河北省中考真题二次函数应用题
二次函数综合题(河北中考复习专题)
二次函数综合题（河北中考复习专题）一．解答题（共4小题）1．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q，点P 在第四象限．（1）若点P（2，﹣c），点Q的横坐标为1，求点Q的坐标；（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x2+bx+c的对称轴交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若EQ=PE，c=（b＜﹣5），求△OMQ的面积S的取值范围．2．如图，已知直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x=﹣3．（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？3．如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．4．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．二次函数综合题（河北中考复习专题）答案【解答】解：（1）由题意：﹣=2，∴b=﹣4，∴抛物线为y=x2﹣4x+c，将P（2，﹣c）代入得到，﹣c=4﹣8+c，∴c=2，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+2，∵点Q横坐标为1，∴点Q坐标为（1，﹣1）．（2）由题意可以假设直线PQ为y=﹣x+b′，∵顶点P（﹣，﹣2），代入上式得到：﹣2=+b′，∴b′=﹣2﹣，∴直线PQ为y=﹣x﹣2﹣，∴点M坐标（0，﹣2﹣），由解得和，∴点Q坐标（﹣﹣1，﹣1），∴S△OQM==b2+b+1=（b+3）2﹣，∵b＜﹣5，b=﹣5时，S=，根据函数的增减性可知，S△OQM＞．【解答】解：（1）∵直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，∴令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣7，∴A（0，），B（﹣7，0），∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3．∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）2+n，∵抛物线过A（0，），B（﹣7，0），∴解得．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+8．（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7﹣t，∴P（t﹣7，0）∵由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上∴M（t﹣7，），∵MN与y轴平行，且点N在抛物线上∴N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），∴s=MN=﹣（t﹣7+3）2+8﹣=﹣t2+t（0＜t＜7），∵﹣＜0，即S有最大值∴当t=﹣=时，s最大=﹣×（）2+×=．【【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．4．（2016秋•新宾县期中）已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1；∵OC=3BO，∴C（0，﹣3）；（1分）∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），∴；解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣3；（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N在y=x2+x﹣3中，令y=0，得方程x2+x﹣3=0解这个方程，得x1=﹣4，x2=1∴A（﹣4，0）设直线AC的解析式为y=kx+b∴，解这个方程组，得，∴AC的解析式为：y=﹣x﹣3，∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=+•DM•（AN+ON）=+2•DM设D（x，x2+x﹣3），M（x，﹣x﹣3），DM=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣（x+2）2+3，当x=﹣2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值．。
河北省中考数学复习 二次函数 第19讲 二次函数的应用(2)试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学
第19讲 二次函数的应用(2)1. (2012，某某，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每X 薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例，每X 薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长/cm 20 30 出厂价/(元/X)5070(1)求一X 薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式；(2)已知出厂一X 边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)． ①求一X 薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；②当边长为多少时，出厂一X 薄板获得的利润最大？最大利润是多少？【思路分析】 (1)设一X 薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一X 薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元．由题意，得p ＝y －mx 2，进而得出m 的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．解：(1)设一X 薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .由表格中的数据，得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.所以一X 薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y ＝2x ＋10. (2)①设一X 薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元． 由题意，得p ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，p ＝26代入p ＝2x ＋10－mx 2，得26＝2×40＋10－m ·402. 解得m ＝125.所以一X 薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p ＝－125x 2＋2x ＋10.②因为a ＝－125＜0，所以当x ＝－b 2a＝－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝25(在5～50之间)时，p 最大＝4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125×10－224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝35.所以出厂一X 边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．利润问题例 1 (2018，某某节选，导学号5892921)“某某漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？例1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)先由题意得出x 的取值X 围，再根据总利润＝销售量×单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150.⎩⎪故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700. (2)由题意，得－10x ＋700≥240. 解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元， 则w ＝(x －30)·y＝(x －30)(－10x ＋700) ＝－10x 2＋1 000x －21 000 ＝－10(x －50)2＋4 000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大，w 最大＝－10×(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．针对训练1 (2018，某某模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若该商场获得的利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)根据利润＝销售量×(销售单价－单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w 与销售单价x 之间的函数关系式，再根据x 的取值X 围和二次函数的性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝75，60k ＋b ＝70.⎩⎪∴y ＝－x ＋130. (2)w ＝(x －50)(130－x )＝－x 2＋180x －6 500 ＝－(x －90)2＋1 600.由题意，得x ≤50×(1＋50%)，即x ≤75. ∴50≤x ≤75.∵当x ＜90时，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝75时，w 取得最大值，为1 375.所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1 375元．二次函数与几何图形的综合例2 (2018，某某模拟)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝3，P 是AD 边上的一动点(点P 异于点A ，D )，Q 是BC 边上的任意一点，连接AQ ，DQ ，过点P 作PE ∥DQ 交AQ 于点E ，作PF ∥AQ 交DQ 于点F .(1)求证：△APE ∽△PDF ；(2)设AP ＝x ，求四边形EQDP 的面积S (用含x 的代数式表示出来)；当四边形EQDP 的面积等于214时，说明PE 与DQ 的数量关系．例2题图【思路分析】 (1)根据PE ∥DQ ，PF ∥AQ 得出同位角相等即可证得两三角形相似．(2)由PE ∥DQ ，得到△APE ∽△ADQ .根据相似三角形的性质得到S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29.求出S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，于是得到S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2EQDP 的面积等于214，列方程即可得到结论． (1)证明：∵PE ∥DQ ，∴∠APE ＝∠PDF . ∵PF ∥AQ ， ∴∠DPF ＝∠PAE . ∴△APE ∽△PDF . (2)解：∵PE ∥DQ ， ∴△APE ∽△ADQ .∴S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29，AP AD ＝PE DQ. ∵S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，∴S △APE ＝13x 2.∴S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2＋3.当四边形EQDP 的面积等于214时，214＝－13x 2＋3.解得x ＝32.∴AP ＝32＝12AD .∴PE ＝12DQ .针对训练2(2018，揭阳一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A →D 方向运动．设AP ＝x ，△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，y ＝S 1＋S 2，则y 与x 之间的关系式是y ＝－x 2＋3x .训练2题图【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，AP ＝x ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°.∴BD ＝AD ＝2.∴PE ＝AP ＝x ，PD ＝AD －AP ＝2－x .∴y ＝S 1＋S 2＝x ·22＋(2－x )·x ＝－x 2＋3x .一、 选择题1. (2018，马某某二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg ；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg.设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为(C )A. y ＝(x －40)(500－10x )B. y ＝(x －40)(10x －500)C. y ＝(x －40)[500－10(x －50)]D. y ＝(x －40)[500－10(50－x )]【解析】 因为销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝(x －40)[500－10(x －50)]．2. (2018，某某繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y (件)与销售单价x (元/件)之间的函数关系式为y ＝－4x ＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C )A. 60元/件B. 70元/件C. 80元/件D. 90元/件【解析】 设销售该商品每月所获总利润为w 元，则w ＝(x －50)(－4x ＋440)＝－4x 2＋640x －22 000＝－4(x －80)2＋3 600.∴当x ＝80时，w 80元/件时，销售该商品所获月利润最大．3. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，P 是BC 边上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，作PE ⊥AP 交外角∠DCF 的平分线于点E .设BP ＝x ，△PCE 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(C )第3题图A. y ＝2x ＋1B. y ＝12x －2x 2C. y ＝2x －12x 2D. y ＝2x【解析】 如答图，过点E 作EH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCH ＝ 90°.∵CE 平分∠DCH ，∴∠ECH ＝12∠DCH ＝45°.∵∠CHE ＝90°，∴∠CEH ＝∠ECH ＝45°.∴EH ＝CH .∵四边形ABCD 是正方形，AP ⊥EP ，∴∠B ＝∠CHE ＝∠APE ＝90°.∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠EPH ＝90°.∴∠BAP ＝∠EPH .∴△BAP ∽△HPE .∴AB PH＝BP EH .∴44－x ＋EH ＝x EH .∴EH ＝x .∴y ＝12·CP ·EH ＝12·(4－x )·x ＝2x －12x 2.第3题答图4. (2018，某某模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么四边形APQC 的面积最小时，经过(C )第4题图A. 1 sB. 2 sC. 3 sD. 4 s【解析】 设点P ，Q 同时出发t s 时，四边形APQC 的面积为S mm 2，则S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12·4t ·(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2＋108.∵4＞0，∴当t ＝3时，S 取得最小值．5. (2018，某某武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋70x －800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B )A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元【解析】 ∵y ＝－x 2＋70x －800＝－(x －35)2＋425，∴当x ＝35时，y 取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大．6. (2018，某某南沙区模拟)如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ 的面积最大是(C )第6题图A. 10 cm 2B. 8 cm 2C. 16 cm 2D. 24 cm 2【解析】 设运动时间为t s ．根据题意，得AP ＝2t ，AQ ＝t ，∴S △APQ ＝t 2.易知0＜t ≤4，∴△APQ 的面积最大是16 cm 2.7. 如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E ，F 怎样运动，始终保持AE ⊥EF .设BE ＝x ，DF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是(C )第7题图A. y ＝x ＋1B. y ＝x －1C. y ＝x 2－x ＋1 D. y ＝x 2－x －1【解析】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∴∠BAE ＝∠FEC .∴△ABE ∽△ECF .∴AB ∶EC ＝BE ∶CF .∴AB ·CF＝EC ·BE .∵AB ＝1，BE ＝x ，EC ＝1－x ，CF ＝1－y ，∴1·(1－y )＝(1－x )·x .化简得y ＝x 2－x ＋1.二、 填空题8. (导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝16，AB ＝12，E ，F 分别是边BC ，DC 上的点，且EC ＋CFBE 的长为x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数解析式是( y ＝12x 2－10x＋96 ).第8题图【解析】 ∵BE ＝x ，∴CE ＝16－x .∵CE ＋CF ＝8，∴CF ＝x －8.∴DF ＝20－x .∴y ＝S矩形ABCD－S △ABE －S △CEF －S △ADF ＝12x 2－10x ＋96.9. (2018，某某和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元．当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．【解析】 设一个旅行团有x 人，营业额为y 元．根据题意，得y ＝x [800－10(x －30)]＝－10x2＋1 100x ＝－10(x －55)2＋30 250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．三、 解答题10. (2018，某某节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x 元，每星期的销售量为y 件．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(不求自变量的取值X 围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润？ 【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W 元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y ＝100＋10(60－x )＝－10x ＋700. (2)设每星期的销售利润为W 元． 根据题意，得W ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1 000x －21 000 ＝－10(x －50)2＋4 000.∴当x ＝50时，W 最大，W 最大＝4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元． (3)由题意，得－10(x －50)2＋4 000＝3 910. 解得x ＝53或x ＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．11. (2018，某某一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资成本x 的函数解析式；(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润W 万元，求出W 关于m 的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】 (1)根据题意设y 1＝kx ，y 2＝px 2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m 万元，则投入种植树木金额(8－m )万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y 1＝kx .由表格数据可知，函数y 1＝kx 的图象过(2，4)， ∴4＝k ·2. 解得k ＝2.故种植树木的利润y 1关于投资成本x 的函数解析式是y 1＝2x (x ≥0)． 设y 2＝px 2.由表格数据可知，函数y 2＝px 2的图象过(2，2)． ∴2＝p ·22. 解得p ＝12.故种植花卉的利润y 2关于投资成本x 的函数解析式是y 2＝12x 2(x ≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m 万元，则投入种植树木金额(8－m )万元． 根据题意，得W ＝2(8－m )＋12m 2＝12m 2－2m ＋16＝12(m －2)2＋14. ∵a ＝12＞0，0≤m ≤8， ∴当m ＝2时，W 取得最小值，为14.∵a ＝12＞0， ∴当0≤m <2时，W 随m 的增大而减小；当2<m ≤8时，W 随m 的增大而增大．在对称轴左侧，当m ＝0时，W 取得最大值，为16.在对称轴右侧，当m ＝8时，W 取得最大值，为32.∵16<32，∴当m ＝8时，W 取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．12. 如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2.(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值X 围；(2)求△PBQ 的面积的最大值．第12题图【思路分析】 (1)用x 分别表示出PB ，BQ 的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解．(2)把函数解析式整理成顶点式，然后结合实际求二次函数的最值即可．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，BQ ＝x ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ， ∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0≤x ≤4)． (2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ， ∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814. ∵当x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0≤x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大，y 最大＝20.所以△PBQ 的面积的最大值是20 cm 2.1. 某旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100X 床位的旅馆，当每X 床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每X 床位每天收费提高20元，则会相应地减少10X 床位租出．如果每X 床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每X 床位每天最合适的收费是(C )A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元【解析】 设每X 床位收费提高x 个20元，每天收入为y 元．根据题意，得y ＝(100＋20x )(100－10x )＝－200x 2＋1 000xx ＝－b 2a ＝1 000200×2＝2.5时，可使y 有最大值．又x 为整数，则x ＝2时，y ＝11 200；x ＝3时，y ＝11 200.所以为使租出的床位少且租金高，每X 床位每天最合适的收费是100＋3×20＝160(元)．2. (2017，某某，导学号5892921)某某素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20 000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值；(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m kg ，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20 000（0≤t ≤50），100t ＋15 000（50＜t ≤100），y 与t 之间的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t ≤50和50＜t ≤100时，y 关于t 的函数解析式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)第2题图【思路分析】 (1)由放养10天的总成本为30.4万元，放养20天的总成本为30.8万元可列出方程组进而求得答案．(2)①分0≤t ≤50，50＜t ≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得．②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额－总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30. (2)①当0≤t ≤50时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1.将(0，15)，(50，25)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1＝15，50k 1＋n 1＝25. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝15t ＋15. 当50＜t ≤100时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2.将(50，25)，(100，20)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50k 2＋n 2＝25，100k 2＋n 2＝20. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝－110t ＋30. ②当0≤t ≤50时，W ＝20 000⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋15－(400t ＋300 000)＝3 600t . ∵3 600＞0，∴当t ＝50时，W 最大，W 最大＝180 000.当50＜t ≤100时， W ＝(100t ＋15 000)⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋30－(400t ＋300 000) ＝－10t 2＋1 100t ＋150 000＝－10(t －55)2＋180 250.∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大，W最大＝180 250.综上所述，当t＝55时，W最大，最大值为180 250.。
