极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化

,则它的直角坐标
= .
5 3 . 2
【做一做 2-2】 已知点 A 的极坐标为 -2,. 解析:因为点 A 的极坐标又可以写成 2, 所以 x=ρcos θ=2cos =2× y=ρsin
2π 3 2π 3 θ=2sin =2× 3 2 1 2 2π 3
π 3
,则它的直角坐标
,
=-1,
= 3.
故点 A 的直角坐标为(-1, 3). 答案:(-1, 3)
3π 2 4 π π 4 4 2 4 4 π 4
.
,C 3,-
π 4
,D 4,
9π 4
,如图所示.
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2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角 坐标的互化
题型一 题型二 题型三
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【做一做 1-1】 在极坐标系中,与点 3, A. 3, C.
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题型一 题型二 题型三
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题型一 极坐标系中点的表示
【例 1 】 已知点 M 的极坐标为 5, ,下列给出的四个坐标中与点 M 3 的坐标重合的是( ). A. 5,C.
题型一 题型二 题型三
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【变式训练 1】 在极坐标系中,画出点 π 3π π 9π A 1, ,B 2, ,C 3,- ,D 4, . 解 :先作出极角,再在极角的终边上取|OP|=ρ 即可. 在极坐标系中先作出 线 ,再在 线上截取|OA|=1,这样可得到点 A 1, 同样可作出点 B 2,
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当点 M 在极点时,它的极径 ρ=0,极角 θ 可以取任意值. ②为了研究问题方便,极径 ρ 也允许取负值.当 ρ<0 时,点 M(ρ,θ)的位置 可以按下列规则确定: 作射线 OP,使∠xOP=θ,在 OP 的反向延长线上取一点 M,使|OM|=|ρ| , 这样点 M 的坐标就是(ρ,θ),如图所示:
2 4
.
π 4
解析 :如图所示,因为|OA'|=|OA|=2,∠POA'= 即点 A 关于射线 OP 的对称点的极坐标为
π 2, 4
3π π 4
-
2
= ,所以∠xOA'= ,
4
π
.
答案 : 2,
π 4
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题型一 题型二 题型三
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11 π 6
π
(2) 3,
7π 6
(3) 3,
5π 6
反思在极坐标系中,点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为 (ρ,2k π-θ)(k ∈Z),关于过极点且垂直于极轴的直线 θ= 对称的点的极坐标为 (ρ,2k π+π-θ)(k ∈Z),关于极点对称的点的极坐标为(ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z).
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2 .点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件.
如图所示,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极 点,x 轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位 长度.
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(2)互化公式. 如上图所示,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标 是(ρ,θ).如果限定 ρ 取正值,θ∈[0,2π ),那么除原点外,平面内点的直角坐标与 极坐标之间就是一一对应的. ������ = ρcos������, ①点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式是 ������ = ρsin������. ������ 2 = ������ 2 + ������ 2 , ②点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式是 tan������ = (x ≠ 0).
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【做一做 2-3】 点 P 的直角坐标为( 6, 2),化成极径是正值,极角在 0 到 2π 之间的极坐标为 . 解析:ρ= ( 6)2 + ( 2)2 =2 2,tan θ= 又点 P 在第一象限,得 θ= , 所以点 P 的极坐标是 2 2, 答案: 2 2,
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1 .极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立. 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴,选 定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面 极坐标系,简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图所示,对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实 数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).
§2 极坐标系
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2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
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也
反思在极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ )(k∈Z)表示同一个点.特别注 意 ,极点 O 的坐标为 (0,θ)(其中 θ 可以取任意值).这与直角坐标系中的点与有 序实数对一一对应的关系不同,极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多 种表示.
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2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角 坐标的互化
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题型二 对称性问题
【例 2 】 在极坐标系中,点 A 的极坐标为 3, .(限定 ρ>0,0≤θ<2π) 6 (1)点 A 关于极轴对称的点的极坐标是 ; (2)点 A 关于极点对称的点的极坐标是 ; (3)点 A 关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标 是 . 答案 :(1) 3,
13π 6 17π 3, 6 13π 6 π 6
B. 3,D.
π 6 5π 3,6 π 6
π 6
重合的点是(
).
解析:当 k∈Z 时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点. 因为 = +2π,所以点 3, 与 3,
13π 6
表示同一个点,即重合. ).
答案:A 【做一做 1-2】 在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( A.(ρ,θ) B.(ρ,-θ) C.(ρ,θ+π) D.(ρ,π-θ) 的点为(ρ,-θ). 答案:B
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1 .通过回顾平面直角坐标系,体会借助坐标系研究曲线和方程的关系. 2 .了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法. 3 .能利用已知条件求出曲线方程.
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π 3 2π 5,3
π
B. 5, D.
4π 3 5π 5,3
解析 :与点 M 重合的极坐标可以表示为 5,2������π +
π
π 3
(k ∈Z),即极径相等,
π 5π 5π 3
极角相差 2π 的整数倍.根据选项,当 k=-1 时 ,2kπ + =-2π + =- ,即 5,3 3 3 表示点 M. 答案 :D
π 2
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【变式训练 2】 已知极坐标系中(限定 ρ>0,0≤θ<2π ),若 π 3π P 3, ,A 2, ,则点 A 关于射线 OP 的对称点的极坐标为
解析:点(ρ,θ)对应的极径为 ρ,极角为 θ,θ 关于极轴对称的角为-θ,故所求
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π 6 π 6 π 6 2 6
=
3 . 3
.
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1 .建立极坐标系需要的要素 剖析 :建立极坐标系的要素是(1)极点;(2)极轴;(3)单位长度;(4)角度单位 和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所 在的直线是有区别的;极角 θ 的始边是极轴,它的终边随着 θ 的大小和正负 而取各个位置;θ 的正方向通常取逆时针方向,θ 的值一般是以弧度为单位的 实数 . 2 .极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 剖析 :(1)给定点(ρ,θ),就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点 M;(2) 给定平面上一点 M,却有无数个极坐标与之对应,原因在于极角有无数个.
������ ������
名师点拨在一般情况下,由 tan θ 的值确定角 θ 时,可以根据点 M 所在象 限取最小正角.
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题型三 点的极坐标与直角坐标的互化
【例 3 】 (1)把点 M 的极坐标 8,
(2)把点 P 的直角坐标( 6,- 2)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π ). 分析 :本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用. 2π 2π 解 :(1)因为 x=8cos =-4,y=8sin =4 3, 所以点 M 的直角坐标是(-4,4 3). (2)ρ= ( 6)2 + (- 2)2=2 2, tan θ=
- 2 3 =- . 6 3 11 π 6 11 π 6 3 3
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【做一做 2-1】 已知点 M 的极坐标为 5, 是 . 解析:因为 x=5cos =- ,y=5sin 所以点 M 的直角坐标为 答案: - , 是
5 5 3 2 2 2π 3 5 2 2π 3 5 5 3 - , 2 2
2π 3