函数——一种实用的数学模型

数 ，再寻找 自变量和函数之间的相等关系。题目的最后往往会提供线索，这个题目我们可以
根 据问题 将 自变量定 为降１ ，函数 定为利 润ｙ 。完整解答 如下 ： 介元 元
解 ：设降 价 元时 ，所 获利润 为Ｙ ，则 元
收稿 日期 ：２ １．４２ ０ ００ －８
作者简介 ：樊艳梅，女 ，河北张家 口人 ，珠 海市文园中学教 师， 中教一级 。
此时对应的利润枷 元，则建立函数模型为二次函 ＝ ～４ ） ０ —５） ０［ ～３ ９ ０］ ，
再经 过化 简 、配 方得 ：Ｙ＝一３ 一６）＋１０） ０ ２ ０。但 是注 意 回答定价 为６ 元是错 误的 。错 ０ 误的 原 因是 没有认 真考虑 自变 量的取 值范 围是 不得高 于５ 元的 ，这是 考虑到 实际意 义 。所 以 ５ 根据 二次函数的性 质 ，应把销 售价定 为５元 。 ５
２ ．某 水果批 发商 销售 每箱进 价 为４ 元 的苹 果 ，物价部 门规 定 每箱售 价不得 高 于５ 元 ， ０ ５ 市场 调查 发现 ，若每箱 以５ 元 的价 格 出售 ，平均 每 天销 售９ 箱 ，价格 每提 高 ｌ ，平均 每天 ０ Ｏ 元 少销 售３ 。求每箱苹果的 销售价定 为 多少时 ，可 以获得最 大利润 ？ 箱 分析 ：这 个 问题的 解 决同 上面介 绍 的方 法一 致 。我们 可 以先设 每箱 苹 果的售 价 为ｘ ， 元
量可以 取得６ 所以答案是Ａ 等于６， 。 Ｅ １，即点Ｅ ｔ － ｊ － 选在Ａ 的中点处时，剪出的长方形 Ｂ ｌ ＼
第２ 期
樊 艳 梅 ： 函 数 — — 一 种 实 用 的 数 学 模 型
６ ９
Ｙ＝ １ｏ ７ 一 （０ （ｏ ．０ ） 十Ｘ） ２ ：一
＋１ ＋６０＝一（ ０ ０ Ｘ一５ ＋６ ５ ０ Ｘ≤３ ） ） ２ （≤ Ｏ．
根据 二次 函数的知识 ，当 ＝５ ， Ｊ 得最 大值 ，且５ 自变量 的取值 范围 内。所 以应降 时 ， 取 在
价５ 元。
归纳 ：利 用二次 函数的性 质解 决许 多生活 和生产 实际 中的最 大和最 小值的 问题 ，它 的一
般方 法是 ：（） 出二次 函数 的解析 式 ，列解析 式 时 ，要根据 自变量的实 际意 义，确定 自变量 １列 的取 围。（） 自变量 取值 范围内 ，运 用公 式或配 方法求 出二次函数 的最大值和 最小值 。 ２在
［ 摘
百度文库
要］函数建 模 思想是一 种重要 的数 学思 想。 实际 问题 中的最值 问题 ，常 见
的有价 格和利 润 的最值 问题 和 面积最值 问题 ，用二次 函数模 型就 能迎 刃而解 。 自建 直 角坐标 系将 实际 问题 转化 为函数 问题 ，也是 对 学生函 数建 模 能 力的重要 考 察。
我们已知的各种 函数所构成的函数模型。例如很多应用题都可以用一种函数来建立方程，那
么这种 函数就 成 了解决 这类 问题的模 型 了。函数模 型的说 法 由之而产 生 。 有 了函数建 模 的思想 ，掌握 函数 建模 的一般 步骤 ，就 能使 许 多实 际 问题 迎 刃而解 。下 面 借助初 中阶段 我们经常 遇到的 几个 问题 加 以说明 。 类型 一 ：最值 问题 ： 价格 和利润 的最值 问题 ： １ ．将进货单价 为７元的某种商 品按零售价 １０ 一个售 出时 ，每天能卖 出２ 个 ，若这种商 ０ ０元 ０ 品零售价在一定范 围内每降 价ｌ 元，其 日销量 就增Ｎ １ ，为获得 最大利润 ，应降价 多少元 ？ 个 分析 ：这是 典型 的利润 最值 问题 ，如果 没有 函数建 模的 思想 ， 问题 不易解 决 。通过 建立 函数模 型就会 将这 个实 际 问题 转化 为纯 数 学问题 ，再 通过解 决这 个纯 数学 问题 ，达 到解 决实 际 问题 的 目的 。显 然建 立函数 模型 是难 点 ，我们 需要理 解题 意 后选定 两个 变量 为 自变量 和函
分析 ：解 决点Ｅ 选在 何处 的 问题 ，可用 点Ｅ 点Ａ或 点Ｂ 距离 来回 答 。于是 我们 可 以设 距 的
一
Ａ ＝ ， 时剪出 Ｅｘ此 的长方 Ｃ Ｅ面积为 ， 形 ＤＦ 然后利 用几何 得到函 知识 数ｙ 一ｖ ２ ３ ３ ， ：： ． ＋ ４ ｘ 再
４
利用二 函数 知 得 次 的 识可 此函数当 ＝ 时， 可 ｘ ６ 取的最 值 ９ ３； 本 大 √ 而 题中自 Ａ＼ 变 Ｉ
第１ 卷 ６
第２ 期
珠 海城 市职 业技 术 学院学报
Ｚｈ ｈａ ｔ ｌ ｔ ｃ ｎｉ ｏ ｌ ｇ ｕ ｉＣｉ Ｐｏ ｙ ｅ ｈ ｃｃ ｌｅ ｅ ｙ
２ １年 ６ ００ 月
Ｊ ｎ．０１ ｕ ２ ０
ＶＯ ． ６ １１ Ｎｏ． ２
函数—— 一种 实用的数学模 型
樊艳 梅
（ 海市 文园 中学 ，广东 珠 海 ５９ ０ ） 珠 １００
［ 关键词］函数模型；最值问题；构建转化
函数模 型说法 的 由来 ：数 学学 习 中，我们 会总 结 出许 多数 学模 型 。什 么是 函数模 型呢 ？ 简 单 点就 是 函数 的 几 个 大的种 类 。数 学 和 生 活 是相 通 的 。对 于 事物 有 未知 因素 ，有 已知 因 素 ，而这 些 因素 又是 有联 系的 ， 因此 我们 就 可 以用 某种 关 系将这 些 因素连在 一起 。而连接他 们 的这种 关系往 往是 人们在 生活 中 已经总 结 出来 了的 各种规 律 。对于 数学 而言这 些规 律就 是
面积的最 值问题 ：１ 、一块 三角形废 料如 图所示 ， ＺＡ＝３ 。，ＬＣ＝９ 。，ＡＢ＝１ ，用 ０ ０ ２ 这块 废料剪 出一 个长方 形Ｃ Ｆ ＤＥ ，其 中点Ｄ、Ｅ、Ｆ 分别 在ＡＣ、ＡＢ、ＢＣ ，要使 剪出的长 方 上 形Ｃ Ｆ ＤＥ 面积 最大 ，点 Ｅ 应选在 何处 ？最 大面 积是 多少 ？