河北省2019年中考数学第3章第6节二次函数的实际应用精练试题
第六节 二次函数的实际应用1．(河北中考)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y ＝120x 2(x>0)．若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40 m/sB ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s2．一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C )A ．1 mB ．5 mC ．6 mD ．7 m3．凸四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，且AC ＋BD ＝20.则当AC ＝__10__时，此四边形面积有最大值为__50__．4．(2019沧州九中模拟)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是 4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)y ＝－16x 2＋2x ＋4.∴当x ＝－b2a ＝6时，y 最大＝10，即拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2，0)或(10，0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223>6，∴能安全通过；(3)令y ＝8，即－16x 2＋2x ＋4＝8，可得x 2－12x ＋24＝0，解得x 1＝6＋23，x 2＝6－23，x 1－x 2＝4 3.答：两排灯的水平距离最小是4 3 m.5．(鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x ＝60时，y ＝80；x ＝50时，y ＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．(1)求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝60k ＋b ，100＝50k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200. ∴y ＝－2x ＋200(30≤x≤60)；(2)由题意，得W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2x 2＋260x －6 450，∴所求函数的关系式为W ＝－2x 2＋260x －6 450(30≤x≤60)；(3)W ＝－2(x －65)2＋2 000.∵－2<0，对称轴为直线x ＝65，∴当30≤x≤60时，W 随x 的增大而增大．∴当x ＝60时，W 有最大值为1 950，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1 950元．6．(2019达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧7.5x （0≤x≤4），5x ＋10（4＜x≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图像如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？解：(1)根据题意，得： ∵若7.5x ＝70，得：x ＝283＞4，不符合题意： ∴5x ＋10＝70，解得x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图像知，当0≤x≤4时，P ＝40，当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝40，14k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝36，∴P ＝x ＋36； ①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)·7.5x＝150x ， ∵w 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，w 最大＝600元；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845，∴当x ＝11时，w 最大＝845，∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值为845元，∴w ＝⎩⎪⎨⎪⎧150x （0≤x≤4），－5x 2＋110x ＋240（4＜x≤14）. 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．7．(河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元．(利润＝出厂价－成本价) ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ]解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx＋n.由表格中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.∴y＝2x ＋10；(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为mx 2元，由题意得P ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，P ＝26代入P ＝2x ＋10－mx 2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m ＝125.∴P＝－125x 2＋2x ＋10； ②∵a ＝－125<0，∴当x ＝－b2a＝－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝25(在5～50之间)时，P 最大值＝4ac －b24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125×10－224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝35.即出厂一张边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．8．(安徽中考)如图所示，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的点A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x －6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：(1)当h ＝2.6时，将点A(0，2)代入y ＝a (x －6)2＋h ，得36a ＋2.6＝2，a ＝－160， ∴y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6；(2)当x ＝9时，y ＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；令y ＝0，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6－239(舍去)，x 2＝6＋239＞18，∴球会出界；(3)将A(0，2)代入y ＝a(x －6)2＋h 得36a ＋h ＝2，a ＝2－h 36；当x ＝9时，y ＝2－h 36(9－6)2＋h ＞2－h 36(18－6)2＋h≤0②，由①②得h≥83.2.43①；当x＝18时，y＝2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若a+b=3，，则ab等于（）A.2B.1C.﹣2D.﹣12．将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后抛物线的函数表达式是( )A．y＝3(x+1)2+4 B．y＝3(x﹣1)2+4C．y＝3(x+1)2﹣4 D．y＝3(x﹣1)2﹣43．如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A.72°B.68°C.64°D.62°4．如图，一次函数y=－x与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点M、N，则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确5．如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE 的最小值为（）A. B. C. D.6．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①22S S >乙甲；②22S S <甲乙.③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的是（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③7．给出下列算式：①(a 3)2＝a 3×2＝a 6；②a m a n ＝a m+n (m ，n 为正整数)；③[(－x)4]5＝－x 20．其中正确的算式有( )． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．9．下列说法中正确的是（ ） A ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为（ ） A ．44×106B ．4.4×107C ．4.4×108D ．0.44×10811．二元一次方程组4521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为( )A ．11x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =-⎧⎨=⎩C ．32x y =-⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=-⎩12．如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG=2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG=∠ACB ；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题13．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为____．14．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=__________°．15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，取格点A 、B 、C 并连接AB ，BC.取格点D 、E 并连接，交AB 于点F ．（Ⅰ）BF 的长等于_____；（Ⅱ）若点G 在线段BC 上，且满足AF+CG=FG,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，确定点G 的位置，并简要说明点G 的位置是如何找到的________________________________________（不要求证明）．16．当1x =时，多项式226x x ++的值等于_______.17的根是____．18．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC 、AD ，若∠CAB ＝35°，则∠ADC 的度数为_____度．三、解答题19．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝22()()ab b a ba ab a b⎧-≥⎨-<⎩，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3＝5×3﹣32＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1⊗x2等于（）A.﹣1B.±2C.1D.±120．如图,AB是☉O的直径,延长BA至点P,过点P作☉O的切线PC,切点为C,过点B向PC的延长线作垂线BE,交该延长线于点E,BE交☉O于点D,已知(1)求BE的长;(2)连接DO,延长DO交☉O于F,连接PF,①求DE的长;②求证:PF是☉O的切线.21．如图所示AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD 求证：MC为⊙O的切线．22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于104元？23．如图，一次函数11y k x b =+，与反比例函数22k y x=交于点A （3，1）、B （-1，n ），y 1交y 轴于点C ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）求△OBD 的面积；（3）根据图象直接写出1k x b +＞2k x的解集． 24．某校为改善办学条件，计划购进A B 、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种方式，具有情况如下表：（Ⅰ）如果在线下购买A B 、两种书架20个，共花费5520元，求A B 、两种书架各购买了多少个； （Ⅱ）如果在线上购买A B 、两种书架20个，共花费w 元，设其中A 种书架购买m 个，求W 关于m 的函数关系式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若购买B 种书架的数量不少于A 种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照该购买方案线上比线下节约多少钱.25．为响应建设“美丽乡村”，某村在河岸上种植了柳树和香樟树，已知种植柳树的棵数比香樟树的棵数多22棵，种植香樟树的棵树比总数的三分之一少2棵．问这两种树各种了多少棵？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．514．15．（1（2）见解析.16．1517．x．18．三、解答题19．D【解析】【分析】先解方程，求出方程的解，分为两种情况，当x1=1，x2=2时，当x1=2，x2=1时，根据题意求出即可．【详解】解方程x2﹣3x+2＝0得x＝1或x＝2，当x1＝1，x2＝2时，x1⊗x2＝12﹣2×1＝﹣1；当x1＝2，x2＝1时，x1⊗x2＝2×1﹣12＝1．故选：D．【点睛】考查解一元二次方程-因式分解法，注意分类讨论，不要漏解.20．（1）BE=32；（2）①DE=12；②详见解析.【解析】【分析】（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．【详解】解:(1)设☉O 的半径是r,则∵PC 是圆的切线,∴∠PCO=90°,∴在Rt △PCO 中,PC 2+OC 2=OP 2,即2+r 2=(1+r)2,解得:r=1或r=-13(舍去负值). 在Rt △OPC 中,cos ∠POC=OC OP =12, ∴∠POC=60°,∵∠PCO=90°,BE⊥PE,∴BE ∥OC,∴△OPC ∽△BPE,∠OBD=∠PO C=60°, ∴OC BE =OP BP =23, ∴BE=32OC=32; (2)①在△OBD 中,OB=OD,∠OBD=60°,∴△OBD 是等边三角形,∴BD=OB=1,∠BOD=60°.∴DE=BE-BD=32-1=12; ②证明:∵∠POF=∠BOD=60°,∠POC=60°,∴∠POF=POC,∵在△OPC 和△OPF 中,,,,OC OF POC POF OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OPC ≌△OPF(SAS),∴∠OFP=∠OCP=90°,∴PF 是☉O 的切线.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．21．见解析.【解析】【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论．证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B ＝90°，∵OM ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠A+∠ADO ＝90°，∴∠ADO ＝∠B ，∵∠ADO ＝∠CDM ，∴∠CDM ＝∠B ，∵MC ＝MD ，∴∠MDC ＝∠MCD ，∴∠MCD ＝∠B ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠MCD+∠ACO ＝90°，∴∠MCO ＝90°，∴MC 为⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1）.40(1016)y x x =-+≤≤（2）2(25)225w x =--+，当x=16时.最大利润是144元；（3）1416x ≤≤【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式;(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.（3）根据（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥，即可解答解:(1)设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,将(10,30)、(16,24)代入,得:10301624k b k b +=+=⎧⎨⎩ 解得:140k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16):(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225∵a=-1<0,∴当x<25时,W 随x 的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W 取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元（3）根据题（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥（x=16时,W 取得最大值）解得14x ≤,综合题（2）可知当1416x ≤≤时利润不低于104元【点睛】此题考查了利用待定系数法求二元一次方程的解析式，二次函数的性质和一元一次不等式的解，解题关键在于把已知的数代入方程求解23．（1）23y x=，y 1=x ﹣2；（2）S △BOD =3；（3）-1＜x ＜0或x ＞3． 【解析】【分析】（1）把A 代入反比例函数的解析式，求出解析式，再把B 代入反比例函数解析式求出B 的坐标，最后把A,B 的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式,（2）令y 1=0，有0=x-2，即x=2，得到OD=2，再过B 作BE ⊥x 轴于点E ，得到BE=3，利用三角形的面积公式即可解答,（3）根据函数图象结合不等式的关系，即可解答【详解】解：（1）∵反比例函数22k y x =的图象经过A （3，1），∴k=3×1=3， ∴反比例函数的解析式为23y x=；把B （-1，n ）代入反比例函数解析式，可得n=-3， ∴B （-1，-3），把A （3，1），B （-1，-3）代入一次函数11y k x b =+，可得11133k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得112k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的解析式为y 1=x ﹣2；（2）令y 1=0，有0=x-2，即x=2，∴D （2，0），OD=2，如答图，过B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵B （-1，-3），∴BE=3，∴S △BOD =12×OD×BE=12×2×3=3；（3）-1＜x ＜0或x ＞3．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式求值.24．（Ⅰ）购买A 种书架8个，B 种书架12个；（Ⅱ）W=-50m+5600，（Ⅲ）线上比线下节约340元．【解析】【分析】（Ⅰ）设购买A 种书架x 个，则购买B 种书架（20-x ）个，根据买两种书架共花费5520元，列方程求解即可；（Ⅱ）W=买A 种书架的花费+买B 种书架的花费+运费，列式即可；（Ⅲ）根据购买B 种书架的数量不少于A 种书架的2倍，求出m 的取值范围，再根据第（Ⅱ）小题的函数关系式，求出v 的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．【详解】解：（Ⅰ）设购买A 种书架x 个，则购买B 种书架（20-x ）个，根据题意，得：240x+300（20-x ）=5520，解得：x=8，∴20-8=12，答：购买A 种书架8个，B 种书架12个；（Ⅱ）根据题意，得：W=210m+250（20-m ）+20m+30（20-m ）=-50m+5600，（Ⅲ）根据题意，得：20-m≥2m， 解得：m≤203， ∵-50＜0，∴v 随m 的增大而减小，∴当m=6时，W 最小为-300+5600=5300，线下购买时的花费为：240×6+300×14=5640，5640-5300=340（元），∴线上比线下节约340元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是能根据函数的增减性，求出W 的最小值．25．种柳树38棵，种香樟树16棵.【解析】【分析】设种植柳树x 棵，种植樟树y 棵，根据题目之间的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设种植柳树x 棵，种植香樟树y 棵，由题意，得2223x y x y y -=⎧⎪+⎨=-⎪⎩， 解得：3816x y =⎧⎨=⎩． 答：种植柳树38棵，种植香樟树16棵．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用，解答时根据题意之间的数量关系建立方程是关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.2．如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（）A. B. C. D.3．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1204．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（）A．平均数是6B．中位数是6.5C．众数是7D．平均每周锻炼超过6小时的人数占该班人数的一半5．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．6．方程组20529x yx y-=⎧⎨+=⎩的解为（）A．17xy=-⎧⎨=⎩B．36xy=⎧⎨=⎩C．12xy=⎧⎨=⎩D．12xy=-⎧⎨=⎩7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（）A．53B．2 C．166D．73168．如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90°，120°．让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（）A ．14B ．13C ．512D ．无法确定9．如图，在△ABC 中，∠CAB=70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C′的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数是（ ）A.70°B.35°C.40°D.50°10．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，P 为AB 上的一个动点，若AB 2=，则PE PC +的最小值为( )A ．1+B ．C ．2+D ．11．下列计算中，正确的是( )A B ．(﹣1)0＝1 C ．|a|﹣a ＝0 D ．4a ﹣a ＝312．如图，在矩形ABCD 中，，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AM MD的值为（ ）A.12B.2C.53D.35二、填空题13．矩形的面积是240m ，设它的一边长为x （单位：m ），则矩形的另一边长y （单位：m ）与x 的函数关系是__________．14．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为________（结果保留π）．15．如图，∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB ＝40°，在射线OB 上有一点P ，从点P 点射出的一束光线经OA 上的Q 点反射后，反射光线QR 恰好与OB 平行，则∠QPB 的度数是___________16．如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A 、B ，若其对称轴为直线x=2，则OB –OA 的值为_______．17．如图，直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C 是OB 的中点，D 是AB 上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE 的面积为________．18．计算1023-+=_____.三、解答题19．如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 相交于点D ．（1）设弧BC 的长为m 1，弧OD 的长为m 2，求证：m 1＝2m 2；（2）若BD 与⊙O 1相切，求证：BC．20．（1）解不等式组365(2)543123x x x x +≥-⎧⎪⎨---≤⎪⎩①②，并求出最小整数解与最大整数解的和． （2）先化简，再求值22331(1)1211x x x x x x --÷-+-++-，其中x 满足方程x 2+x ﹣2＝0． 21．计算：214)0452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x 轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．23．一只不透明的袋子中装有1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有1次摸到红球的概率．24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）求证：△CAB∽△CDE；（3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，直径AB的长为x，若∠ABC＝30°，S1、S2满足S1+S2＝x的值．25．某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的不完整条形统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）若该校九年级男生有600名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．40 yx =14．2 3π15．80°16．417．18．5三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）连接OC，O1D，根据已知条件和圆心角与圆周角的关系可以得到弧BC，弧OD所对的弧的度数相同，根据弧长公式计算就可以证明结论；（2）利用切线的性质和直径所对的圆周角是90°可以证明∠DAO1＝∠CBD，然后证明△ACB∽△BCD，再根据相似三角形对应边成比例得到BC2＝AC•CD，而OD⊥AC，据垂径定理知道D是AC的中点，这样就可以证明题目结论．【详解】解：（1）连接OC，O1D．∵∠COB＝2∠CAB，∠DO1O＝2∠DAO，∴∠COB＝∠DO1O设∠COB的度数为n，则∠DO1O的度数也为n，设⊙O1的半径为r，⊙O的半径为R，由题意得，R＝2r，∴m1＝2180180n R n rππ=＝2m2．（2）连接OD，∵BD是⊙O1的切线，∴BD⊥O1D．∴∠BDO1＝90°．而∴∠CBD+∠BDC＝90°，∠ADO1＝∠CBD，又∵∠DAO1＝∠ADO1，∴∠DAO1＝∠CBD，∴△ACB∽△BCD,∴AC BC BC CD=,∵AO是⊙O1的直径，∴∠ADO＝90°．∴OD⊥AC．∴D是AC的中点，即AC＝2CD＝2AD．∴BC2＝AC•CD＝2AD2，∴BC．