信号与系统公式&常用的连续傅里叶变换
信号与系统公式归纳
实信号的奇偶分解
帕斯瓦尔定理
双边拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换
双边Z变换
单边Z变换
公式
性质
信号
拉普拉斯变换
收敛域
信号
拉普拉斯变换
信号
Z变换
收敛域
信号
Z变换
线性
至少
至少
时移
（除了可能增加或除去0或 点）
尺度变换
S域平移
的比例伸缩
时域尺度变换
共轭
卷积
至少
时
至少
时域微分
至少
至少
S域微分
至少
时域积分
至少
积分/求和
（仅当 才为有限值且为周期的）
（仅当 才为有限值且为周期的）
（频域微分）
（频域微分）
实信号的共轭对称性
为实信号
为实信号
为实信号
为实信号
实偶信号
为实偶信号
为实偶函数
为实偶信号
为实偶数
为实偶信号
为实偶
为实偶信号
为实偶
实奇信号
为实奇信号
为纯虚奇函数
为实奇信号
为纯虚奇数
为实奇信号
为实虚奇
为实奇信号
初值定理
终值定理
若 ， 且在 不包括任何冲激或高阶奇异函数，则
初值定理
若 ， ，则
初值定理
连续时间基本傅立叶变换对
离散时间基本傅立叶变换对
信号
傅立叶变换
傅立叶级数系数
信号
傅立叶变换
1
1
拉普拉斯变换
Z变换
信号
变换
收敛域
信号
变换
收域
1
全部s
信号与系统-公式总结
信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。
信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。
1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。
4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。
5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。
《信号与系统》重要公式
《信号与系统》重要公式信号与系统是电子信息类专业的一门重要课程，其中涉及到许多重要的公式。
下面是《信号与系统》中的一些重要公式。
1.线性系统的叠加性质：对于系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)，以及系统的响应函数h(t)，有如下关系：h(a*x(t)+b*y(t))=a*h(x(t))+b*h(y(t))2.线性时不变系统的冲击响应函数：线性时不变系统的输出可以由输入和系统的冲击响应函数进行卷积运算得到：y(t)=x(t)*h(t)3.冲击函数的性质：冲击函数的面积等于单位冲击高度，即：∫h(t)dt = 14.线性卷积的性质：对于两个信号x(t)和y(t)进行卷积运算，然后再对结果进行线性组合，等于先对每个信号进行线性组合，再进行卷积运算：a*(x(t)*y(t))+b*(z(t)*y(t))=(a*x(t)+b*z(t))*y(t)5.单位冲击响应函数的性质：线性时不变系统的冲击响应函数和移位后的冲击函数进行卷积运算等于移位后的输出：h(t)*δ(t-t0)=h(t-t0)6.单位冲击响应函数和冲击响应函数的性质：系统的输出信号可以由冲击响应函数与输入信号通过卷积运算得到：y(t)=x(t)*h(t)7.卷积和频率域的乘积：信号的卷积运算可以转化为信号的频率域乘积运算，即傅里叶变换的频率域乘积等于两个信号的傅里叶变换之间的乘积：F{x(t)*y(t)}=F{x(t)}*F{y(t)}8.线性相位系统的频率响应函数：对于一个线性相位系统，其频率响应函数H(f)满足以下公式：H(f) = ，H(f)， * exp(j*ϕ(f))9.系统的频率响应函数与冲击响应函数的关系：系统的频率响应函数是冲击响应函数的傅里叶变换，即：H(f)=F{h(t)}10.系统的幅频特性：系统的幅频特性是指系统对不同频率的输入信号的幅度变化情况。
幅频特性可以通过频率响应函数的模进行描述，即：H(f)以上是《信号与系统》中的一些重要公式，它们是理解和分析信号与系统的重要工具。
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
《信号与系统》重要公式
