第一讲 内力及内力图的绘制

＋
ql / 2
M
ql 2 / 8
＋
M max＝ql 2 / 8
m=Pa
P
B C
讨论题4
解:
A
（一） 建立坐标系 （二） 确定控制截面 （三） 绘内力图
FS
x
－
-P
M
（四）危险截面位置
FS max＝ P
x
Pa
＋
M max＝Pa
典型题1
A FAY
1.5m
利用微分关系绘制梁的内力图
1kN.m B
1.5m
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
①
②
③
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
q
A
FAY
B
l
FBY
剪力和弯矩的方程
FS x ＝ql / 2 qx
M x ＝qlx / 2 qx2 / 2
0 x l
0 x l
dQ( x) q ( x) dx
材料力学 精讲与考研辅导
考研交流
考研是一次人生的历练，是强化所学 知识的基本概念、基本理论和基本方法的 训练，重在强化所学知识的理解和掌握， 掌握获取知识和运用知识的方法，提高获 取知识和运用知识的能力、分析问题和解 决问题的能力。 复习考研如古人曰：故立志者，以学 为心也；以学者，立志为事也。复习考研 是意志的磨练、汗水的浇灌、知识的升华、 能力的提高。
F=3KN q=2KN/m
M 0 6KN.m
C
1m
A FAy
D
4m 1m
B
FBy
（一）计算梁的支座反力
M
A
0 0
FBy 3.8KN
FAy 7.2 KN
M
B
F=3KN
q=2KN/m
M 0 6KN.m
FBy 3.8KN
B
FBy
C
1m
A F
Ay
D
4m 1m
FAy 7.2 KN
讨论题1
q
解：
（一）建立坐标系
（二）确定控制截面
l FS ＋ x
ql
（三）绘内力图 （四）危险截面位置
M ＋
ql 2 / 2
x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
讨论题2
F FAy
FS
解：（一）计算梁的支座反力
（二） 建立坐标系
C
Fb / l
＋
FBy
（三）确定控制截面
（四）绘内力图
Fa / l
四、内力的符号规定（变形规定）
四、内力的符号规定（变形规定）
杆件的内力分析
1、内力概念:由外力引起的构件内部的力。 2、内力的求解方法 3、内力的符号 4、内力的单位 5、内力图—绘制方法：
（1）、截面法； （2） 、微分关系法
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
一、三者的微分关系
dQ( x) q ( x) dx
（二）弯矩的符号规定
梁下凸时弯矩为正；梁上凸时弯矩为负。
+
_
M
FN FAy FS FN
M
FS
FBy
三、剪力Fs 、弯矩M 的变化规律
载荷
q ( x) 0
q C 0 q C 0
F
Mo
水平直线
Fs 图
+ or 上斜直线 下斜直线 斜直线
F
(剪力图 无变化)
M 图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
＋ －
（二）建立坐标系 （三）确定控制面 （四）绘内力图
x
FS ＋
O
qa/2
（五）危险截面位置 qa/2
x
qa/2
M －
FS max＝ql
M max＝ ql 2 / 2
－
qa2/2
qa2/2
典型题6
利用微分关系绘制梁的内力图。
q
qa2
D
B
C a
q
A
a （一）计算梁的支座反力 B FB a
qa2
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
A、B两个截面、支座反力FBy右侧的截面、以及集中 力qa左侧的截面。
q
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
FAy
9 qa FS 4
（+）
4a
FBy
a
qa
（三）建立坐标系 （四）确定控制面 （五）绘内力图
O
（-）
x
ห้องสมุดไป่ตู้9a / 4
qa
7qa / 4
（二） 利用截面法确定控制截面 1、梁的分段点； 2、分布载荷段内Fs = 0,的点； 3、集中力作用处； 4、集中力偶作用处。
（三）梁上无分布载荷作用， 剪力图为水平直线：——— ； 弯矩图为斜直线： 剪力为正，弯矩图右上斜直线 剪力为负，弯矩图右下斜直线
＋
； 。
－
（四）梁上有向下的分布载荷作用 剪力图为右下斜直线 。
弯矩图为上凸的抛物线
。
F
（五）梁上有集中力用
，
剪力图在集中力作用处有突变，突变 F 值为集中力 ； 弯矩图有拐点 。
（六）梁上有集中力偶作用 剪力图无变化；
，
弯矩图集中力偶作用处有突变，突变 值为集中力偶 。 M
o
（七）梁上最大弯矩可能的位置 1、集中力作用处； 2、集中力偶作用处； 3、分布载荷作用的段内剪力等于零处， 如果没有剪力等于零的点，则该段内无极 值。
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
四、微分关系法绘制 剪力图和弯矩图 的应用
复习前述内容
一、绘制梁弯曲内力的方法 （一）、截面法 （二）、剪力方程和弯矩方程法
（三）、载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
微分关系法
二、内力的符号规定
（一）剪力的符号规定
+
_
右下左上的外力产生正剪力；反之为负。
M
FN FAy FS FN FS FBy M
主要内容
一、内容: 共六次； 二、方法：研讨式。
学习方法
通、深、研
第一讲 内力与内力图的绘制
考点 内力图的绘制
杆件的内力分析
一、内力的概念; 二、求内力的方法; 三、杆件的内力系 内力是连续地分布在截面各个点上的力系， 一般情况下可以向截面形心简化，简化结果 合成为三个内力主矢Fx 、 Fy 、 Fz和三个 内力主矩T 、 My 、 Mz 如图所示。这些合 力和合力矩就是材料力学中所谓的内力。
Fs处有拐角
Mo
四、微分关系法绘制剪力图和弯矩图方法步骤
（一） 列静力平衡方程求梁的支座反力； （二） 利用截面法确定控制截面； （三） 梁上无分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （四） 梁上有分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （五） 梁上有集中力作用时剪力图和弯矩图绘制； （六） 梁上有集中力偶作用时剪力图和弯矩图绘制 （七） 梁上最大弯矩可能的位置。
（a） 正确
（b）错误
（c） 有的正确有的错误 。
强化训练8
图中正确的弯矩图是 [ ] 。
强化训练9
已知剪力图，梁上五集中力偶作用。绘弯
矩图、梁上的载荷图。
练习题
P128 习题4-2,4-4。 P132- P134 习题4-11,4-14,4-15 。
典型题5 静定多跨梁的内力图 qa
A
（一）计算梁的支座反力 从中间铰处将梁截开
q
B C
D
a
a
a
D
q
B C
qa qa/2
FDy
FDy
FBy
FDy qa / 2 FBy 3qa / 2