【点睛】此题主要利用了垂径定理，切线的性质定理，圆的弧长公式，利用它们构造相似三角形相似的条件，然后利用相似三角形的性质解决问题．20．（1）﹣3≤x≤8，5；（2）11x-，13- .【解析】【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出所求即可；（2）原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．【详解】（1）365(2)543123x xx x①②+≥-⎧⎪⎨---≤⎪⎩由①得：x≤8，由②得：x≥﹣3，∴不等式组的解集为﹣3≤x≤8，则不等式组最小整数解为﹣3，最大整数解为8，之和为5；（2）原式＝23(1)11 (1)(1)3111x x x x xx x x x x x -++-⋅-==+-----，由x2+x﹣2＝0，得到（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1（舍去）或x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝13 -．【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22．（1）C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．【详解】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝﹣3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝﹣1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）在C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在．∵AB只能为平行四边形的一边，∴PQ∥AB且PQ＝AB，由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴PQ＝4，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t＝﹣2，∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，∴P（﹣2，5），Q（2，5）；②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t＝2，∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．23．(1)13;(2)89.【解析】【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到蓝球可能的结果有1种．∴P（摸到蓝球）=13，故答案为：13；（2）将2个红球编号为红球1，红球2，用树状图表示出所有可能出现的结果，由树状图知，共有9种等可能结果，其中至少有一次摸到红球可能的结果有8种．∴P（至少有1次摸到红球）=89．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）x ＝8．．【解析】【分析】（1）因为AB ＝AC ，欲证明BD ＝DC ，只要证明AD ⊥BC 即可．（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．（3）分别用x 表示S 1、S 2，列出方程即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ．（2）∵AB ∥CE ，∴∠2＝∠1，∵AB ＝AC ，∴∠1＝∠3，∵BE 是⊙O 切线，∴∠ABE ＝90°，∵AB ∥CE ，∴∠BEC+∠ABE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∵BD ＝DC ，∴DE ＝DB ＝DC ，∴∠2＝∠4，∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，∴△CAB ∽△CDE ．（3）∵S 1＝211x x 224⋅=． ∵△CAB ∽△CDE ，∴21243S S ==, ∴S 2＝216x ，由题意：22416x x +=∴x ＝±8，∵x ＞0，∴x ＝8．【点睛】本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题目，难度不大，是中考常考题型．25．（1）15，30%，6%；（2）见解析；（3）该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名．【解析】【分析】（1）根据A 类学生的人数÷所占的百分比求得共抽取的学生数﹣A 类﹣B 类﹣D 类的学生数即可得到a ，a÷共抽取的学生数求得b ，1﹣A 类﹣B 类﹣C 类人数所占的百分比即可得到c ；（2）由C 类人数，补全条形统计图即可；（3）该校九年级男生人数×(1-D 类所占的百分比)即可得到结论．【详解】（1）a ＝10÷20%﹣10﹣22﹣3＝15，b ＝1550×100%＝30%，c ＝1﹣20%﹣44%﹣30%＝6%； 故答案为：15，30%，6%；（2）补全条形统计图如图所示；（3）600×(1-6%)＝564名，答：该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多564名．【点睛】此题考查条形统计图，看懂图中数据是解题关键。
河北省中考数学复习二次函数第16讲二次函数的解析式试题(含解析)
第16讲二次函数的解析式2 1 21.(2021 ，河北)如图，抛物线 y1＝a(x＋2)－3与y2＝2(x－3)＋1交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2－y1＝4；④2AB＝3AC.其中正确结论是(D)第1题图A.①②B.②③C.③④D.①④12【解析】①∵抛物线y2＝2(x－3)＋1的开口向上，顶点在x轴的上方，∴无论x取何值，y 的值总是正数．故此结论正确．②把A(1，3)的坐标代入y＝a(x＋2)2－3，得3＝a·(12122222＋2)－3.解得a＝3.故此结论错误．③可知抛物线y1＝a(x＋2)－3的解析式为y1＝3(x＋2)－3.当x＝0时，y ＝221＝121111135 3×(0＋2)－3＝－3，y2×(0－3)＋1＝2.故y－y＝2＋3＝6.故1221此结论错误．④∵抛物线y1＝a(x＋2)2－3与y2＝1(x－3)2＋1交于点A(1，3)，∴y1的对称轴2为x＝－2，y2的对称轴为 x＝3.∴B(－5，3)，C(5，3)．∴AB＝6，AC＝4.∴2AB＝3AC.故此结1论正确．2.(2021，河北节选)如图，点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.(1 )l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为y，求y 的最大值，此时l上有两点(x，y)，(x，y)，其中x1C C1122＞x2≥0，比拟y1与y2的大小．第2题图【思路分析】(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出关于h的方程，求得h的值．利用抛物线解析式得到它的对称轴和顶点坐标．(2)把点C的横坐标代入抛物线的解析式得到yC＝－h2＋1，那么由二次函数的最值的求yC的最大值，并可以求得此时抛物线的解析法易得式，根据函数的增减性来比拟y1与y2的大小．解：(1)把点(2，1)的坐标代入y ＝－(－)2＋1，B x h得1＝－(2－h)2＋1.解得h＝2.22所以该抛物线的解析式为y＝－(x－2)＋1(或y＝－x＋4x－3)．∵∵点C的横坐标为0，∴yC＝－h2＋1.∵∴当h＝0时，yC有最大值，最大值为 1.∵所以此时抛物线l的解析式为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，开口方向向下．∵∴当x≥0时，y随x的增大而减小．x1＞x2≥0，∴y1＜y2.2求二次函数的解析式例1(2021，徐州，导学号5892921)二次函数的图象以 A(－1，4)为顶点，且过点B(2，5)．求该函数的解析式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．【思路分析】(1)抛物线的顶点坐标，可设该二次函数的解析式为顶点式，然后将点B的坐标代入，即可求出二次函数的解析式．(2)根据函数解析式，令x＝0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y＝0，可求得抛物线与x轴的交点坐标．(3)由(2)可知抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位长度，由此可求出点A′，B′的坐标．可用割补法求出△OA′B′的面积．解：(1)设该函数的解析式为＝(x ＋1)2＋4.ya将B(2，－5)的坐标代入，得－5＝a·(2＋1)2＋4.解得＝－1.a∴该函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.令x＝0，得y＝3.所以与y轴的交点坐标为(0，3)．32令y＝0，得－x－2x＋3＝0，所以与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．设该函数图象与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)．由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，该函数图象向右平移了3个单位长度．∴A′(2，4)，B′(5，－5)，如答图．1 1 1∴S△OA′B′＝2×(2＋5)×(4＋5)－2×2×4－2×5×5＝15.例1答图针对训练1(2021，荆门京山模拟)一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，那么该抛物线的解析式为(B)A.y＝－2(x－1)2＋3B.y＝－2(x＋1)2＋3C.y＝－(2x＋1)2＋3D.y＝－(2x－1)2＋3【解析】根据题意可知该抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.针对训练2(2021，百色)经过(4，0)，(－2，0)，(0，3)三点的抛物线的解析式是〔yA B C323＝－8x＋4x＋3〕.【解析】设该抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)．把C(0，3)的坐标代入，得－8a＝333233.解得a＝－8.∴该抛物线的解析式为y＝－8(x＋2)(x－4)＝－8x＋4x＋3.4二次函数图象与系数a，b，c的特殊关系例2(2021，抚顺一模)抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n如下图．以下结论：①abc1 0；②a－b＋c＞0；③5a－c＝0；④当x＜2或x＞6时，y1＞y2.其中正确结论的序号是①②③④.例2题图【解析】由题意，得a＞0，＜0，＞0.∴abc＜0.故①正确．观察图象，可知当x＝－bcb时，y1＞0，∴a－b＋c＞0.故②正确．∵－2a＝3，∴b＝－6a.∵当x＝5时，y＝0，且对称轴为x＝3，∴当x＝1时，y＝0.∴a＋b＋c＝0.∴－5a＋c＝0，即5a－c＝0.故③正确．观察1图象，可知当x＜2或x＞6时，y1＞y2.故④正确.针对训练3(2021，泸州泸县一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其局部图象如下图．以下结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中结论正确的选项是①②⑤.( 填序号)5训练3题图【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0.所以①正确．∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)．∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x 1＝－1，2＝3.所以②正确．∵x＝－b＝1，∴＝－2.∵当x＝－1时，y＝0，∴a－b x2ab a＋c＝0.∴3a＋c＝0.所以③错误．∵抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1＜x＜3时，y＞0.所以④错误．∵抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大．所以⑤正确.针对训练4(2021，芜湖繁昌县模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的局部对应值如下表：x－1013y－1353以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．其中正确的选项是①③④.(填序号)2＋＋－1＝a－b＋c，【解析】将－1，－1)，(，3)，(1，5)代入＝，得3＝c，解得(yax bxc5＝a＋b＋c.a＝－1，b＝3，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋3x＋3.①∵ac＝－1×3＝－3＜0，∴该结论正c＝3.确．②∵y＝－x2＋3x＋3＝－x－32＋21，∴当x＞3时，y随x的增大而减小．∴该结论错242误．③当x ＝2时，y＝－22＋3×2＋3＝5，∴该结论正确．④2＋(－1)x＋＝－2＋2x＋3ax b c x＝0，解得x＝3或x＝－1.∴x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．∴该结论正确．6一、选择题1.(2021，北京顺义区模拟 )二次函数的局部图象如下图，对称轴是 x＝－1，那么这个二次函数的解析式为(D)第1题图7A.y ＝－x2＋2＋3 B.y＝x2＋2x＋3 xC.y＝－x2＋2x－3D.y＝－x2－2x＋3【解析】因为抛物线的对称轴为x＝－1，所以设这个二次函数的解析式为y＝a(x＋1)24a＋k＝0，a＝－1，＋k.将(－3，0)，(0，3)代入，得解得所以这个二次函数的解析式为ya＋k＝3.k＝4.＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.2.(2021，合肥包河区二模)二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(－1，1)，那么ab有(D)A.最大值1B.最大值2C.最小值0D.1最小值－4【解析】把点A(－1，1)的坐标代入y＝ax2＋bx，得a－b＝1.∴b＝a－1.∴ab ＝a(a－212111)＝a－a＝a－2－4.∴ab有最小值－4.(2021，南京玄武区一模)二次函数y＝x2－5x＋m的图象与x轴有两个交点．假设其中一个交点的坐标为(1，0)，那么另一个交点的坐标为(B)A.(－1，0)B.(4，0)C.(5，0) D.(－6，0)25【解析】二次函数y＝x －5x＋m的图象的对称轴为x＝2.∵该二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，∴另一个交点的坐标为5，即(4，0)．×2－1，24.(2021，枣庄)如下图的是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一局部，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x＝1.以下结论正确的选项是(D)第4题图A.2＜4B.＞0a －＝0 D.a－＋＝0b ac ac b b c【解析】A.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac.所以此选项错误．B.∵抛物线的开口向上，∴＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x轴的下方，∴c＜0.∴ac＜0.所以ab此选项错误．C.∵二次函数图象的对称轴是x＝1，∴－2a＝1.∴2a＋b＝0.所以此选项错误．D.∵抛物线过点(3，0)，二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－A81，0)．∴a－b＋c＝0.所以此选项正确．5.(2021 ，滨州)如图，假设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(－1，0)，那么①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是(B)第5题图【解析】①∵二次函数y ＝2＋bx＋(≠0)的图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴ax ca当x＝1时，y最大＝a＋b＋c，即二次函数的最大值为a＋b＋c.故该结论正确．②∵图象过点B(－1，0)，∴当x＝－1时，a－b＋c＝0.故该结论错误．③图象与x轴有2个交点，故b2－4ac＞0.故该结论错误．④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A，B(－1，0)，∴A(3，0)．故当y＞时，－1＜x＜3.故该结论正0确．6.(2021，莱芜)假设函数y ＝ax2＋2＋(＜0)的图象过点(2，0)，那么使函数值y＜0成ax ma立的x的取值范围是(A)A.x＜－4或x＞2B.－4＜x＜2C.x＜0或x＞2D.0＜x＜222a【解析】∵抛物线y＝ax＋2ax＋m的对称轴为x＝－＝－1，抛物线与 x轴的一个交点坐标为(2，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－4，0)．∵a＜0，∴抛物线的开口向下．∴当x＜－4或x＞2时，y＜0.(2021，白银)如下图的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的一局部，与x 轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x＝1.对于以下说法：①＜0；ab②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是(A)9第7A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤b【解析】∵称在y的右，∴a，b异号．∴ab＜0.故①正确．∵称x＝－2a＝1，∴2a＋b＝0.故②正确．∵2a＋b＝0，∴b＝－2a.由称性可知，当x＝－1，y＝a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＝3a＋c＜0.故③．根据象知，当m＝12，am＋bm＋c有最大＋＋；当≠1，有2＋＋<＋＋，所以a＋≥(＋)(数)．故abc m ambmcab c b mambm④正确．当－1＜x＜3，y不一定大于0.故⑤．二、填空8.(2021，洛阳洛宁三模，学号5892921)抛物y＝ax2＋bx＋cA(－2，4)，B(6，124)两点，且点在x上，抛物的解析式〔y＝4x－x＋1〕.【解析】∵抛物y＝ax2＋bx＋cA(－2，4)，B(6，4)两点，∴抛物的称是x＝6＋〔－2〕＝2.∵点在x上，∴点坐(2，0)．∴y＝ax2＋bx＋c＝a(x－2)2.把(－22112122，4)代入，得4＝a·(－2－2).解得a＝4.∴y＝4(x－2)＝4x－x＋1.9.(2021，自)假设函数y＝x2＋2x－m的象与x有且只有一个交点，m的－1.【解析】∵函数y＝x2＋2x－m的象与x有且只有一个交点，∴＝22－4×1×(－m)＝0.解得m＝－1.10.(202 1，黔西南州)二次函数y＝ax2＋bx＋c象上局部点的横坐x与坐y的如表格所示，那么它的象与x的另一个交点坐是(3，0).x⋯－1012⋯y⋯0343⋯【解析】∵抛物y＝ax2＋bx＋c(0，3)，(2，3)两点，∴称x＝0＋2＝1.∴2点(－1，0)关于称的称点(3，0)．∴二次函数的象与x的另一个交点坐是(3，．三、解答11.(2021，淮北相山区二模)二次函数的点坐(1，4)，且其象点(－2，10－5)，求此二次函数的解析式．【思路分析】设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4，然后把(－2，－5)代入求出a的值即可．2解：设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)＋4.2把(－2，－5)代入，得a·(－2－1)＋4＝－5.解得a＝－1.所以该二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4.12.(2021，宁夏)如图，抛物线y＝－1x2＋bx＋c经过点A(33，0)和点B(0，3)，且这3个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.求抛物线的解析式；连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．第12题图【思路分析】(1) 利用待定系数法求抛物线的解析式．(2)利用割补法求△ABC的面积．12－解：(1)∵抛物线 y＝－3x＋bx＋c经过A(3 3，0)，B(0，3)，－9＋33b＋c＝0，∴c＝3.23解得b＝3，c＝3.1223∴抛物线的解析式为y＝－3x＋3x＋3.1223(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝－3x＋3x＋3，∴抛物线的对称轴为x＝3.1223把x＝3代入y＝－3x＋3x＋3，得y＝4.∴点C的坐标为(3，4)．设线段所在直线的解析式为y＝kx＋.AB n11∵线段AB所在直线经过点A(3 3，0)，B(0，3)，3∴33k＋n＝0，解得k＝－3，n＝3.n＝3.3∴线段AB所在直线的解析式为y＝－3x＋3.如答图，设抛物线的对称轴 l与直线AB交于点D，与x轴交于点E.设点D的坐标为( 3，m)．3将点D( 3，m)的坐标代入 y＝－3x＋3，解得m＝2.∴点D的坐标为( 3，2)．由点C，D的坐标可知CE＝4，DE＝2.∴CD＝CE－DE＝2.如答图，过点B作BF⊥l于点F.∴BF＝OE＝ 3.∵BF＋AE＝OE＋AE＝OA＝3 3，∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD1 12·CD·BF＋2·CD·AE12·CD·(BF＋AE)12×2×3333.第12题答图121.(2021，大庆，导学号5892921)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，(3，0)，(4，1)．假设(2，2)是抛物线上任意一点，有以下结论：①二次函数y＝ax2B Cy Dx y＋bx＋c的最小值为－4a；②假设－1≤x2≤4，那么0≤y2≤5a；③假设y2＞y1，那么x2＞4；④一元二2的两个根为－1次方程cx＋bx＋a＝01和.其中正确结论的个数是(B) 3第1题图【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a.∴当x＝1时，二次函数有最小值－4a.所以①正确．当x＝4时，y1＝9a－4a＝5a，∴当－1≤x2≤4时，－4a≤y2≤5a.所以②错误．(4，5)关于直线＝1的对称点为(－2，5)，∴当2＞4或2＜－2.∵点x y 2＞1时，x所以③C a a y x错误．易得b＝－2a，c＝－3a，∴方程cx2＋bx＋a＝0可化为－3ax2－2ax＋a＝0.整理，得32x －1＝0.解得x＝－1或x1＋2＝.所以④正确．x32.(2021，龙东，导学号5892921)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为x ＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于，两点，点B在对称轴的左侧，＝6.BC BC13求此抛物线的解析式；点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2∶3两局部，请直接写出点P的坐标．第2题图【思路分析】(1) 由对称轴x＝－2，以及点A的坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线的解析式．(2)由抛物线的对称轴及BC的长，确定出点 B与点C的横坐标，代入抛物线的解析式求出纵坐标，确定出点B与点C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，作直线CP，与AB相交于点Q，过点Q作QH⊥y轴于点H，设BC与y轴相交于点M，由面积之比求出QH的长，确定出点Q的横坐标，代入直线AB的解析式求出纵坐标，确定出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线CQ的解析式，即可确定出点P的坐标．b b解：(1)由题意，得x＝－2a＝－2＝－2.解得b＝4.∵抛物线与y轴交于点A(0，2)，c＝2.所以此抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋2.∵抛物线的对称轴为x＝－2，BC＝6，∴点B的横坐标为－5，点C的横坐标为 1.2把x＝1代入y＝x＋4x＋2，得y＝7.∴B(－5，7)，C(1，7)．设直线AB的解析式为 y＝kx＋2.把点B的坐标代入，得k＝－1，即y＝－x＋2.如答图，作直线，与AB相交于点，过点Q作⊥轴于点.设与y轴相交于点CP Q QHy H BCM，那么△AQH∽△ABM.QHAQ∴＝.BMAB∵点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2∶3两局部，∴AQ∶QB＝2∶3或AQ∶QB＝3∶2，即AQ∶AB＝2∶5或AQ∶AB＝3∶5.∵BM＝5，∴QH＝2或QH＝3.当QH＝2时，把x＝－2代入直线AB的解析式，得 y＝4.此时Q(－2，4)，直线CQ的解析式为y＝x＋6.14令 y ＝0，得x ＝－6，即(－6，0)．P当QH ＝3时，把x ＝－3 代入直线AB 的解析式，得 y ＝5.此时(－3，5)，直线的解析式为y＝ 1 ＋13.令 y＝0，得 x＝－13，即 (－13，0)．QCQx 2 P2综上所述，点 P 的坐标为(－6，0)或(－13，0)．第2题答图15。
2019年版河北版中考数学 课题17 二次函数的综合应用(可编辑Word)