《信号与系统》重要公式《信号与系统》本提纲仅供复习参考使⽤，不是全部《信号与系统》内容，也不是考试内容。
请使⽤时注意。
信号基础⼀、基本连续时间信号（1）正弦信号)()(Φ+=t ACos t f ω（2）单位阶跃信号<=>=000011)(t t t t u（3）单位冲激信号a)定义=≠=∞=?∞∞-1)(000)(dt t t t t δδ b)性质：（4）冲激偶 a)定义：)()('t dtd t δδ=b)性质：（5）符号函数<=>-=-=--=0001011)(2)()()(t t t t u t u t u t Sgn（6）单位斜坡函数≥<===∞-000)()()(t t td u t tu t f t ττ（7）复指数信号ωσωσ?ω?ωσωσj s j s s s t jSin t Cos Ae Ae t f t AjSin t ACos Ae t f Ae t f A t f Ae t f t st tj tst +====+==+====?=0)()()()()()(（8）抽样信号)(int )(t Sinc t S t Sa ==⼀、信号的时域分解奇偶分解：)()()(t f t f t f o e += )]()([21)()]()([21)(t f t f t f t ft f t f o e --=-+=三、信号的时域变换四、系统的定义和分类（1）定义：能够完成某种运算功能的集合（2）五、LTI 线性时不变系统的性质（1）信号的函数和波形互换a) 由函数画波形（列举关键点、微积分关系、分段函数） b) 由波形求函数（分段函数⽤u(t)描述）（2）含有奇异函数的运算a) 注意抽样特性?dt t f t t f t )()()()(δδ和的区别 b) 注意积分的区间（3）信号的变换（通常先反折再时移最后展缩较简易）（4）系统类型的判定（根据定义判定，线性性可以分解讨论）连续系统时域分析⼀、系统的数学模型1．系统⽤常系数⾮齐次微分⽅程描述f b f b f b f b y a y a y a y a n n n n n n n n 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(++++=++++----ΛΛ2．全响应的求解的基本步骤：全响应y(t)=y x (t)+y f (t)⼆、全响应的三、冲激和阶跃响应?∞-==td h t g t g dt d t h ττ)()()()(四、卷积积分1．定义?∞∞--=*=τττd t f f t f t f ty )()()()()(21212．性质（1）微分⽅程的求解（2）卷积的运算（a ）图解法（b ）解析法（使⽤公式和性质）连续信号的频域分析⼀、⾮周期信号的频域分析（1）傅⽴叶变换?∞∞-∞∞--==ωωπωωωd e j F t f dte tf j F t j t j )(21)()()(（2）性质（3）常⽤变换对四、抽样定理（1）抽样信号)()()(t t f t f T s δ=（2）时域抽样定理抽样信号能恢复原始信号的条件： a ）原始信号为限带信号 b ）抽样间隔mm s ms f T ωπωω=≤≥212（1）频谱分析（2）信号的频域分析或频域简化（3）抽样连续系统的频域分析⼀、频域系统函数（1）定义)()()(ωωωj F j Y j H f =（2）含义)]([)()()()(t h F j H t h t f t y f =*=ω（3）H(j ω)的求解 a ）)]([)(t h F j H =ωb ）频域电路模型求解（4）频率特性)(|)(|)(ω?ωωj e j H j H =⼆、⾮周期信号激励下系统零状态响应的求解步骤：（1）)()(ωj F t f ? （2）求)(ωj H（3）)()()(ωωωj F j H j Y f =（4）)()(1ωj Y t y f Ff ??→←-三、调制解调（1）调制（2）解调f )(t )]()([21)(c c c F F t Cos t f ωωωωω++-?)]2()2([1)(1]2)()([21)()(c c c c c c F F F t Cos t f t f t tCos Cos t f t Cos t y ωωωωωωωωω++-+?+==（1）系统零状态响应的求解（2）系统函数的求解和分析（3）系统的频谱分析（调制解调）连续信号复频域分析⼀、拉普拉斯变换（1）定义：??