指数与指数幂的运算-课件ppt

n为偶数，n∈N*， n为奇数，n∈N*.
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)
1 a
1a(a>0)；
(2) 1 ； 3 x5 x22
+ 思路点拨：按指数幂的运算性质化简．
2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a<0)；
3 (2)
ab2
ab3(a，b>0)；
指数与指数幂的运算
1．根式
自学导引
(1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做__a_的__n_次__方__根__(n>1
且 n∈N*)．当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_正__数_，负
数的 n 次方根是一个_负__数___，这时 a 的 n 次方根记为 n
____a____；当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，可用
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－(1.03)0·－ 263.
误区解密 因忽略 n 的奇偶导致n an化简出错
【例 4】 计算3 1＋ 23＋4 1－ 24. 错解：3 1＋ 23＋4 1－ 24＝(1＋ 2)＋(1－ 2)＝2. 错 因 分 析 ： 因 为 4 1－ 24 >0 ， 而 1 － 2 <0 ， 所 以 4 1－ 24≠1－ 2.
+ ②关于常量字母，先化成同底的再运算；对于 变量字母，有时需要对字母进行讨论．
+ ③除式的运算，用分母的“－1”次幂化为乘法运 算.
+ 2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关 键．
+ 3．关于分数指数幂的运算常采用的思路：
+ ①指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号 里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)， 再乘除后加减．负指数幂化为正指数幂的倒数， 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要 化成分数，底数是带分数的，先要化成假分数， 若是根式，应化为分数指数幂，然后要尽可能 用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 计算下列各式：
+ 思路点拨：利用分数指数幂及运算法则进行 根式的化简与求值．
+ 方法点评：一般地，进行分数指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化 小数为分数，这样便于进行乘除、乘方、开方 运算，以达到化繁为简的目的．
3．计算下列各式：
典例剖析
题型一 根式的性质
【例 1】 计算下列各式的值：
3 (1)
－43；
4 (2)
－92；
6 (3)
3－π6；
8 (4)
x－28；
(5) 3－2 2＋3 1－ 23＋4 1－ 24.
+ 思路点拨：本题的求值实际上是求数的方根， 可按方根的运算性质来解．
解：(1)3 －43＝3 －64，因为(－4)3＝－64，所以3 －64
符号__±_n__a___表示，其中 n a叫__根__式____，这里的 n 叫做 _根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_．
(2)当 n 为奇数时，n an＝___a___；当 n 为偶数时，n an＝ |__a__|＝a－，aa，≥a0<，0.
2．分数指数幂
(1)
我
们
规
定
正
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
(2)n an＝a|a，|，nn为为奇偶数数， (n>1，n∈N*)． 当 n 为奇数时，∵an＝an， ∴a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； 当 n 为偶数时，(|a|)n＝an≥0， ∴|a|是 an 的 n 次方根， 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
正解：3 1＋ 23＋4 1－ 24＝(1＋ 2)＋|1－ 2|＝1＋ 2＋ 2－1＝2 2.
纠错心得：对于根式n an的化简一定要注意 n 为奇数还
是偶数，因为n an＝a(a∈R)成立的条件是 n 为正奇数，如果
n 为正偶数，那么n an＝|a|.
课堂总结
+ 1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化 简的关键．
数
的
正
分
数
幂
的
意
义
是
：
a
m n
＝
__n__a_m___(a>0，m，n∈N*，n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意
义相仿；我们规定
a－m n
＝________(a>0，m，n∈N*，
n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于____0____；0 的负分数指数幂
没有意义．
+ 3．有理指数幂的运算性质 + (1)aras＝_a_r＋_s_____(a>0，r，s∈Q)； + (2)(ar)s＝_a_r_·s _____(a>0，r，s∈Q)； + (3)(ab)r＝_a_rb_r_____(a>0，b>0，r∈Q)．
＝－4，即3 －43＝－4；
4 (2)
－92＝4
81＝4
34＝3；
6 (3)
3－π6＝|3－π|＝π－3；
8 (4)
x－28＝|x－2|＝x2－－2x
x≥2 x<2 .
(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2，所以原 式＝ 1－ 22＋3 1－ 23＋4 1－ 24＝|1－ 2|＋(1 － 2)＋|1－ 2|＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
A．a
B．－6 a5
C.5 a6
+ 8<x<10 时， x－82＋ x－102＝________.
【答案】2 4．计算：(0.25)－0.5＋217－13－6250.25＝________. 【答案】0
要点阐释
1．关于根式(n a)n 与n an的理解
(1)(n a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R; 当 n 为偶数时，a≥0)．
(2)式子n an对任意 a∈R 都有意义，当 n 为奇数时，n an ＝a，当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－aa≥a0<0 .
预习测评
1．将
53 2
写为根式，则正确的是(
)
A.3 52
5 C.
3 2
B. 3 5 D. 53
+ 【答案】D
2．式子 a2 (a>0)经过计算可得到( ) a·3 a2
自主探究
n (
a)n
与n
an形式上类似，它们之间有区别吗？
【答案】(n a)n 与n an这两个式子非常相似，但是差别很
大，我们一定要注意区别．
(1)当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 都有意义，
它表示 a 在实数范围内唯一的一个 n 次方根，(n a)n＝a.
当 n 为大于 1 的偶数时，只有当 a≥0 时n a有意义，当 a<0 时无意义，n a(a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方 根，另一个是－n a，(±n a)n＝a.
1．计算下列各式的值： ① 3 －83；② －102； ③ 3 3－π3； ④ 3 －83＋4 3－24－3 2－ 33； ⑤ n x－πn(x<π，n∈N*)．
解：①3 －83＝－8； ② －102＝|－10|＝10；
③3 3－π3＝3－π；
④原式＝－8＋2－ 3－(2－ 3)＝－8；
⑤n x－πn＝πx－－πx
如4 －24＝2.
+ 2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同 样适用
+ 即对任意实数r，s，均有 + (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)； + (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)； + (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) + 要注意上述运算性质中，底数大于0的要求．