课题17 二次函数的综合应用A组基础题组一、选择题1.(2017衡水安平模拟)某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:在无利润时,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该景点一年中处于关闭状态的月份个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.82.(2018河北模拟)抛物线y=-x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=x上,则关于△OAB的判断正确的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.(2018邢台宁晋模拟)点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点在线段AB上运动时,形状保持不变,且与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),给出下列结论:①c<3;②当x<-3时,y随x的增大而增大;③若点D的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5;④当四边形ACDB为平行四边形时,a=-.其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④二、填空题4.(2017承德模拟)某学生在体育测试时推铅球,铅球所经过的路线是二次函数图象的一部分,如果这名学生出手处为A(0,2),铅球路线最高处为B(6,5),则该学生将铅球推出的距离是.5.(2018石家庄模拟)如图,小亮从斜坡的点O处抛出一个沙包,沙包轨迹抛物线的解析式为y=12x-x2,斜坡OA的坡度i=1∶2,则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是.6.(2017石家庄模拟)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=-x2+8x-的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,那么此红色区域内部及其边界上的整点个数有个.三、解答题7.(2017唐山模拟)如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?8.(2017石家庄正定模拟)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y千克,增种果树x棵,它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6 750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?B组提升题组一、选择题1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB为( )A.-20 mB.10 mC.20 mD.-10 m2.(2018保定模拟)如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB 的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b.其中,正确的结论是( )A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤二、填空题3.(2017沧州模拟)如图,矩形ABCD的长AB=6 cm,宽AD=3 cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是cm2.4.(2018邯郸模拟)如图,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为3,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是.三、解答题5.(2017廊坊模拟)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底DE是水平的,DE=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米.以DE所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的表达式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底DE的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,在这一时段内,需禁止船只通行多少小时?答案精解精析A组基础题组一、选择题1.A 对于W=-x2+16x-48,令W=0,得x2-16x+48=0,解得x=12或4,由W=-x2+16x-48=-(x-8)2+16可知,该景点一年中处于关闭状态的月份有1月,2月,3月,4月,12月,共5个月.故选A.2.A 抛物线y=-x2+2bx的顶点B的坐标为,,代入直线y=x中,得b2=×b,解得b=或b=0(舍去).∴点O(0,0),A(,0),B,,根据勾股定理,得OB=1.根据抛物线的对称性,可知AB=OB=1,∴△OAB是等腰三角形.∵点B的横坐标与纵坐标不相等,∴△OAB不是等腰直角三角形,排除选项B,D;∵OA=≠1,∴△OAB不是等边三角形.综上所述,故选A.3.A ∵点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,3).又∵抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),∴c≤3,(顶点在y 轴上时取“=”),故①错误;∵抛物线的顶点在线段AB上运动,当x<-2时,y随x的增大而增大,可知当x<-3时,y随x 的增大而增大,故②正确;若点D的横坐标最大值为5,则此时对称轴为直线x=1,根据二次函数的对称性,点C的横坐标最小值为-2-4=-6,故③错误;∵抛物线的顶点在线段AB上运动,∴顶点的纵坐标为3,即-=3.∴CD2=(x D-x C)2=(x D+x C)2-4x D·x C=--4·=-=-·-=-.∵四边形ACDB为平行四边形,∴CD=AB=1-(-2)=3.∴-=32=9,解得a=-,故④正确.综上所述,正确的结论有②④.故选A.二、填空题4.答案6+2解析设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),把顶点B(6,5),A(0,2)代入,求得抛物线的解析式为y=-(x-6)2+5=-x2+x+2.令y=0,则-x2+x+2=0,解得x=6+2或x=6-2(不合题意,舍去).5.答案解析设点A(m,n),根据题意,得-,,解得:n=0(舍去),或n=.6.答案25解析∵y=-x2+8x-=-(-)-,令y=0,解得x=或.则在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),( 4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.三、解答题7.解析(1)∵当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5).∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,把点(1.5,3.05)代入,得2.25a+3.5=3.05,解得a=-0.2.∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m,∵y=-0.2x2+3.5,而球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05),∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5,解得h=0.2.答:球出手时,他跳离地面的高度为0.2 m.8.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把点(12,74),(28,66)代入,得, ,解得-., ,∴y与x之间的函数关系式为y=-0.5x+80.(2)根据题意,得(-0.5x+80)(80+x)=6 750,解这个方程,得x1=10,x2=70.∵投入成本最低,∴x2=70不满足题意,舍去.∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6 750千克.(3)根据题意,得w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5x2+40x+6 400=-0.5(x-40)2+7 200,∵a=-0.5<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值.∴当x=40时,w有最大值,最大值为7 200.∴当增种果树40棵时,果园的最大产量是7 200千克.B组提升题组一、选择题1.C 根据题意,得点B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-x2,解得x=±10,∴A(-10,-4),B(10,-4),∴AB=10-(-10)=20,即水面宽度AB为20 m.2.B ①抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),正确;②根据图象得:直线y=kx+b(k≠0)为增函数;抛物线y=ax2(a≠0)当x>0时为增函数,则x>0时,直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大,正确;③由A,B横坐标分别为-2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不可能为5,错误;④若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不可能为等边三角形,错误;⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示:可得直线y=-kx+b与抛物线交点C,D横坐标分别为-3,2,由图象可得:当-3<x<2时,ax2<-kx+b,即ax2+kx<b,正确.综上所述,正确的结论有①②⑤.二、填空题3.答案解析∵该抛物线是以y轴为对称轴的图形,∴S阴影=S半圆=π·=π·=(cm2).4.答案14解析如图,可求得经过点(0,0),(1,3),(3,3)的抛物线的解析式为y=-x2+4x,把这条开口向下抛物线向右平移1个单位、向上平移1个单位得到一条抛物线,可平移6次,∴一共有7条抛物线;同理可得开口向上的抛物线也有7条.∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是7+7=14.三、解答题5.解析(1)根据题意,得C(0,11),设抛物线的表达式为y=ax2+11(a≠0).∵抛物线经过点A(-8,8),∴64a+11=8,解得a=-.∴抛物线的表达式为y=-x2+11.(2)画出抛物线h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时,h≥6米.解方程-(t-19)2+8=6,得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势可得,禁止船只通行的时间为|t1-t2|=32(小时).。
二次函数的应用 冀教版初中数学九年级下册练习题(含答案)
30.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降1m，水面宽度为()A. 2√6mB. 2√3mC. √6mD. √3m2.如图，用长为24 m的篱笆围成一面利用墙(墙的最大可用长度a为9m)、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为()A. 48m2B. 45m2C. 16m2D. 44m23.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为()A. 125cm2B. 225cm2C. 200cm2D. 250cm24.某进货单价为70元的某种单品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价()A. 5元B. 10元C. 15元D. 20元5.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53，则小强此次成绩为()A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为()mA. 3B. 6C. 8D. 97.同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液.洗手液瓶子的截面图下部分是矩从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=−118形CGHD.小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16 cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3 cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是()cm．A. 12√3B. 12√2C. 6√3D. 6√28.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的表达式为()A. y=14(x+3)2 B. y=14(x−3)2 C. y=−14(x+3)2D. y=−14(x−3)29.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟10.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是()A. y=a(1+x)2 B. y=x2+aC. y=(1−x)2+aD. y=a(1−x)2二、填空题11.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为______m.12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元．13.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线，铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是____米．14.为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q(辆/小时)、速度v(千米/小时)、密度k(辆/千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：速度v(千米/小时)…1520324045…流量q(辆/小时)…105012001152800450…若已知q、v满足形如q=mv2+nv(m、n为常数)的二次函数关系式，且q、v、k 满足q=vk.根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是______．15.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为________ ．三、解答题16.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？17.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线米，当铅球是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是85运行的水平距离为3米时，达到最大高度5米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少2米？18.如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位使水面宽AB=20m，当水位上升3m，水面宽CD=10m．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？19.如图，某中学准备用长为20m的篱笆围成一个长方形生物园ABCD饲养小兔，生物园的一面靠墙(围墙MN最长可利用15m)，设AB长度为x(m)，矩形ABCD面积为y(m2).(1)求出y与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积为多少？20.春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机：经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价每盒80元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y=−2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润2400元，应如何定价？答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入求出解析式，继而求得y=−3时x的值即可得解．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【解答】解：建立如图所示直角坐标系：可设这条抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入，得−2=a×22，，解得：a=−12∴y=−1x2，2x2=−3．当y=−3时，−12解得：x=±√6∴水面下降1m，水面宽度为2√6m.故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．设AB为xm，BC就为(24−3x)，利用长方体的面积公式，可求出关系式，当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．【解答】解：设AB的长为xm，则BC的长为(24−3x)m，根据题意，得S=x(24−3x)，即所求的函数解析式为：S=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，当x=4时，BC=12m，不符合墙的最大可用长度a为9m，∴5≤x<8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=5m，有最大面积的花圃．即：x=5m，最大面积为=−3(5−4)2+48=45m2．故选B．3.【答案】B【解析】解：设矩形的长为xcm，则宽为60−2x2cm，∴矩形的面积S=(60−2x2)x=−x2+30x，∵a=−1<0，∴S最大=4ac−b24a=−900−4=225(cm2)，故矩形的最大面积是225cm2，故选：B．设矩形的长为x，面积为S，再根据矩形的面积公式得出x、S的关系式，求出S的最大值即可．本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积S与边长x 的关系式式子．4.【答案】A【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600=−(x−5)2+625，∵−1<0∴当x=5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选A．设应降价x元，表示出利润的关系式为(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．应识记有关利润的公式：利润=销售价−成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：在y=−112x2+23x+53中，当y=0时，−112x2+23x+53=0，解得x1=−2(舍去)，x2=10，即小强此次成绩为10米，故选：B．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，设顶点式y=ax2+2，把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5，∴抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降2.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出：−2.5=−0.5x2+2，解得：x=±3，2×3−4=2，∴水面下降2.5m，水面宽度增加2m．∴水面宽度为2+4=6(m)故选B．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【解答】解：以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，得Q(9,15.5)，B(6,16)，OH =6，设抛物线解析式为y =−118x 2+bx +c ，{−118×81+9b +c =15.5−118×36+6b +c =16， 解得{b =23c =14所以抛物线解析式为y =−118x 2+23x +14．当y =0时，即0=−118x 2+23x +14，解得：x =6+12√2(负值舍去)，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离为6+12√2−6=12√2cm ． 故选：B ． 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．利用B 、D 关于y 轴对称，CH =1cm ，BD =2cm ，可得到D 点坐标为(1,1)，由AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，则AB 关于直线CH 对称，可得到左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，于是得到右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【解答】解：∵高CH =1cm ，BD =2cm ，且B 、D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1,1)，∵AB//x 轴，AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，∴AB 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，设右边抛物线的解析式为y =a(x −3)2，把D(1,1)代入得1=a ×(1−3)2，解得a =14，∴右边抛物线的解析式为y =14(x −3)2，故选：B ． 9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数模型的应用，利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键，根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：根据题意，将(2.5,0.5)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p =at 2+bt +c ，得：{2.52a +2.5b +c =0.516a +4b +c =0.852a +5b +c =0.5，解得：{a =−0.2b =1.5c =−2，即p =−0.2t 2+1.5t −2，当t =− 1.52×(−0.2)=3.75 时，p 取得最大值，故选B ． 10.【答案】A【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2= b．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月投放单车a(1+x)2辆，则y=a(1+x)2．故选A．11.【答案】10√2【解析】解：如右图所示，点C为抛物线顶点，坐标为(0,6)，则点A的坐标为(−10,0)，点B的坐标为(10,0)，设抛物线ACB的函数解析式为y=ax2+6，∵点A在此抛物线上，∴0=a×102+6，解得，a=−6，100x2+6，即抛物线ACB的函数解析式为y=−6100x2+6，当y=3时，3=−6100解得，x=±5√2，∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5√2−(−5√2)=10√2(m)，故答案为：10√2．根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y=3，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12.【答案】70【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．【解答】解：设每顶头盔的售价为x 元，获得的利润为w 元，w =(x −50)[200+(80−x)×20]=−20(x −70)2+8000，∴当x =70时，w 取得最大值，此时w =8000，故答案为：70．13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的加法，关键是掌握掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离．根据掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离令y =0得方程，解方程即可解答．【解答】解：由题意，得当y =0时，0=−15x 2+65x +75，解得：x 1=−1(舍去)，x 2=7．故答案为7． 14.【答案】80≤k ≤90【解析】解：把(15,1050)和(20,1200)代入q =mv 2+nv 得，{1050=225m +15n 1200=400m +20n， 解得：{m =−2n =100， ∴q =−2v 2+100v ，∵q =vk ，∴vk =−2v 2+100v ，把v =5和v =10分别代入上式得，5k =−2×52+100×5或10k =−2×102+100×10，解得：k =90或k =80，∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90，故答案为：80≤k≤90．把(15,1050)和(20,1200)代入q=mv2+nv解方程组即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．x2+12(0<x<24)15.【答案】y=−12【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查的是矩形的性质，根据实际问题列出二次函数解析式的有关知识，根据矩形的面积公式进行求解即可．【解答】解：由题意得x2+12(0<x<24)．y=−12x2+12(0<x<24)．故答案为y=−1216.【答案】解：(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果=500−10×(55−50)=450千克；(2)设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=(x−40)[500−10(x−50)]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=(m−40)[500−10(m−50)]=−10(m−70)2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．(1)由月销售量=500−(销售单价−50)×10，可求解；(2)设每千克水果售价为x 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；(3)设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y 与x 的关系式，有二次函数的性质可求解．17.【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示．则点A 的坐标为(0,85)，顶点为B(3,52).设抛物线的表达式为y =a(x −3)2+52，∵点A(0,85)在抛物线上，∴a(0−3)2+52=85，解得a =−110．∴抛物线的表达式为y =−110(x −3)2+52令y =0，则−110(x −3)2+52=0，解得x =8或x =−2(不合实际，舍去)．即OC =8．答：小丁此次投掷的成绩是8米．【解析】由点A 、B 的坐标求出函数表达式y =−110(x −3)2+52，令y =0，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解． 18.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2(a 不等于0)，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米．则D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)∴{25a =−ℎ100a =−ℎ−3，解得{a=−125ℎ=1，∴抛物线的解析式为y=−125x2；(2)由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米．∵1.75<3．∴船的速度不变，它能安全通过此桥．【解析】(1)以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax2，由待定系数法求出其解即可；(2)计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论．本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．19.【答案】解：(1)当长方形的宽AB=x时，其长BC=20−2x，故长方形的面积y=x(20−2x)=−2x2+20x，即y=−2x2+20x(0<x≤52)；(2)y=−2x2+20x=−2(x−5)2+50，∵−2<0，∴当x=5时，y取得最大值，最大值为50，答：当x=5时，面积最大为50m2．【解析】(1)首先表示出长方形的长，根据长方形面积=长×宽列出函数关系式；(2)将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值．本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意列出解析式是基础，配方是关键．20.【答案】解：(1)由题意得：w=(x−80)⋅y=(x−80)(−2x+320)=−2x2+480x−25600，∴w与x的函数关系式为：w=−2x2+480x−25600；(2)w=−2x2+480x−25600=−2(x−120)2+3200∵−2<0，80≤x≤160，∴当x=120时，w有最大值，w的最大值为3200元；(3)当w=2400时，−2(x−120)2+3200=2400，解得：x1=100，x2=140∴要想每天获得销售利润2400元，应定价为100元或140元每盒．【解析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确销售问题中的成本利润之间的关系以及利用正确利用二次函数的性质，是解题的关键．(1)用每件的利润(x−80)乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式；(2)把(1)中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值；(3)令(2)中顶点式函数值等于2400，然后解一元二次方程即可得答案．。
河北省2019年中考数学专题6二次函数与综合应用精讲试题
