幂函数性质图像

值 域： [ 0,?? )
奇偶性：偶函数
单调性：在[ 0,?? )上是增函数
在(?? ,0]上是减函数
8
函数 y ? x?1 的图象
定义域：{x x ? 0} 值 域：{y y ? 0}
奇偶性：奇函数 单调性：在(0,?? )上是减函数
在(?? ,0)上是减函数
9
1
如何画y ? x3和y ? x2的图象呢 ?
y? x R y ? x2 R
R 奇函数 在R上增
[0，+∞） 偶函数
[0,?? )增
(?? ,0]减
y ? x3 R
R 奇函数在R 上增
1
y ? x2
[0，+∞）
[0，+∞）非奇非偶[0，增+∞）
y ? x?1 ?x x ? 0? ?x y ? 0?
奇函数
(0,?? )减 (?? ,0)减
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
∵2.5<2.7∴ 2.5 -2/5>2.7 -2/5
19
例3例：1.证明幂函数f (x) ? x在[0,?? )上是增函数.
证明 : 任取 x1 , x 2 ? [ 0,?? ), 且 x1 ? x 2 , 则
f(x1)? f(x2) ?
x1 ?
x2
? ( x1 ?
x2)( x1 ? x1 ? x2
奇偶性：奇函数 单调性：在R上是增函数
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1
函数 y ? x2 的图象
定义域： [
0,??
)
值
域： [
0,??
)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[ 0,?? )上是增函数
13
五个幂函数的性质: 1
y ? x y ? x2 y ? x3 y ? x2 y ? x?1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
? ? 已知f (x) ? m2 ? m? 1 x2m?3是幂函数，
求m的值。
解 :因为f (x)是幂函数
? m2 ? m ? 1 ? 1
解之得 : m ? ?2或m ? 1
? m ? ?2或m ? 1
18
请同学们认真思考，独立完成后口答。
例2：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
三步骤：列表、描点、连线
10
x
… -2 -1 0
y=x3
… -8 -1 0
x
0
y=x 1/2
0
请同学们在导学
y 8
案上完成作图。 6
4
2
-3 -2 -1
1
0 -2
-4 -6 -8
1 2… 1 8…
1 2 3 4…
1 2 3 2…
y=x 3
23 4
1
y=x 2
x
11
函数 y ? x3 的图象
定义域： R 值 域： R
(1,1)
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下面将5个函数的图象画在同一坐标系中
(1) y ? x (2) y ? x2 (3) y ? x3
(4)
1
y ? x2
(5)
y ? x?1
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思考：
1、都过哪个定点？
(-2,4)
2、总结出α为奇数和α为偶 数时幂函数的奇偶性？
3、总结在第一象限内a >0 和a <0 幂函数单调性的 规律？
幂函数
1
学习目标： 1、通过实例，了解幂函数的概念； 2、会画简单幂函数的图象，并能根
据图象得出这些函数的性质； 3、能应用幂函数的图像和性质解决
有关简单问题。
2
一、创设情境
请同学们独立完成下面问题，并说明谁是谁的函数？
问题 1：如果张红购买了每千克 1元的苹果 w千克，
那么她需要付的钱数 p = w元， 这里p是w的函数。y ? x
(5) y ? 1 x
答案（2）（5）
5
（二）五个常用幂函数的图象和性质
(1) y ? x (2) y ? x2 (3) y ? x3
(4)
1
y ? x2
(5)
y ? x?1
6
函数 y ? x的图象
定义域： R 值 域： R
奇偶性：奇函数
单调性：在R上是增函数
7
函数 y ? x2 的图象
定义域： R
一般地，我们把形如 y ? x? 的函数叫做
幂函数，其中 Biblioteka Baidu 为自变量，? 为常数。
y ? x?中 x? 前面的系数是1，而不是形如axa(a≠1）；
底数为x而不是x的其他代数形式如： 2x等。
判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y ? 3x; (2) y ? x?2; (3) y ? 2x2; (4) y ? x2 ? 1;
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,+ ∞) 内是增函数 ,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.3 0.8
(2)y= x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.2 0.3 <0.3 0.3
(3)y= x-2/5在(0,+∞)内是减函数
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
幂函数的图象都通过点(1,1)
-1
(-1,-1) α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2 α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3 a >0, 在(0,+∞)上为增函数 ; -4 a <0, 在(0,+∞)上为减函数 .
问题2：如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积
是S = a2， 这里S是a的函。数
y ? x2
问题3：如果立方体的边长为 a，那么立方体的体积
是V = a3， 这里V是a的函数。
y
?
3
x
问题4:如果正方形场地的面积为 S，那么正方形的边
长a= ，S12 这里a是S的函数。
1
y ? x2
问题5：如果某人 t s内骑车行进了 1km，那么他骑车
x2 )
? x1 ? x2 x1 ? x2
方法技巧:分子有理化
因为0 ? x1 ? x2 , 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,
所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 即幂函数 f ( x ) ? x 在[ 0,?? )上的增函数 .20
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三、迁移运用
请同学们认真思考，在导学案上写出解答 过程，然后投影展示解答过程。
解 : 设所求的幂函数为 y ? x?
? 函数的图像过点 (2, 2 )
这种方法 ?
2
?
2?
,
即2
1 2
?
2?
叫待定
系数法 ?
?
?
1
2
? 所求的幂函数为
1
y ? x2.
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能力提升
请同学们认真思考，再小组讨论、解答， 然后由小组代表投影展示解答过程。
的平均速度 v = t?1 km/s ，这里v是t的函数 。
y?
?1
x
3
(1) y ? x (2) y ? x2 (3) y ? x3
(4)
1
y ? x2
(5)
y?
x? 1
以上问题中的关系式的共同特征是
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
4
二、探究新知
（一）幂函数的定义：