MB 0 Fy 0
qa/2
D
B
q
C
FDy qa / 2
FBy 3qa / 2
FDy
FBy qa
O
0.89
1.11
＋
－ x
（四）绘内力图
（五）危险截面位置
M (kN.m)
0.335
FS max＝ .1KN 11
x －
O 1.335
M max＝ 1.67 KN.m
1.67
典型题2
利用微分关系绘制梁的内力图
q
（一）计算梁的支座反力
qa
FAy
4a
FBy
a
M ＝0， M ＝0
A B
（二）分析控制面
解：
根据力矩平衡方程得
2kN
1.5m
FBY
M ＝0， M ＝0
A B
（一）计算梁的支座反力
FAy＝0.89 kN FBy＝1.11 kN
A
0.89 kN= FAY
1.5m
1kN.m
C D E F
B
（二）建立坐标系 （三）确定控制截面
1.5m
2kN 1.5m
FBY＝1.11 kN
FS (kN)
D
C FC

MB 0 Fy 0

5 Fc qa 2 3 FB qa 2
A
a
FB’ B a FB
q
qa2
a D
C
5 Fc qa 2 3 FB qa 2
FS
FC
qa
＋
（二）建立坐标系
（三）确定控制面
x
O
－
（四）绘内力图
M
3qa2 /2
＋
3qa/2
x －
（五）危险截面位置
qa2
/2
FS max＝ 3qa / 2
M max＝ 3ql 2 / 2
3qa2
静定多跨梁的求解方法
1、在中间铰处拆开， 求中间铰处的约束反力； 2、绘内力图时 看作两个独立的梁； 结论 1、中间铰只传递剪力 不传递弯矩； 2、若中间铰处没有外力偶，弯矩恒等于零
刚架内力图的画法
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同；
B
5 FA＝ qa 2
1 FB qa 2
3 qa 2
－
FA
＋
（二）建立坐标系
（三）确定控制截面
（四）绘内力图 1 qa 2 （五）剪力等于零的截面位置 （六）危险截面位置
x x
-qa
M
＋
O
－
FS max＝3ql / 2
M max＝ ql 2
qa2
典型题4
利用微分关系绘制梁的内力图。
M
－
x
（五）危险截面位置
Fab/ l
＋
FS max＝Fb / l
x
M max＝Fab / l
讨论题3
解：
（一）计算梁的支座反力 （二）建立坐标系
FAy
FS ql / 2
FBy a/2
－ x
（三）确定控制截面
（四）绘内力图 （五）剪力等于零的截面位置。 （六）危险截面位置
FS max＝ql / 2
x
（六）剪力等于零的截面位置 qa
（七）危险截面位置
M
81qa 2 / 32
（+）
qa 2
x
FS max ＝9qa / 4
O
M max＝81qa 2 / 32
典型题3 F=qa C
a
FS
O
利用微分关系绘制梁的内力图 （一）计算梁的支座反力 q
M A＝0
A
F
y
0
2a E F B
a/2 －
1 2 qa 8
（二）建立坐标系 （三）确定控制截面
2.1m
FS 4.2KN
＋ － -3KN
M
x － 3.8KN.m -3.8KN
（四）绘内力图
（五）剪力等于零的截面位置
＋
1.41KN.m
＋ － -3KN.m -2.2KN.m x
（六）危险截面位置
FS max＝4.2 KN
M max＝3.8KN.m
静定多跨梁的内力图
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
①
② ③
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
二、三者微分关系绘制剪力图和弯矩图的规律。 三、微分关系法绘制剪力图和弯矩图方法步骤。
（一） 列静力平衡方程求梁的支座反力； （二） 利用截面法确定控制截面； （三） 梁上无分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （四） 梁上有分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （五） 梁上有集中力作用时剪力图和弯矩图绘制 （六） 梁上有集中力偶作用时剪力图和弯矩图绘制 （七） 梁上最大弯矩可能的位置。
但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：
弯矩图，画在各杆的受拉一侧； 不注明正、负号。 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧 。
强化训练1
2qa
2
q
2qa
a
2a
a
强化训练2
强化训练3
强化训练4
强化训练5
强化训练6
绘弯矩图。
强化训练6
绘弯矩图。
强化训练7
图中正确的弯矩图是（ ）。