2019年可能还出现在压轴题的位置上解题策略此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．,重难点突破)二次函数的实际应用【例1】(2019石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg ，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150代入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w ＝ax 2＋bx －160，得⎩⎪⎨⎪⎧72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝120. ∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，当x≤29时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．1．(2019张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(t)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(t)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t ，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝6.∴y 1＝－15t 2＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，当20≤t≤30时，⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，30k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝120，∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）；(2)由y ＝y 1＋y 2，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15t 2＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.由图像可知，销售第20天，y ＝80， ∴y ＝75时，t ＜20，即－15t 2＋8t ＝75，t 2－40t ＋25×15＝0，解得：t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t ；(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15(t －20)2＋80.此时，y 随t 的增大而增大．∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大，为79.8 t ．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15(t －5)2＋125.∵当t ＞75时，y 随t 的增大而减小，∴当t ＝20时，y 的最大，为80 t.综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y 值最大，最大值为80 t.【方法指导】先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题．二次函数图像综合问题【例2】(2019河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图像G 最高点的坐标； (4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．【解析】(1)设点P(x ，y)，只要求出xy 即可解决问题；(2)先求出A ，B 两点的坐标，再求出对称轴以及点M 坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP 左侧，L 的顶点就是最高点，当对称轴在MP 右侧，L 与MP 的交点就是最高点；(4)画出图形求出C ，D 两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【答案】解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，OM ＝x.OA ＝2x.∵OA·MP＝12， M 是OA 的中点，∴2x ·y ＝12，即xy ＝6； ∴k ＝xy ＝6.(2)当t ＝1时，令y ＝0，即0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x ＝1或－3. ∵点B 在点A 左边，∴B(－3，0)，A(1，0)． ∴AB ＝4，∴L 的对称轴是直线x ＝－1，M 的坐标为(12，0)，∵12－(－1)＝32， ∴MP 与L 对称轴之间的距离为32；(3)∵A(t，0)，B(t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.又∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，0， 当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t ＞4时，L 与MP 的交点为最高点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12（x －t ）（x －t ＋4），x ＝t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－t28＋t.即此时的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t 28＋t ；(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2.2．(2019天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数表达式；(其中k ，b 用含a 的式子表示)(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋32＝1；(2)∵直线l ：y ＝kx ＋b 过A(－1，0)，∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l ：y ＝kx ＋k. ∵CD ＝4AC ，点A 的横坐标为－1，∴点D 的横坐标为4，代入抛物线得y ＝5a ， ∴将(4，5a)代入y ＝kx ＋k 得k ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ；(3)如图①，过E 作EF∥y 轴交直线l 于F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，a x ＋a)，EF ＝ax 2－2ax －3a －ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25； (4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形．由(2)知，D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴设P(1，m)．①如图②，连接AP.若AD 是矩形ADPQ 的一条边，由中点公式可得12(x A ＋x P )＝12(x D ＋x Q )，解得x Q ＝－4，将x ＝－4代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝21a ，∴Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ 是矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD 2＋PD 2＝AP 2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，解得a 1＝77(不合题意，舍去)，a 2＝－77.∴P(1，－2677)；②如图③，若AD 是矩形APDQ 的对角线，由中点公式得12(x A ＋x D )＝12(x Q ＋x P )，解得：x Q ＝2，将x Q ＝2代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝－3a ，∴Q(2，－3a)，m ＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，解得a 1＝12(不合题意，舍去)，a 2＝－12. ∴P(1，－4)．综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2677或(1，－4)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4D ．82．（2015秋•怀柔区期末）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 3．如果两个数的和是负数，那么这两个数 A.同是正数B.同为负数C.至少有一个为正数D.至少有一个为负数4．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x+a （a ﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y ＝x 2﹣（a 2+1）x ﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（ ） A ．27B ．37C ．47D ．675．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①③④D ．①②③④6．如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE ，AB=AC ．给出下列结论：①BD=CE ；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④7．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为2110(014)2h t t t =-≤≤. 若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ） A ．042a ≤≤B ．050a ≤<C ．4250a ≤<D ．4250a ≤≤8．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BI 、BD 、DC ．下列说法中错误的一项是（ ）A.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C.∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D.线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合 9．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．“世界杯新秀”姆巴佩发点球 100%进球 B ．任意购买一张车票，座位刚好挨着窗口 C ．三角形内角和为 180° D ．叙利亚不会发生战争10．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝A ．112.5°B ．105°C ．90°D ．82.5°11．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么，有下列说法：①△EBA 和△EDC 一定是全等三角形；②△EBD 是等腰三角形，EB ＝ED ；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如果点（﹣2，6）在反比例函数ky x=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ） A ．（3，4） B ．（﹣3，﹣4）C ．（6，2）D ．（﹣3，4）二、填空题13．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为_____．14．分解因式：22x y -=_______________. 15．如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，那么它的侧面积等于_______2cm ． 16．一个n 边形的每一个外角都是60°，则这个n 边形的内角和是________ 17．某社区对寒假期间参加社区活动的部分学生的年龄进行统计，结果如下表：则这些学生的年龄的众数是___．18．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y 1＝kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2＝cx（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是_____．三、解答题19．解方程：1112x xx x-+-=．20．如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C，A的仰角分别为22°，70°．求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．22．我市为了节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费为更好地决策，自来水公司在某街道随机抽取了部分用户的用水量数据，按A，B，C，D，E五个区间进行统计，并将统计结果绘制如下两幅不完整的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(说明：A：0﹣3吨；B：3﹣6吨；C：6﹣9吨；D：9﹣12吨；E：12﹣16吨，且每组数据区间包括右端的数但不包括左端的数)(1)这次随机抽样调查了_____用户(2)补全频数分布直方图，求扇形统计图中B部分的圆心角的度数；(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户9吨，那么该街道1.8万用户中约有多少用户的用水全部享受基本用水量的价格？23．（1）计算：201)3tan30|1π︒-++-．（2）解不等式组：3(2)4 2113x xxx-->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．24．第一个盒子中有2个白球，1个黄球，第二个盒子中有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同，分别从每个盒中随机取出一个球．（1）求取出的两个球中一个是白球，一个是黄球的概率；（2）若第一个盒子中有2个白球，1个黄球，第二个盒子中有1个白球，1个黄球，其他条件不变，则取出的两个球都是黄球的概率为________．25．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为9元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少4件，(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)日销售利润不低于960元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？(3)工作人员在统计的过程中发现，有连续两天的销售利润之和为1980元，请你算出是哪两天．【参考答案】***一、选择题二、填空题 13．503cm 214．(x+y)(x-y) 15．18π 16．720° 17．15岁．18．﹣3＜x ＜0或x ＞2． 三、解答题 19．x ＝﹣3 【解析】 【分析】两边都乘以2x 化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，最后代入最简公分母检验即可得； 【详解】解：方程两边都乘以2x ，得 2（x ﹣1）﹣（x+1）＝2x 2x ﹣2﹣x ﹣1＝2x ﹣x ＝3 x ＝﹣3检验：把x ＝﹣3代入2x ＝﹣6≠0， ∴原方程的解为：x ＝﹣3． 【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤． 20．59米 【解析】 【分析】在△CED 中，得出DE ，在△CFD 中，得出DF ，进而得出EF ，列出方程即可得出建筑物AB 的高度． 【详解】解：在Rt △CED 中，∠CED=58°， ∵tan58°=CDDE， ∴DE=58CD tan =2058tan ，在Rt △CFD 中，∠CFD=22°，∵tan22°=CDDF， ∴DF=22CD tan =2022tan ，∴EF=DF-DE=2022tan -2050tan ，同理：EF=BE-BF=45AB tan -70ABtan ，∴45AB tan -70AB tan =2022tan -2050tan ，解得：AB≈59（米），答：建筑物AB 的高度约为59米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 21．（1）详见解析；（2）26. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB ＝∠CBD ，根据角平分线定义得到∠ABD ＝∠CBD ，等量代换得到∠ADB ＝∠ABD ，根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AB ，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE ＝90°，等量代换得到∠CDE ＝∠E ，根据等腰三角形的判定得到CD ＝CE ＝BC ，根据勾股定理得到DE ＝6，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠ABD ， ∴AD ＝AB ， ∵BA ＝BC ， ∴AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵BA ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形； （2）解：∵DE ⊥BD ，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．(1)100；(2)补图见解析；72°；(3)1.224万户．【解析】【分析】(1)根据A区间的用户数和所占的百分比可以求得这次抽查的用户数；(2)根据(1)中的结果和频数分布直方图可以求得B区间的人数，从而可以将直方图补充完整，进而求得扇形统计图中B部分的圆心角的度数；(3)根据直方图中的数据可以计算出该街道1.8万用户中约有多少用户的用水全部享受基本用水量的价格．【详解】(1)这次随机抽样调查了：10÷10%＝100(户)，故答案为：100；(2)根据题意，B区间用户数为：100﹣10﹣38﹣24﹣8＝20(户)补全的频数分布直方图如图所示，扇形统计图中B部分的圆心角的度数是：360°×20100＝72°；(3)根据题意，1.8×102038100++＝1.224(万户)．答：该街道1.8万用户中约有1.224万户的用水全部享受基本价格．【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．(1)1;(2) 1＜x＜4．【解析】【分析】（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．（2）分别求出不等式的解集，即可解答【详解】解：（1）原式＝﹣1+1+3×3+1＝1；（2）3(2)42113x xxx-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：x＞1，由②得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点睛】此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键24．（1）12（2）16【解析】【分析】(1) 找出1个白球、1个黄球所占结果数,然后根据概率公式求解（2)先计算出所有60种等可能的结果数,再找出2个球都是黄球所占结果数,然后根据概率公式求解; 【详解】（1）记第一个盒子中的球分别为白1､白2､黄1，第二个盒子中的球分别为白3､黄2，由列举可得：(白1白3)､(白2白3)､(黄1白3)､(白1黄2)､(白2黄2)､(黄1黄2)，共6种等可能结果，即n＝6，记“一个是白球，一个是黄球”为事件A，共3种，即m＝3，∴P(A)＝12；（2）画树状图为如下，则共有6种等可能的结果数,其中2个球都是黄球占1种所以取出的2个球都是黄球的概率=16．【点睛】此题考查了列表法和画树状图，解题关键在于列出可能出现的结果25．（1）20(018)4432(1830)x xyx x＜≤≤⎧=⎨-+≤⎩；（2）试销售期间，日销售最大利润是1080元；（3）连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．【解析】【分析】（1）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第23天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少4件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D 的坐标，此题得解；（2）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于960元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润;(3) 设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元,据此列出方程，根据取值范围解答即可. 【详解】（1）20(018),4432(1830).x xyx x≤≤⎧=⎨-+≤⎩＜（2）当0≤x≤18时，根据题意得，（9﹣6）×20x≥960，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得，（9﹣6）×（－4x＋432）≥960，解得：x≤28．∴16≤x≤28． 28－16＋1＝13（天），∴日销售利润不低于960元的天数共有13天．由20x＝－4x＋432解得，x＝18，当x＝18时，y＝20x＝360，∴点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×（9－6）＝1080（元），∴试销售期间，日销售最大利润是1080元．（3）设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元．∵1980÷（9﹣6）＝660＜340×2，∴x＜17，或x＋1＞23，当x＜17时，根据题意可得20x＋20（x＋1）＝660，解得x＝16，符合，当x＋1＞23时，－4x＋432－4（x＋1）＋432＝660，解得x＝25，符合，∴连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点（1x ，0），（2x ，0），且﹣1＜1x ＜0＜2x ，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＞a+c ；③a+b ＞k （ka+b ）（k 为常数，且k≠1）；④2c ＜3b ；⑤若抛物线顶点坐标为（1，n ），则2b ＝4a （c ﹣n ），其中正确的结论有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．23．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米． A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1094．如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E 、点F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ，连接AO ，则下列结论正确的是( )A.AO 平分∠EAFB.AO 垂直EFC.GH 垂直平分EFD.AO=OF5．下列计算正确的是（ ） A ．236a a a ⨯=B ．236a a a +=C ．()326a a = D ．33a a a ÷=6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（ ）A.48°B.42°C.34°D.24°7．抛物线y ＝x 2向下平移一个单位，向左平移两个单位，得到的抛物线关系式为（ ） A ．y ＝x 2+4x+3B ．y ＝x 2+2x ﹣1C ．y ＝x 2+2xD ．y ＝x 2﹣4x+38．如图，四边形ACBD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，点E 是DB 延长线上的一点，且∠DCE ＝90°，DC 与AB 交于点G ．当BA 平分∠DBC 时，BDDE的值为（ ）A ．12B ．13C ．D ．9．如图，AB AC 、都是圆O 的弦，OM AB ON AC ⊥⊥，，垂足分别为M N 、，如果MN =，那么BC =（ ）A ．3B C ．D ．10．如图,在矩形ABCD 中,点F 在AD 上,射线BF 交AC 于点G,交CD 的延长线于点E,则下列等式正确的为( )A.AB EFED BF= B.AF ABBC CE= C.FG CGBG AG= D.FD EDBC CD= 11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正半轴，点D 是边BC 的中点，反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象经过B ，D ．若点C 的纵坐标为6，点D 的横坐标为3.5，则k 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1412．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝2，CE ＝6，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2.5BCD ．二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，点E ，F 分别在BC ，CD 上．若BE ＝3，∠EAF ＝45°，则DF 的长是_____．14．计算：（a 2）2=_____．15．计算：=_________。
河北省中考数学总复习 第二编 专题突破篇 专题6 二次函数与综合应用(精练)试题
