30 30 60（种） 不同拼法 .注意图中的三个字母 “i ”， 左、右的两个字 母“i ”只能由一 个字母。
最短路径的算法标号法
5.2.1 配送的类型和形式
（3) 定时定量配送
•定时定量配送指按照规定的配送时间和配送数量进行配送，兼有定时、 定量两种方式的优点，是一种精密的配送服务方式。 •这种方式要求有较高的服务质量水平，组织工作难度很大，通常针对固 定客户进行这项服务。 •成本较高，在用户有特殊要求时采用，不是一种普遍适用的方式。 •它兼有定时和定量配送方式的特点，对配送企业的要求比较严格，管理 和作业的难度较大。 •需要配送企业有较强的计划性和准确度。 •定时定量配送方式在大量而且稳定生产的汽车、家用电器、机电产品的 供应物流里面取得了成功。 •这种方式的管理和运作，是靠配送双方事先的一定时期的协议为依据来 执行，也常常采用“看板方式”来决定配送的时间和数量。
5.1.2 配送的产生和发展史
1. 配送制的形成
配送是由送货逐渐发展过来的，随着社会化大生产走向健全。 第二次世界大战之后，日本的经济得到迅速的复苏，但随后就出现 了物流分散,生产企业自备车辆，出行混乱，道路拥挤，使企业收集 和发送货物的效率明显降低，物流成本增加。日本政府为了解决这 个矛盾，政府和企业一起筹划建立物流中心和“物流团地”(节点) 的同时，还积极推行“共同配送制度”。经过不断的尝试和改革， 一种被日本实业界称为“配送”的运营体制诞生了。 美国企业把曾在“二战”时应用在军事战争中的“军事后勤”的思 想引入到企业的经营管理中来，把原来的旧式的仓库改造成现代的 配送中心，统一了装卸、分拣、包装，运输等物流作业标准。不少 的公司还设立了新的流通机构，将独立、分散的物流活动统一集中， 促成了新的送货方式。这不仅降低了物流成本，而且节约了社会资 源。
思考题
1.沃尔玛的经营优势在哪些方面？ 2.沃尔玛的物流配送方式属于什么方式？
同 行观 摩
最短路问题的求解
最短路径问题的求解最短路径问题是信息学竞赛中常见的一类中等难题，这是一个非常能联系实际的问题，甚至有时一些看似跟最短路径问题无关的问题也可以归结为最短路径问题。
本文就简要分析一下此类问题的算法，以使大家一起探讨一下该类问题，也使没参加信息学竞赛的同学对信息学竞赛有个简单了解。
下面我们以具体例题来看看这类问题的解法：例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。
某人想从城市A 出发游览各城市一遍，而所用费用最少。
试编程序输出结果。
解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。
这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。
实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A 出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。
首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。
具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、ABEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。
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算法: 1. v1获p标号: l i( 0 )=0, P0={v1}, T0=V-{v1}, vj(j=2,3,,n)获t 标
号: l j =wij. 令r1.
( r 1 ) min{l (j r 1) } , vi获得p标号: li( r ) li( r 1) . 2. 设 l i v T
5
标号法求最短路径 第三步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8
6 4
因为第二步得到的数字当中3最小，v2最短为3。 因为通过v2不能直接到达v3，所以v3下面还是8。 通过v2到达v4需要4 到达不了v5
w()=6
9
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束 了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应 vi所需要的最短路径
第六步：
求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 3 4 5 w vi
v0
0
v1
1 1/v0
v2
4 3 3/v1
v3
8 8 7 7/v4 7
6
标号法求最短路径 第四步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 3 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8 7
6 4 4/v2
10
7
标号法求最短路径 第五步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 3 4 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1
4
因为第一步v0只能够到达v1和v2，所以v1和v2下面写到达 的权重，而v3~v5写无穷大。
4
标号法求最短路径 第二步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1 1/v0
4 3
8
6
因为第一步得到的数字当中除了已经确定的0以外，1最小， 所以到达v1的最短路径确定了，为1，并且通过v0。 因为通过v1到达v2需要3步，比4小，所以v2处写3。 同理，因为通过v1到达v3和v4的权重和小于正无穷。
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8 7 7/v4
6 4 4/v2
10 9
8
r 0 1 2 3 4 5 w
vi 0
v0
v1
1 1/v0 4
v2
4 4/v0
v3
v4
v5
6 6/v4 6
0
1
4
8 6 8 5 8 5/v2 8 8/v1 8 5
=v0v1v2v4v3v5,
v4
6 4 4/v2
v5
10 9 9/v3 9
0
1
3
4
=v0v1v2v4v3v5,
w()=9
10
(0)
令 Pr=Pr-1{vi}, Tr=Tr-1-{vi}. 若Tr=, 则结束. 3. vjTr, 令 l (j r ) min {l (j r 1) , l i( r ) wij }
j
r 1
令r=r+1, 转2.
3
标号法求最短路径 第一步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
1
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 p标号(永久性标号)l i( r ): 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) l i( r ) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =. 设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路. 例1 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10, L2=v0v1v4v5, w(L2)=12, L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.