专题六 二次函数与综合应用一、选择题1．(2017哈尔滨中考)抛物线y ＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－3的顶点坐标是( B )A .⎝⎛⎭⎪⎫12，－3 B .⎝⎛⎭⎪⎫－12，－3 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．(2017丽水中考)将函数y ＝x 2的图像用下列方法平移后，所得的图像不经过点A(1，4)的方法是( D )A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向上平移3个单位长度D ．向下平移1个单位长度3．(2017绵阳中考)将二次函数y ＝x 2的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图像与一次函数y ＝2x ＋b 的图像有公共点，则实数b 的取值范围是( D )A ．b ＞8B ．b ＞－8C ．b ≥8D ．b ≥－84．(2017南充中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)的图像如图所示，下列结论错误的是( D )A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b ＋c ＞3aD ．a ＜b(第4题图)(第5题图)5．(2017达州中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图，则一次函数y ＝ax －2b 与反比例函数y ＝c x 在同一平面直角坐标系中的图像大致是( C ),A ) ,B ),C ),D )6．已知二次函数y ＝x 2－x ＋a(a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是( B )A ．m －1的函数值小于0B ．m －1的函数值大于0C ．m －1的函数值等于0D ．m －1的函数值与0的大小关系不确定7．(2017考试说明)小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x 2－4x ＋5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是( C )A ．小明认为只有当x ＝2时，x 2－4x ＋5的值为1B ．小亮认为找不到实数x ，使x 2－4x ＋5的值为0C ．小梅发现x 2－4x ＋5的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D ．小花发现当x 取大于2的实数时，x 2－4x ＋5的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值8．(2017舟山中考)下列关于函数y ＝x 2－6x ＋10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任何实数，x ＝3＋n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n ＞3，且n 是整数，当n≤x≤n＋1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图像过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，其中a ＞0，b ＞0，则a ＜b.其中真命题的序号是( C )A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题9．(荆门中考)若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A(m ，n)，B(m ＋6，n)，则n ＝__9__．10．(兰州中考)如图所示，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，且点B 的坐标为(2，0)．若抛物线y ＝12x 2＋k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是__－2＜k ＜12__． 11．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行高度y(单位：m )与飞行时间x(单位：s )的关系满足y ＝－15x 2＋10x ，经过__50__s ，炮弹落在地上爆炸．12．(2017咸宁中考)如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c 的解集是__x ＜－1或x ＞4__．(第12题图)(第13题图)13．(2017乌鲁木齐中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论： ①abc ＜0；②10a＋3b ＋c ＞0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1＞y 2；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线都经过同一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ，0；⑤am 2＋bm ＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．14．(2017考试说明)定义[a ，b ，c]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－4m ，2m －1]函数的一些结论：①当m ＝12时，函数图像的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14；②当m ＝－1时，函数在x ＞1时，y 随x 增大而减小；③无论m 取何值，函数图像都经过同一个点．其中所有的正确结论为__①③__．(填写正确结论序号)三、解答题15．(2017孝感中考)在平面直角坐标系xOy 中，规定：抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的伴随直线为y ＝a(x －h)＋k.例如：抛物线y ＝2(x ＋1)2－3的伴随直线为y ＝2(x ＋1)－3，即y ＝2x －1.(1)在上面规定下，抛物线y ＝(x ＋1)2－4的顶点坐标为__(－1，－4)__，伴随直线为__y ＝x －3__；抛物线y ＝(x ＋1)2－4与其伴随直线的交点坐标为__(0，－3)__和__(－1，－4)__；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y ＝m(x －1)2－4m 与其伴随直线相交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，与x 轴交于点C ，D.①若∠CAB＝90°，求m 的值；②如果点P(x ，y)是直线BC 上方抛物线的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值274时，求m 的值．解：①∵抛物线表达式为y ＝m(x －1)2－4m ，∴其伴随直线为y ＝m(x －1)－4m ，即y ＝mx －5m ，联立抛物线与伴随直线的表达式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m （x －1）2－4m ，y ＝mx －5m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4m 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3m ，∴A(1，－4m)，B(2，－3m)，在y ＝m(x －1)2－4m 中，令y ＝0可解得x ＝－1或x ＝3， ∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC 2＝4＋16m 2，AB 2＝1＋m 2，BC 2＝9＋9m 2， ∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，即4＋16m 2＋1＋m 2＝9＋9m 2，解得m ＝22(抛物线开口向下，舍去)或m ＝－22， ∴当∠CAB＝90°时，m 的值为－22； ②设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－3m ，－k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－m ，b ＝－m. ∴直线BC 表达式为y ＝－mx －m ， 过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，如答图，∵点P 的横坐标为x ，∴P[x ，m(x －1)2－4m]，Q(x ，－mx －m)， ∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，∴PQ ＝m(x －1)2－4m ＋mx ＋m ＝m(x 2－x －2)＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，∴S △PBC ＝12×[(2－(－1)]PQ ＝32m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－278m ，∴当x ＝12时，△PBC 的面积有最大值－278m.∴S 取得最大值274时，即－278m ＝274，解得m ＝－2.16．(2017广安中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于点A(0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1.(1)求此抛物线的表达式以及点B 的坐标；(2)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M ，N 同时停止运动．过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t s .①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形；②当t ＞0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∵抛物线过A(0，3)，∴c ＝3，∴抛物线表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， 令y ＝0可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∴B 点坐标为(3，0)；(2)①由题意可知ON ＝3t ，OM ＝2t ，∵P 在抛物线上，∴P(2t ，－4t 2＋4t ＋3)，∵四边形OMPN 为矩形，∴ON ＝PM ，∴3t ＝－4t 2＋4t ＋3，解得t ＝1或t ＝－34(舍去)，∴当t 的值为1时，四边形OMPN 为矩形；②∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA ＝OB ＝3，且可求得直线AB 表达式为y ＝－x ＋3，∴当t ＞0时，OQ ≠OB.∴当△BOQ 为等腰三角形时，有OB ＝QB 或OQ ＝BQ 两种情况，由题意可知OM ＝2t ，∴Q(2t，－2t ＋3)，∴OQ ＝（2t ）2＋（－2t ＋3）2＝8t 2－12t ＋9，BQ ＝（－2t ＋3）2＋（－2t ＋3）2＝2|2t －3|，又由题意可知0＜t ＜1，当OB ＝QB 时，则有2|2t －3|＝3，解得t ＝6＋324(舍去)或t ＝6－324；当OQ ＝BQ 时，则有8t 2－12t ＋9＝2|2t －3|，解得t ＝34.综上可知，当t 的值为6－324或34时，△BOQ 为等腰三角形．17．(河北中考)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元)与x 满足关系式y ＝110x 2＋5x ＋90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲、p 乙(万元)均与x 满足一次函数关系．(注：年利润＝年销售额－全部费用)(1)成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，p 甲＝－120x ＋14，请用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲(万元)与x 之间的函数关系式；(2)成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，p 乙＝－110x ＋n(n 为常数)，且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；(3)受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据(1)、(2)中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ]解：(1)甲地当年的年销售额为⎝ ⎛⎭⎪⎫－120x 2＋14x 万元；w 甲＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120x 2＋14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2＋5x ＋90＝－320x 2＋9x －90；(2)在乙地区生产并销售时，年利润w 乙＝－110x 2＋nx －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2＋5x ＋90＝－15x 2＋(n －5)x －90.由4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15×（－90）－（n －5）24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝35，解得n ＝15或－5.经检验，n ＝－5不合题意，舍去，∴n ＝15；(3)在乙地区生产并销售时，年利润w 乙＝－15x 2＋10x －90，将x ＝18代入上式，得w 乙＝25.2(万元)；将x ＝18代入w 甲＝－320x 2＋9x －90，得w 甲＝23.4(万元)．∵w 乙＞w 甲，∴应选乙地．。
河北省中考数学复习二次函数第17讲二次函数的变化试题(含解析)
第 17 讲二次函数的变化1.(2013 ，河北 ) 如，一段抛物： y＝－ x(x －3)(0 ≤ x≤ 3) ， C1，它与 x 交于点 O，A1；将 C1点 A1旋 180°得 C2，交 x 于点 A2；将 C2点 A2旋 180°得 C3，交 x 于点 A3；⋯⋯这样行下去，直至得C13. 若 P(37 ，m)在第 13 段抛物 C13上， m＝ 2 .第 1【分析】依据已知剖析A1，A2，A3，⋯各点的横坐与 A的下的关系，得出A12(3×12，0)， A13(3×13，0)．再察所形可知函数象的张口向上或向下的律：形序号奇数张口向下，偶数张口向上，C13的张口向下．由两点式得出第13段的函数分析式y＝－( x－36)( x－39)．当 x＝37， y＝－(37－36)×(37－39)＝2.∴ m＝2.2. (2014 ，河北，学号5892921) 如， 2×2网格 ( 每个小正方形的1) 中有 A，B，C， D，E， F， G，H， O九个格点．抛物l 的分析式y＝ ( － 1) n x2＋bx＋ c(n 整数 ) ．(1)n奇数，且l 点 H(0 ， 1) 和 C(2， 1) ，求 b，c 的，并直接写出哪个格点是抛物的点；(2)n偶数，且l 点 A(1 ， 0) 和 B(2 ， 0) ，通算明点F(0 ， 2) 和 H(0， 1) 能否在抛物上；(3)若 l 九个格点中的三个，直接写出全部足条件的抛物条数．第 2【思路剖析】(1) 依据－ 1 的奇数次方等于－1，再把点H，C的坐代入抛物的分析式算即可求出b，c 的，而后把抛物的分析式整理成点式形式，写出点坐即可．(2)依据－ 1 的偶数次方等于1，再把点A，B的坐代入抛物的分析式算即可求出b，c 的，而把 x＝0代入抛物的分析式求出y 的行判断．(3) 分利用 (1)(2)中的，将抛物平移，能够确立抛物的条数．解： (1) 当 n 奇数， y＝－ x2＋bx＋ c.∵l点 H(0 ， 1) 和 C(2 ， 1) ，c＝ 1，∴－4＋ 2b＋c＝ 1.b＝ 2，解得c＝ 1.22∴抛物线的分析式为y ＝－ x ＋ 2x ＋ 1，即 y ＝－ (x －1) ＋ 2.(2) 当 n 为偶数时， y ＝ x 2＋ bx ＋ c.∵ l 经过点 A(1 ， 0) 和 B(2 ， 0) ，1＋ b ＋c ＝ 0， ∴4＋ 2b ＋c ＝ 0.b ＝－ 3， 解得c ＝ 2.∴抛物线的分析式为y ＝ x 2－ 3x ＋2.当 x ＝ 0 时， y ＝ 2，∴点 F(0 ， 2) 在抛物线上，点 H(0， 1) 不在抛物线上．(3) 全部知足条件的抛物线共有8 条．当 n 为奇数时，由 (1) 中的抛物线平移又获得3 条抛物线，如答图①所示； 当 n 为偶数时， 由 (2) 中的抛物线平移又获得3 条抛物线， 如答图②所示．第 2题答图抛物线的平移例 1 (2018 ，唐山古冶区一模 ) 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 m ： y ＝－ 2x 2－ 2x 的极点为 C ，与 x 轴的两个交点为 P ，O.现将抛物线 m 先向下平移再向右平移，使点C 的对应点 C ′落在 x 轴上，点 P 的对应点 P ′落在 y 轴上，则以下各点的坐标不正确的选项是 ( B)例1题图1 1 C ′(1 ，0)C. P ( －1，0)D. P ′ 0，－1A. C －，B.2222＋1211 1【分析】 ∵ y ＝－ 2x － 2x ＝－ 2x ( x ＋ 1) ＝－ 2 x 2 ＋2，∴ P ( －1，0) ，C － ，2 . 又2 ∵将抛物线 先向下平移再向右平移，使点 C 的对应点 ′落在 x 轴上，点 P 的对应点 ′落mCP在 y 轴上，∴该抛物线向下平移了112个单位长度，向右平移了1， 0，个单位长度．∴ C ′ 212P ′0，－，济南平阴县二模 ) 把抛物线 y ＝－ 2x ＋ 4x ＋ 1 向左平移2 个单2 . 针对训练 1 (2018位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得的抛物线的分析式是 ( C)A. y ＝－ 2( x － 1) 2＋ 6B. y ＝－ 2( x － 1) 2－ 6C. y ＝－ 2( x ＋ 1) 2＋ 6D. y ＝－ 2( x ＋ 1) 2－ 6【分析】 原抛物线的极点坐标为 (1 ， 3) ，向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度获得新抛物线的极点坐标为( － 1， 6) ．所以新抛物线的分析式为 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 ＋6.一、 选择题1. (2018 ，哈尔滨 ) 将抛物线 y ＝－ 5x 2＋ 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所获得的抛物线为( A)A. y ＝－ 5( x ＋ 1) 2－ 1B. y ＝－ 5( x － 1) 2－ 1C. y ＝－ 5( x ＋ 1) 2＋ 3D. y ＝－ 5( x － 1) 2＋ 3【分析】 将抛物线y ＝－ 5 2＋1 向左平移 1 个单位长度，获得 y ＝－ 5( x ＋ 1) 2＋ 1，再向x下平移 2 个单位长度，所获得的抛物线为y ＝－ 5( x ＋ 1) 2－ 1.122. 将抛物线 y ＝ 2x － 6 x ＋ 21 向左平移 2 个单位长度后，获得新抛物线的分析式为( D)1 2 1 2 A. y ＝ 2( x －8) ＋ 5 B. y ＝ 2( x －4) ＋ 51 21 2 C. y ＝ 2( x －8) ＋ 3D. y ＝ 2( x －4) ＋ 31 2121 212【分析】 y ＝ 2x － 6x ＋ 21＝ 2( x － 12x ) ＋ 21＝2( x － 6) ＋ 3. 故抛物线y ＝ 2( x － 6) ＋ 3 向左平移 2 个单位长度后，获得新抛物线的分析式为y ＝1( x －4) 2＋ 3.23. (2018 ，广安 ) 抛物线 y ＝ ( x － 2) 2－ 1 能够由抛物线 y ＝ x 2 平移而获得， 以下平移正确的选项是 ( D)A. 先向左平移 2 个单位长度，而后向上平移 1 个单位长度B. 先向左平移 2 个单位长度，而后向下平移 1 个单位长度C. 先向右平移 2 个单位长度，而后向上平移1 个单位长度D. 先向右平移 2 个单位长度，而后向下平移 1 个单位长度【分析】 抛物线 y ＝ x 2 的极点坐标为 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝( x － 2) 2－ 1 的极点坐标为 (2 ，－ 1) ， 则抛物线 y ＝ x 2 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度获得抛物线y ＝ ( x － 2) 2－ 1.4. (2018 ，邵阳模拟 ) 抛物线 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 先向右平移 5 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，获得的抛物线的分析式为 y ＝－ 3( x －1) 2＋ 4，则抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 的极点坐标是 ( C)A. (6 ， 3)B. (6 ，5)C. ( －4，3)D. ( －4，5)【分析】 ∵抛物线 y ＝－ 3( x －1) 2＋ 4 的极点坐标是 (1 ， 4) ，∴抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的极点坐标是 (1 －5， 4－ 1) ，即 ( － 4，3).5. (2018 ，上海黄浦区一模 ) 若将抛物线向右平移 2 个单位长度后，所得抛物线的分析式为 y ＝ 2x 2，则原抛物线的分析式为 ( C)A. y ＝ 2x 2＋ 2B. y ＝ 2x 2－ 2C. y ＝ 2( x ＋2) 2D. y ＝2( x － 2) 2物线 y ＝2x 2 向左平移 2 个单位长度可获得原抛物线．∴原抛物线的分析式为y ＝ 2( x ＋2) 2.6. (2018 ，绍兴上虞区模拟 ) 将如下图的抛物线先向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，经此变换后的抛物线的分析式为( A)第6题图3 2B.32＋2A. y ＝－ ( x － 3) ＋ 2y ＝－ ( x － 1)44222 2C. y ＝－ 3( x － 3) ＋ 2D. y ＝－ 3( x － 1) ＋2【分析】由题意，可得原抛物线的极点坐标为(2 ， 4) ，且经过点 (0 ， 1) ．设原抛物线的 分析式为y ＝ ( － 2a3 y3x －2) 22) ＋4，则 1＝4 ＋4. 解得＝－ . 故原抛物线的分析式为＝－ (a xa44＋ 4. 将抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，经此变换后的抛物线的分析式为y3－ 3)2＝－ (＋ 2.4x7. (2018 ，兴安盟模拟，导学号5892921) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝ 1 2 经y 3x28过平移获得抛物线 y ＝ ax ＋ bx ，其对称轴与两条抛物线所围成的暗影部分的面积为3，则 a ，b的值分别为 ( C)第7题图 A.1 4 B.18 C. 1 4 D.1 43， 33，－33，－3－3，3【分析】 ∵抛物线12 经过平移获得抛物线＝ 2＋，∴＝ 1 ＝212 y ＝y ax bx a . ∴ax ＋bx ＝3x3 y3x1 3b23b 2A 的坐标为 －3b，－3b 2. 如答图，过点A 作＋ bx ＝x ＋－ . ∴平移后抛物线的极点2 43243b 3b 284AB ⊥ y 轴于点 B ，则暗影部分的面积等于矩形ABOC 的面积，即－ · 4 ＝ 3. 解得 b ＝－ 3.2第 7题答图8. (2018 ，达州二模，导学号 5892921) 已知抛物线 C ： y ＝x 2＋ 2x － 3，将抛物线 C 平移得 到抛物线 C ′. 假如两条抛物线对于直线x ＝ 1 对称，那么以下说法正确的选项是( B)A. 将抛物线 C 沿 x 轴向右平移 5C ′ 2个单位长度获得抛物线 B. 将抛物线 C 沿 x 轴向右平移 4 个单位长度获得抛物线 ′CC. 将抛物线 C 沿 x 轴向右平移 7C ′ 2个单位长度获得抛物线 D. 将抛物线 C 沿 x 轴向右平移 6 个单位长度获得抛物线 C ′【分析】 ∵抛物线 C ： y ＝ x 2＋ 2x － 3＝ ( x ＋ 1) 2－ 4，∴抛物线 C 的对称轴为 x ＝－ 1. ∴抛物线 C 与 y 轴的交点为 (0 ，－ 3) ．∴与点 A 对于对称轴x ＝－ 1 对称的点是 ( －2，－ 3) ．若A B将抛物线 C 平移获得 C ′，而且 C ， C ′对于直线 x ＝ 1 对称，就是要将点 B 平移后与点 A 对于直线 x ＝1 对称，则点 B 平移后的坐标应为 (2 ，－ 3) ．所以将抛物线 C 向右平移 4 个单位长度．9. (2018 ，天津二模 ) 已知二次函数 y ＝－ x 2－ 4x －5，左、右平移该抛物线，极点恰巧落在正比率函数 y ＝－ x 的图象上，则平移后的抛物线的分析式为 ( D)A. y ＝－ x 2－4 －1B. y ＝－ x 2－4 －2xxC. y ＝－ x 2＋ 2x － 1D. y ＝－ x 2＋ 2x － 2【分析】 ∵y ＝－ x 2－ 4x － 5＝－ ( x ＋ 2) 2－ 1，∴极点坐标是 ( － 2，－ 1) ．由题意，知平移后极点的横、纵坐标互为相反数．∵平移时，极点的纵坐标不变，∴平移后的极点坐标为(1 ，－ 1) ，∴函数的分析式是y ＝－ ( x － 1) 2－ 1＝－ x 2＋ 2x － 2.二、 填空题10. (2018 ，莆田秀屿区模拟 ) 假如将抛物线y ＝ x 2－ 2x －1 向上平移，使它经过点A (0 ，3) ，那么所得新抛物线的分析式是y ＝ x 2－ 2x ＋3 .【分析】 设平移后的抛物线的分析式为y ＝ x 2－ 2x － 1＋b . 把 A (0 ， 3) 的坐标代入，得 3＝－ 1＋b . 解得 b ＝4. ∴所得新抛物线的分析式是y ＝ x 2－2x ＋ 3.11. (2018 ，上海徐汇区一模 ) 已知抛物线 C 的极点坐标为 (1 ， 3) ．假如抛物线 C 平移后1 2 1 2能与抛物线 y ＝ 2x ＋2x ＋ 3 重合，那么抛物线C 的分析式是（y ＝2( x － 1) ＋3 ） .212【分析】 设抛物线 C 的分析式为 y ＝ a ( x － h ) ＋ k . ∵抛物线 C 平移后能与抛物线 y ＝ 2x ＋2x＋ 3 重合，∴ a 1 C 的极点坐标为 (1 ，3) ，∴抛物线 C 的分析式是 y1 x － 1) 2＝ . ∵抛物线 ＝ ( ＋ 3.2 2 12. (2018 ，哈尔滨松北区一模 ) 抛物线 y ＝－ 2x 2＋4kx ＋ 2 向右平移 2 个单位长度后，顶点的横坐标是 4，则 k 的值为 2 .【分析】 y ＝－ 2x 2＋ 4kx ＋ 2＝－ 2( x － k ) 2 ＋ 2k 2＋2. ∵抛物线 y ＝－ 2x 2＋ 4kx ＋ 2 向右平移2 个单位长度后，极点的横坐标是 4，∴ k ＋ 2＝ 4. 解得 k ＝ 2.13. (2018 ，上海奉贤区一模 ) 假如抛物线 y ＝2x 2 与抛物线 y ＝ ax 2 对于 x 轴对称，那么 a 的值是 －2 .【分析】 ∵抛物线 y ＝ 2x 2与抛物线 y ＝ ax 2 对于 x 轴对称，∴两抛物线张口大小同样，方向相反．∴ a ＝－ 2.14. (2018 ，大庆一模 ) 把二次函数＝2 2 － 4 ＋ 3 的图象绕原点旋转 180°后获得的图象的分析式为y＝－ 2 2－4 －3 .xx【分析】 ∵抛物线 y ＝ 2x 2－ 4x ＋3＝ 2( x －1) 2＋ 1 的极点坐标为 (1 ， 1) ，∴绕原点旋转180°后的抛物线的极点坐标为 ( － 1，－ 1) ．∴所获得的图象的分析式为y ＝－ 2( x ＋ 1) 2－ 1，即 y ＝－ 2x 2－ 4x － 3.三、 解答题1 2315. (2018 ，宁波 ) 已知抛物线 y ＝－ 2x ＋ bx ＋ c 经过点 (1 ， 0) ， 0， 2 .(1) 求该抛物线的分析式；1 2(2) 将抛物线 y ＝－ 2x ＋ bx ＋ c 平移，使其极点恰巧落在原点，请写出一种平移的方法及 平移后的图象的分析式．【思路剖析】 (1) 把已知点的坐标代入抛物线的分析式求出 b 与 c 的值即可． (2) 指出知足题意的平移方法，并写出平移后的图象的分析式即可．31＝－ 1，解： (1) 把(1， 0) ， 0， 代入该抛物线的分析式，得－ 2＋ b ＋ c ＝ 0，b2 解得33 c ＝ .c ＝ .221 2 3 ∴该抛物线的分析式为y ＝－ 2x －x ＋ 2.12312(2) 该抛物线的分析式为 y ＝－ 2x － x ＋ 2＝－ 2( x ＋ 1) ＋ 2.将抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后的图象的分析式为 y ＝－ 1x 2.216. (2018 ，南京玄武区模拟 ) 已知二次函数的图象如下图． (1) 求这个二次函数的分析式；(2) 将该二次函数的图象向上平移3 个单位长度后恰巧过点 ( － 2，0) ；(3) 察看图象，当－ 2＜ x ＜ 1 时， y 的取值范围为－4≤ y ＜0 .第16题图【思路剖析】 (1) 设二次函数的分析式为极点式，把极点( － 1，－ 4) 和点 (1 ， 0) 的坐标分别代入，可得答案．(2) 依据平移规律，可得答案．(3) 察看图象，求得－2<x <1 时的最值，可得答案．解： (1) 设 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋k .∵图象的极点坐标为 ( －1，－ 4)， ∴y ＝ a ( x ＋1) 2－ 4.将(1 ， 0) 代入，得 0＝a ·(1 ＋ 1) 2－ 4. 解得 a ＝ 1.∴ y ＝ ( x ＋ 1) 2 －4. (2)3(3) －4≤ y ＜01. (2018 ，上海宝山区一模 ) 如，假如把抛物y＝x2沿直y＝x向上方平移 2 2个位度后，其点在直y＝ x 上的点 A ，那么平移后的抛物的分析式是( D)第 1A. y＝ ( x＋22) 2＋22B. y＝( x＋ 2) 2＋ 2C. y＝ ( x－22) 2＋22D. y＝ ( x－ 2) 2＋ 2【分析】如答，点 A 作 AB⊥ x 于点 B.∵直 y＝ x 与 x 的角∠ AOB 45°，＝2 2，∴＝· cos ∠＝2 2×2·sin ∠＝2 2×2A的＝2，＝＝2. ∴点OA OB OA AOB2AB OA AOB2坐 (2 ， 2) ．∴平移后的抛物的分析式是y＝( x－2)2＋2.第 1答－x（ x－4）（0≤x＜2），2. (2018，林州一模，学号5892921) 如，函数y＝的－2x＋ 8（2≤x≤4）象 C1，它与 x 交于点O和点 A1；将 C1点 A1旋180°得 C2，交 x 于点 A2；将 C2点 A2旋180°得 C3，交 x 于点 A3⋯⋯这样行下去．若点P(103，m)在象上，m的是( C)第 2A. －2B. 2C. －3D. 4【分析】∵103＝25×4＋ 3，∴点P(103 ，m) 在象C26上．易知象C26中的抛物部分的分析式y ＝ (－ 100)(x－ 104)(102<x≤104) ．当x＝ 103，＝3×( － 1) ＝－ 3.x m。
2019河北中考数学 课题16 利用二次函数解决实际问题(可编辑PPT)
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?
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答案 (1)当1≤x<50时,
y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2 000; 当50≤x≤90时, y=(200-2x)(90-30)=-120x+12 000. 综上所述,
∴拱门的最大高度为200米.
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题型二
考查利用二次函数解决最大(小)值问题
该题型主要考查利用二次函数解决最大(小)值问题,如图形的最大面积、图 形的最小周长、销售问题中的最大利润等,解决这类问题时,先确定与之有关 的二次函数表达式,从而把问题转化为求二次函数的最大(小)值问题.
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典例2 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤9
0)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x(天) 售价(元/件) 每天销量(件) 1≤x<50 x+40 200-2x 50≤x≤90 90
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元. (1)求出y与x的函数关系式;
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变式训练1 (2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高15
0米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为 ( C )
A.100米 B.150米 C.200米 D.300米
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答案 C
以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标
当50≤x≤90时,∵y随x的增大而减小, ∴当x=50时,y最大值=6 000. ∵6 000<6 050, ∴第45天时,该商品当天销售利润最大,最大利润是6 050元. (3)当1≤x<50时,由-2x2+180x+2 000=4 800, 解得x1=20,x2=70. ∴当20≤x<50时,每天的销售利润不低于4 800元.
2021年春人教版河北省数学九年级中考《二次函数的应用》专题复习
第六节二次函数的应用1.(2018·河北中考)如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18 m，与y轴交于点B，与滑道y＝kx(x≥1)交于点A，且AB＝1 m．运动员(看成点)在BA方向获得速度v m/s后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h(m)与飞出时间t(s)的平方成正比，且t＝1时h＝5；M，A的水平距离是vt m.(1)求k，并用t表示h；(2)设v＝5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式(不写x的取值范围)，及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5 m/s、v乙m/s.当甲距x轴1.8 m，且乙位于甲右侧超过4.5 m的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．2.(2020·沧州青县二模)“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x 元，一天可售出(8－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为()A．1 B．2 C．3 D．4这两种产品的销售单价(每千克的售价)之和为80元，经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x(元)，在公司规定30≤x≤60的范围内，甲种产品的月销售量y1(kg)符合y1＝－2x＋150，乙种产品的月销售量y2(kg)与它的销售单价成正比例，当乙产品销售单价为30元(即80－x＝30)时，它的月销售量是30 kg.(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？(销售利润＝销售额－生产成本费)(3)是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．4．(2020·石家庄市模拟)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？(3)该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ的面积最大？7．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动．当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.8．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？9.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高 6 m，在长度为8 m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5 m．(1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高 3 m的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3 m)，行车道最宽可以铺设多少米？10．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－32t2.飞机着陆后滑行s才能停下来；在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是 m.11．某幢建筑物，从5 m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M离墙 1 m，离地面203m，则水流下落点B离墙距离OB是m.12．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5D．篮球出手时离地面的高度是2 m13．在高尔夫球训练中，运动员距球洞10 m处击球，其飞行路线满足抛物线y＝－15x2＋b5x，如图所示，其中球飞行高度为y(m)，球飞行的水平距离为x(m)，球落地距球洞的水平距离为2 m.(1)求b的值；(2)若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？求抛物线的解析式；(3)若距球洞4 m处有一横放的1.2 m高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线y＝－15x2＋b5x，要使球越过球网，又不超过球洞(刚好进洞)，求b的取值范围．14.如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长是多少？(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．15．(2020·石家庄市模拟)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为60 m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则16．(2020·河北模拟)工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，则裁掉的正方形边长多大时，总费用最低？最低为多少？二次函数的应用1.(2018·河北中考)如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18 m，与y轴交于点B，与滑道y＝kx(x≥1)交于点A，且AB＝1 m．运动员(看成点)在BA方向获得速度v m/s后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h(m)与飞出时间t(s)(2)设v ＝5.用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式(不写x 的取值范围)，及y ＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5 m /s 、v 乙 m /s .当甲距x 轴1.8 m ，且乙位于甲右侧超过4.5 m 的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．解：(1)由题意，得点A(1，18)，代入y ＝k x ，得18＝k1 ，∴k ＝18.设h ＝at 2，由t ＝1时，h ＝5，得a ＝5.∴h ＝5t 2；(2)∵v＝5，AB ＝1，∴x ＝5t ＋1.∵h ＝5t 2，OB ＝18，∴y ＝－5t 2＋18.由x ＝5t ＋1，得t ＝15(x －1).∴y ＝－15(x －1)2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或y ＝－15x 2＋25x ＋895 . 当y ＝13时，13＝－15(x －1)2＋18，∴x ＝6或－4.∵x ≥1，∴只取x ＝6.把x ＝6代入y ＝18x，得y ＝3.∴运动员与正下方滑道的竖直距离是 13－3＝10(m )；(3)t ＝1.8；v 乙＞7.5.[把y ＝1.8代入y ＝－5t 2＋18，得t 2＝3.24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫即8125 . ∴t ＝±1.8(舍去负值).∴x＝10.∴甲为(10，1.8)，恰好落在滑道y ＝18x上．此时乙为(1＋1.8v 乙，1.8).由题意，得1＋1.8v 乙－(1＋5×1.8)＞4.5， ∴v 乙＞7.5.]2.(2020·沧州青县二模)“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利xA．1 B．2 C．3 D．43.(2020·承德市二模)某公司生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元，物价部门规定，这两种产品的销售单价(每千克的售价)之和为80元，经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x(元)，在公司规定30≤x≤60的范围内，甲种产品的月销售量y1(kg)符合y1＝－2x＋150，乙种产品的月销售量y2(kg)与它的销售单价成正比例，当乙产品销售单价为30元(即80－x＝30)时，它的月销售量是30 kg.(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？(销售利润＝销售额－生产成本费)(3)是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．解：(1)∵甲种产品的销售单价为x元，乙种产品的销售单价为(80－x)元，∴设y2与x之间的函数关系式为y2＝k(80－x).∵当80－x＝30时，y2＝30，∴30＝30k.∴k＝1.∴y2与x之间的函数关系式为y2＝80－x；(2)设月销售利润为w元，则w＝(x－30)(－2x＋150)＋(80－x－20)(80－x)＝－(x－35)2＋1 525，∵－1＜0，∴当x＝35时，w取得最大值，此时w＝1 525，80－x＝45.∴甲种产品的销售单价定为35元，乙种产品的销售单价定为45元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1 525元；(3)不是月销售额越大月销售利润也越大．理由：设月销售额为z，则z＝x(－2x＋150)＋(80－x)(80－x)＝－(x＋5)2＋6 425.∵－1＜0，∴当x＞－5时，z随x的增大而减小．∴在公司规定30≤x≤60的范围内，当x＝30时，月销售额最大．由(2)知，当x＝35时，月销售利润最大，∴不是月销售额越大月销售利润也越大．4．(2020·石家庄市模拟)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？y与x的函数关系式为y＝(20＋2x)(60－40－x)＝－2x2＋20x＋400；(2)当y＝400时，即－2x2＋20x＋400＝400.解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去).∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；(3)该专卖店不可能平均每天盈利600元．理由：当y＝600时，即－2x2＋20x＋400＝600.整理，得x2－10x＋100＝0.∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴上述方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元．2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？解：(1)w与x之间的函数关系式为w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)，即w＝－x2＋90x－1 800；(2)由题意，得w＝－x2＋90x－1 800＝－(x－45)2＋225.∵－1＜0，30≤x≤60，∴当x＝45时，w有最大值，最大值是225.答：这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元；(3)当w＝200时，即－x2＋90x－1 800＝200.解得x1＝40，x2＝50.∵50＞42，∴x2＝50不符合题意，舍去．∴x＝40.答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始度向点C 移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．(1)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ 的面积最大？解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.由题意，得12×2x (5－x )＝4.解得x 1＝1，x 2＝4.∵当x ＝4时，2x ＝8＞7，不合题意，舍去，∴1 s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2；(2)设x s 后，PQ 的长度等于5 cm.由题意，得(5－x )2＋(2x )2＝52.解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴2 s 后，PQ 的长度等于5 cm ；(3)设x s 后，△PBQ 的面积等于y cm 2.由题意，得y ＝12×2x (5－x )＝x (5－x )＝－x 2＋5x ，0＜x ≤3.5.∵－1＜0，∴当x ＝－b 2a ＝52时，y 有最大值．即当运动时间为2.5 s 时，△PBQ 的面积最大．6．如图，在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别从点A ，B ，C ，D 同时出发，均以1 cm/s 的速度向点B ，C ，D ，A 匀速运动．当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s 时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm 2.7．已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC 的长；(2)当BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)由题意，得y ＝x （20－x ）2 ＝－12x 2＋10x (0<x <20).当y ＝48时，即－12x 2＋10x ＝48.解得x 1＝12，x 2＝8.(2)由(1)得y ＝－12 x 2＋10x ＝－12(x －10)2＋50. ∵－12＜0，0＜x ＜20， ∴当x ＝10时，y 最大＝50.∴当BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.8.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高 6 m ，在长度为8 m 的两支柱OC 和AB 之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5 m ．(1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高 3 m 的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3 m)，行车道最宽可以铺设多少米？解：(1)由图可设拱桥抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx .∵相邻两支柱间的距离均为5 m ，∴OA ＝4×5＝20 m ．∴(20，0)，(10，6)两点都在抛物线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧400a ＋20b ＝0，100a ＋10b ＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，b ＝65． ∴拱桥抛物线的函数表达式为y ＝－350 x 2＋65x ； (2)当x ＝3×5＝15时，y ＝－350 ×152＋65 ×15＝92， ∴F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫15，92 .∴EF ＝8－92 ＝72 (m)； (3)当y ＝3＋0.3＝3.3时，有－350 x 2＋65x ＝3.3. 化简，得x 2－20x ＋55＝0.解得x 1＝10－35 ，x 2＝10＋35 .∴x 2－x 1＝65 .答：行车道最宽可以铺设65 m ．9．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.飞机着陆后滑行20s 才能停下来；在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是24m.10．某幢建筑物，从5 m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M离墙 1 m，离地面203m，则水流下落点B离墙距离OB是3m.11．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(A)A．此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D．篮球出手时离地面的高度是2 m12．在高尔夫球训练中，运动员距球洞10 m处击球，其飞行路线满足抛物线y＝－15x2＋b5x，如图所示，其中球飞行高度为y(m)，球飞行的水平距离为x(m)，球落地距球洞的水平距离为2 m.(1)求b的值；(2)若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？求抛物线的解析式；(3)若距球洞4 m处有一横放的1.2 m高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线y＝－15x2＋b5x，要使球越过球网，又不超过球洞(刚好进洞)，求b的取值范围．解：(1)由题意，得点(8，0)在抛物线y＝－15 x2＋b5x上，则0＝－15 ×82＋b 5×8. ∴b ＝8；(2)要使球刚好进洞，则抛物线需经过(0，0)，(10，0)两点，由(1)可得最高点的纵坐标为4ac －b 24a＝3.2.∴要使球飞行的最大高度不变，则此时抛物线的顶点坐标为(5，3.2).设抛物线的解析式为y ＝a (x －5)2＋3.2.∵抛物线经过(0，0)，∴25a ＋3.2＝0.∴a ＝－0.128.∴y ＝－0.128(x －5)2＋3.2；(3)将x ＝6，y ＝1.2代入y ＝－15 x 2＋b 5x ，得b ＝7. 把x ＝10，y ＝0代入y ＝－15 x 2＋b 5x ，得b ＝10. ∴要使球越过球网，又不超过球洞(刚好进洞)，则b 的取值范围是7≤b ≤10.13.如图，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45 m 2的花圃，那么AB 的长是多少？(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【解答】解：(1)由宽AB 为x m ，则BC 为(24－3x ) m.这时面积S ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x ；(2)由题意，得－3x 2＋24x ＝45.整理，得x 2－8x ＋15＝0.解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x ≤10，∴143≤x ＜8.∴x ＝3不合题意，舍去．∴AB 的长为 5 m ；(3)能围成面积比45 m 2更大的花圃．由(1)知S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x )＝－3(x －4)2＋48.∵143≤x ＜8， ∴当x ＝143 时，S 最大＝48－3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143－4 2 ＝4623 (m 2). ∴能围成面积比45 m 2更大的花圃．∵24－3×143 ＝10(m)，∴围成长为10 m ，宽为143m 的花圃，这时花圃的最大面积为4623m 2. 14．(2020·石家庄市模拟)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为60 m 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC 长为15 m 时，能围成的矩形区域ABCD 的面积最大．10．(2020·河北模拟)工人师傅用一块长为10 dm ，宽为6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm 2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，则裁掉的正方形边长多大时，总费用最低？最低为多少？解：(1)示意图如图所示．设裁掉的正方形的边长为x dm.由题意，得(10－2x )(6－2x )＝12，即x 2－8x ＋12＝0.解得x 1＝2，x 2＝6(舍去).答：长方体底面面积为12 dm 2时，裁掉的正方形的边长为2 dm ；(2)∵长方体的底面长不大于底面宽的五倍，∴10－2x ≤5(6－2x ).∴0＜x ≤2.5.设总费用为w 元，由题意，得w ＝[0.5×2x (16－4x )＋2(10－2x )(6－2x )]＝4x 2－48x ＋120＝4(x －6)2－24.∵4＞0，∴当0＜x ≤2.5时，w 随x 的增大而减小．∴当x ＝2.5时，w 有最小值，最小值为25.答：当裁掉边长为2.5 dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．。
河北中考二次函数压轴题
1如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．2，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．3抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．,4如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；O B xyA MC 13-。
2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)
二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是 ．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2 D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是()A．①③B．②C．②④D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 .∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式 例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25x2＋25x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系例如，(1)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为x1＝－1，x2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①②B．③④C．②③D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c ＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2 C．抛物线的对称轴是直线x＝2 D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③B．②C．②④D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y ＝12 x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A (－6，0)和点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12 x 2交于点Q .(1)点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92；(2)图中阴影部分的面积为272 ． 二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11.∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x －2)2＋5C ．y ＝x 2－1D ．y ＝x 2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)．(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值．(2)当m ＝2时，若L 与x 轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；(3)在(2)的条件下将L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；(4)将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k ，解得m ＝2； (2)当m ＝2时，y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k . 令y ＝0，即2x 2＋4x ＋k ＝0.由题意，得Δ＝b 2－4ac ＝16－8k ≥0.解得k ≤2.又k 为正整数，且k ＝1时，方程没有整数解，故舍去． ∴k ＝2；(3)在m ＝2，k ＝2时，y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后M 的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。
河北中考二次函数应用题
河北中考二次函数应用题（05年）．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。
经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。
在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。
设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成224()24b ac by a xa a-=++的形式，并据此说明：（06年）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的二次函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）请把（2）中的二次函数配方成2()y a x h k=-+的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．（07年）一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A 型手机x 部，B 型手机y 部．三（1）用含，的式子表示购进C 型手机的部数；（2）求出y 与x 之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式； （注：预估利润P ＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．(08河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．图15单位：cm（09年）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？（10年）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001-x ＋150， 成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x 2元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．。
河北省中考数学复习二次函数第18讲二次函数的应用(1)试题(含解析)
第18讲 二次函数的应用(1)1. (2009，河北)某车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x (m/s)之间满足二次函数y ＝120x 2(x＞0)．若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为(C )A. 40 m/sB. 20 m/sC. 10 m/sD. 5 m/s【解析】 刹车距离为5 m ，即当y ＝5时，5＝120x 2.解得x ＝10(x ＝－10舍去)．故开始刹车时的速度为10 m/s.2. (2011，河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足函数解析式h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C )A. 1 mB. 5 mC. 6 mD. 7 m【解析】 ∵距离地面的高度h 和飞行时间t 满足函数解析式h ＝－5(t －1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大．∴h 最大＝－5×(1－1)2＋6＝6(m)．3. (2014，河北)某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为(A )A. 6 cmB. 12 cmC. 24 cmD. 36 cm【解析】 设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx 2.由题意，得18＝9k .解得k ＝2.∴y ＝2x 2.当y ＝72时，72＝2x 2.∴x ＝6.实物抛物线形问题例1 (2017，德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； (2)水柱的最大高度是多少？例1题图【思路分析】 (1)以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋h ，代入(0，2)和(3，0)得出方程组，解方程组即可．(2)求出(1)中所求解析式当x ＝1时，y ＝83即可．解：(1)如答图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋h .将(0，2)和(3，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋h ＝2，4a ＋h ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83.∴抛物线的解析式为y ＝－23(x －1)2＋83，即y ＝－23x 2＋43x ＋2(0≤x ≤3)．(2)对于y ＝－23x 2＋43x ＋2，当x ＝1时，y ＝83，即水柱的最大高度为83m.例1答图针对训练1(2018，天津一模)有一个截面是抛物线形的蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y ＝ax 2＋bx 来表示．已知大棚在地面上的宽度OA 为8 m ，距离点O 2 m 处的棚高BC 为94m.(1)求该抛物线的解析式；(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度；(3)若借助横梁DE 建一个门，要求门的高度不低于1.5 m ，则横梁DE 的宽度最多是多少米？(结果保留根号)训练1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法求出该抛物线的解析式．(2)利用配方法求出二次函数的顶点式进而得出答案．(3)把y ＝1.5代入求出答案．解：(1)由题意，得该抛物线经过(8，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94， ∴⎩⎪⎨⎪⎧64a ＋8b ＝0，4a ＋2b ＝94.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－316，b ＝32.故该抛物线的解析式为y ＝－316x 2＋32x .(2)y ＝－316x 2＋32x ＝－316(x －4)2＋3，故蔬菜大棚离地面的最大高度是3 m. (3)当y ＝1.5时，1.5＝－316x 2＋32x .解得x1＝4＋22，x2＝4－2 2.∴DE＝x1－x2＝4＋22－(4－22)＝4 2.所以DE的宽度最多是4 2 m.运用二次函数解决实际问题中的面积问题例2 (2018，成都锦江区模拟)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)．设AB ＝x m，花园的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．例2题图【思路分析】 (1)根据矩形的面积公式可得S关于x的函数解析式．(2)由树与墙CD，AD 的距离分别是15 m和6 m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．解：(1)∵AB＝x m，∴BC＝(28－x)m.∴S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.(2)由题意，可知x≥6且28－x≥15.∴6≤x≤13.由(1)知S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大＝195.所以花园面积的最大值为195 m2.针对训练2 (2018，济宁模拟)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求证：AE＝2BE；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？训练2题图【思路分析】 (1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE.(2)设BE＝a，则AE＝2a，表示出a与x的关系，进而表示出y与x的关系，并求出x的取值范围即可．(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．(1)证明：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 面积的2倍． 又∵EF 是公共边， ∴AE ＝2BE .(2)解：设BE ＝a ，则AE ＝2a ， ∴AB ＝3a . ∴8a ＋2x ＝80. ∴a ＝40－x 4.∴y ＝3a ·x ＝3·40－x 4·x ＝－34x 2＋30x .∵a ＝40－x4＞0，∴x ＜40. ∴0＜x ＜40.(3)解：∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300.一、 选择题1. (2018，北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．如图所示记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B )第1题图A. 10 mB. 15 mC. 20 mD. 22.5 m【解析】 根据题意，知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(0，54.0)，(20，57.9)，(40，46.2)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝54.0，400a ＋20b ＋c ＝57.9.1 600a ＋40b ＋c ＝46.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.019 5，b ＝0.585，c ＝54.0.所以所求水平距离x ＝－b2a＝－0.5852×（－0.019 5）＝15.2. (2018，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时水面宽4 m ．若水面下降1 m ，则水面宽度为(A )第2题图A. 2 6 mB. 2 3 mC. 6 mD. 3 m【解析】 建立如答图所示的直角坐标系．可设这条抛物线的解析式为y ＝ax 2.把点(2，－2)的坐标代入，得－2＝a ·22.解得a ＝－12.∴y ＝－12x 2.当y ＝－3时，－12x 2＝－3.解得x ＝± 6.∴水面下降1 m ，水面的宽度为2 6 m.第2题答图3. (2018，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，点O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋3，则下列结论：①柱子OA 的高度为3 m ；②喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度；③喷出的水流距水平面的最大高度是4 m ；④水池的半径至少要3 m 才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有(D )第3题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.当x ＝0时，y ＝3，即OA ＝3 m ．故①正确．当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝4.故②③正确．当y ＝0时，0＝－x 2＋2x ＋3.解得x ＝3或x ＝－1(舍去)．故④正确．4. (导学号5892921)汽车刹车后行驶的距离s (m)关于行驶时间t (s)的函数解析式是s ＝20t －5t 2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B )A. 10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m【解析】 ∵s ＝20t －5t 2＝－5(t －2)2＋20，∴汽车刹车后到停下来前进了20 m.5. (2018，唐山乐亭县二模)运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (m)与足球被踢出后经过的时间t (s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是t ＝92；③足球被踢出9.5 s 时落地；④足球被踢出7.5 s 时，距离地面的高度是11.25 m ．其中不正确的结论有(B )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 设该抛物线的解析式为h ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝9，c ＝0.∴h ＝－t 2＋9t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －922＋814.∴当t ＝92时，h 取得最大值，此时h ＝814；该抛物线的对称轴是t ＝92；当h ＝0时，得t ＝0或t ＝9；当t ＝7.5时，h ＝11.25.故①③错误，②④正确．二、 填空题6. (2018，武汉)飞机着陆后滑行的距离y (m)关于滑行时间t (s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是24m. 【解析】 y ＝60t －32t 2＝－32(x －20)2＋600，当y 取得最大值时，飞机停下来，即当t ＝20时，飞机着陆后滑行600 m 才停下来．因此t 的取值范围是0≤t ≤20.当t ＝16时，y ＝576，所以最后4 s 滑行的距离是600－576＝24(m)．7. (2018，沈阳)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝150m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．第7题图【解析】 设AB ＝x m ，则BC ＝12(900－3x )m.由题意，得S ＝AB ·BC ＝x ·12(900－3x )＝－32(x2－300x )＝－32(x －150)2＋33 750.∴当x ＝150时，S 取得最大值，此时，S ＝33 750.∴AB ＝150 m.三、 解答题8. (2018，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第8题图【思路分析】 (1)根据题目中的函数解析式，令y ＝15即可解答本题．(2)令y ＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题．(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x . 解得x ＝1或x ＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s.(2)当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x . 解得x ＝0或x ＝4. 4－0＝4(s)．答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，为20.答：在飞行过程中第2 s 时，小球飞行高度最大，最大高度是20 m.9. (2018，合肥瑶海区三模)某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)若改造后观花道的面积为13 m 2，求x 的值；(3)若要求0.5≤x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．第9题图【思路分析】 (1)直接利用直角三角形面积求法得出答案．(2)利用已知得出y ＝35，进而解方程得出答案．(3)利用配方法得出顶点式，再利用二次函数的增减性得出答案．解：(1)由题意，得y ＝12(8－x )(6－x )·2＝x 2－14x ＋48(0＜x ＜6)．(2)由题意，得y ＝48－13＝35.∴x 2－14x ＋48＝35.解得x 1＝1，x 2＝13(不合题意，舍去)． ∴x 的值为1.(3)y ＝x 2－14x ＋48＝(x －7)2－1.当0.5≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小， 故当x ＝0.5时，y 取得最大值，为1654.所以改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为1654m 2.10. (2018，泰兴模拟，导学号5892921)冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家里后院地面(BD )上立两根等长的立柱AB ，CD (均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似成了抛物线y ＝0.1x 2＋bx ＋c ，如图①，已知BD ＝8 m ，绳子最低点离地面的距离为1 m.第10题图(1)求立柱AB 的高度；(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子(如图②)，MN 的高度为1.85 m ，通过调整MN 的位置，使左边抛物线F 1对应函数的二次项系数为0.25，顶点离地面1.6 m ．求MN 与AB 之间的距离．【思路分析】 (1)易得抛物线的顶点坐标为(4，1)，又由二次项系数为0.1，可得出抛物线的解析式，进而得出答案．(2)利用待定系数法求出抛物线F1的解析式即可解决问题．解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝0.1(x－4)2＋1，即y＝0.1x2－0.8x＋2.6.令x＝0，得y＝2.6.所以立柱AB的高度为2.6 m.(2)由题意可以设抛物线F1的解析式为y＝0.25x2＋mx＋2.6.∵4×0.25×2.6－m24×0.25＝1.6，∴m＝±1.∵对称轴在y轴的右侧，∴m＜0.∴m＝－1.∴抛物线F1的解析式为y＝0.25x2－x＋2.6.令y＝1.85，则1.85＝0.25x2－x＋2.6.解得x1＝1，x2＝3.当x＝1时，不合题意，舍去．∴x＝3.所以MN与AB之间的距离为3 m.1. (2018，北京房山区模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(B)第1题图A. 14B. 11C. 6D. 3【解析】∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．∵AB＝4，∴点B的横坐标为3.把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得y＝14.∴CD＝14－6＝8.∴CE＝CD＋DE ＝8＋3＝11.2. (2017，绍兴，导学号5892921)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x m，占地面积为y m2.(1)如图①，当饲养室的长为多少时，占地面积最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．第2题图【思路分析】 (1)根据矩形的面积＝长×宽，已知长为x m ，则宽为50－x2 m ，代入求出y关于x 的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x 取某一值时，y 有最大值．(2)饲养室的长仍为x m ，但长中所用建筑材料变成了(x －2)m ，所以宽就变成了 50－（x －2）2 m ．与(1)同理，代入求出y 关于x 的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x 取某一值时，y 有最大值．与小敏的说法比较即可．解：(1)因为y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，所以当x ＝25时，y 有最大值．所以当饲养室的长为25 m 时，占地面积最大． (2)因为y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，所以当x ＝26时，y 有最大值．所以当饲养室的长为26 m 时，占地面积最大． 因为26－25＝1≠2， 所以小敏的说法不正确．。
2009--2014_河北中考二次函数
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若 ，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
2.(2009年河北中考题26．)．（本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y= x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 3，AB= 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
6.(2013年河北中考题)25．（本小题满分12分）
某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+ 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
次数n
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
河北省中考数学真题分类汇编05 二次函数
河北省中考数学真题分类汇编05 二次函数姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2020九上·三门期末) 对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A . 图象过点（0，﹣3）B . 图象与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0）C . 此函数有最小值为﹣6D . 当x＜1时，y随x的增大而减小2. （2分） (2019九上·柳江期中) 对于抛物线，下列结论，其中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④ 时，随的增大而减小.A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）若反比例函数与一次函数y=x+2的图像没有交点，则k的值可以是（）A . -2B . -1C . 1D . 24. （2分） (2019九上·凤山期中) 设一元二次方程的两根分别为，且，则满足（）A .B .C .D . 且二、填空题 (共2题；共2分)5. （1分） (2019九上·钢城月考) 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是米.6. （1分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．三、综合题 (共9题；共105分)7. （15分）(2017·灌南模拟) 已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x 轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8. （10分） (2020九下·天河月考) 一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C，设二次函数图象的顶点为D．（1）求点C的坐标；（2）若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；（3）若，且△ACD的面积等于10，请直接写出满足条件的点D的坐标．9. （10分） (2021九上·西湖期末) 已知二次函数 .（1）若函数图象经过点，，求的值；（2）当，时，求证：函数图象与x轴有两个交点.10. （10分） (2020九上·南昌月考) 如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽，最高点离水面，以水平线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高，最宽处为的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．11. （10分）(2021·绍兴) 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上.（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长.12. （15分）(2019·河北模拟) 公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合。
河北中考数学二次函数试题集锦
河北中考数学二次函数试题集锦09河北22．（本小题满分9分）已知抛物线2y ax bx =+经过点(33)A --，和点P (t ，0)，且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图12，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t 的值；（2）若4t =-，求a 、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接．．写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．（2010）11．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为 （0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）（2011）26．(本小题满分12分)如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）.⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）；⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N .①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S=218； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. AO P xy图12- 3 - 3OxyA图5 x = 2B（2013）20．如图12，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； ……如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ） 在第13段抛物线C 13上，则m =_________．（2014）24、（本小题满分11分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A,B,C,D,E,F,G,H,O 九个格点，抛物线l 的解析式为y=（-1）n x ²+bx+c （n 为整数）。
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②购进C型手机部数为：60-x-y=110-3x．根据题意列不等式组，得
解得29≤x≤34．
∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．（注：不指出x为整数不扣分）…（10分）
∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．
多少张？
答案25．解：（1）0，3．
（2）由题意，得
，∴ ．
，∴ ．
（3）由题意，得 ．
整理，得 ．
由题意，得
解得x≤90．
【注：事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．
此时按三种裁法分别裁90张、75Байду номын сангаас、0张．
2010年
26．（本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．………（11分）
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部
（2008年）25．（本小题满分12分）
研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 （吨）时，所需的全部费用 （万元）与 满足关系式 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 ， （万元）均与 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）当x= 1000时，y=元/件，w内=元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．
答案25．解：（1）60-x-y；…………………………………………………………………（2分）
（2）由题意，得900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，
整理得y=2x-50．………………………………………………………（5分）
（3）①由题意，得P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，
河北省中考真题二次函数应用题
（2007年）25．（本小题满分12分）
一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进价（单位：元/部）
900
1200
某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2014年
24、（本小题满分11分）
如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点，抛物线l的解析式为y=（-1）nx²+bx+c（n为整数）。
（1）n为奇数且l经过点H（0,1）和C（2,1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点。
（2）n为偶数，且l经过点A（1,0）和B（2,0），通过计算说明点F（0,2）和H（0,1）是、是否在该抛物线上。
答案
26.解：⑴把 代入 ，得 .
再把 , 代入 ，得 ，∵ ，∴ .
⑵①不变.
如图6，当 时， ，故 .
∵ .∴
②
=
=
=
解 = ，得 .
∵ ，∴ 舍去，∴ .
⑶
2012年
24．（本小题满分9分）
某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
（1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与 之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， （ 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定 的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足
的函数关系式；
（2）已知出场一张边长为40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）．
求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ， ）．
2
0
B型板材块数
2
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m=，n=；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，
并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
⑴求c、b（用含t的代数式表示）；
⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S= ；
③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y= x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．
若w内＜w外，则a＜32.5；
若w内=w外，则a= 32.5；
若w内＞w外，则a＞32.5．
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a= 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．
2011年
26．(本小题满分12分)
如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.
答案
2012年
25．（本小题满分12分）
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100
某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+ 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
答案25．解：（1）甲地当年的年销售额为 万元；
．
（2）在乙地区生产并销售时，
年利润 ．
由 ，解得 或 ．
经检验， 不合题意，舍去， ．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润 ，
将 代入上式，得 （万元）；将 代入 ，
得 （万元）． ， 应选乙地．
（2009年）25．（本小题满分12分）
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x= 70，Q= 450时，求n的值；
（3）若n= 3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n= 2，x= 40，能否在n增加m%（m＞0）
同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－ ， ）
参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
答案26．解：（1）140 57500；
（2）w内=x（y-20）-62500 = x2＋130x ，
w外= x2＋（150 ）x．
（3）当x= = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1= 30，a2= 270（不合题意，舍去）．所以a= 30．
（4）当x= 5000时，w内= 337500，w外= ．
1100
预售价（单位：元/部）
1200
1600
1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；