∞+∞-∞∞--==j j st st ds e s F j t f dt e t f s F σσπ)(21)()()(（2）收敛域（3）基本性质双边拉普拉斯变换单边拉普拉斯（4）常⽤变换（5）拉⽒逆变换a ）部分分式法ΛΛ+-+-++-+-==-22111112111)()()()()(p s K p s K p s K p s K s D s N s F k k k []--=-==--=1))(()!1(1|))((1)1()1(1p s kk k k p s i i p s s F dsd k K p s s F K i重极点单极点b ）留数法[]ip s stk i k k i i i i i e s F p s dsd k r r t u t f r t u t f t u t f t u t f t f =----=??-=-=-+=∑∑)()()!1(1)()()()()()()()()()1()1(收敛域右边所有极点收敛域左边所有极点⼆、电路元件的s 域模型（1）电阻)()(s I s U R =（2）电容)(1)0(1)(s I Csu s s U c c +=-（3）电感)0()()(--=Li s LsI s U三、线性系统的s 域分析法（1）根据换路前的电路（t<0）求初始状态（0-）（2）)()(s F t f ? （3）作出换路后（t>0）的s 域电路模型（4）应⽤KCL 、KVL 、VAR 等求解响应（5）拉⽒逆变换求时域表达式和时域波形（1）信号的拉⽒变换（2）信号的逆变换（3）s 域的电路分析复频域系统函数和系统模拟⼀、s 域的系统函数H(s)（1）定义)()()(s F s Y s H f =（2）意义st st fe s H e t h t y t h s H )()()()()(=*=?（3）求解⽅法 a ）)}({)(t h L s H =b ）由s 域电路模型求解c ）由系统零极点求解d ）由模拟图、信号流图（梅森公式）求解⼆、系统模拟基础（1）系统的直接模拟ij s a sb s H n j jj mi ii ≥=∑∑==00)(直接II 其它模拟：并联：⽤部分分式展开级联：分为⼏个分式相乘（3）基本系统的模拟（4）梅森公式∑∑∑∑+-+-==inm rq p r q pn m i kkk L L LL L L g H ,,,11Λ三、系统稳定性判定极点在左半平⾯――稳定罗斯－霍尔维滋准则)()()(0s D s N H s H = 稳定条件： (1)D(s)不缺项(2)D(s)系数全为正或全为负(3)罗斯阵列MMMMΛΛΛΛ53153153142-----------n n n n n n n n n n n nd d d c c c a a a a a a 共n+1⾏1u c )0(-+ -)(s U c -zs 11和1-s a z a s ++11和1-az z a s s ++和y基本系统的模拟KΛΛ51511331311151413312111,11,1-----------------------=-=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c a a c d c c a a c d a a a a a c a a a a a c (4)罗斯判据：罗斯矩阵的第⼀列全为正，表明D(s)=0的根全部在左半平⾯（1）建⽴框图和流图（2）分析框图、流图（3）系统稳定性判定离散信号与系统时域分析（1）定义：注意，离散信号可以⽤连续信号的抽样获得（2）基本离散信号（3）离散信号的运算（5）典型序列的累加和（6）卷积和a ）定义∑∞-∞=-=*k k n fk f n f n f ][][][][2121b ）性质c ）卷积和的求法①图解法②多项式乘、除法③列表法④解释法（1）信号的函数和波形互换（2）信号的变换（3）卷积运算离散信号Z 域分析⼀、z 变换（1）定义?∑∑-∞=-∞-∞=-===dz z z F j n f z n f z F z n f z F n n n I n n 10)(21][][)(][)(π逆变换单边双边正变换（2）收敛域（3）单边z 变换性质（4）常⽤单边z 变换（5）z 逆变换 a ）部分分式法：按zz F )(展开，⽅法参考s 域的分析 b ）留数法∑-=in z z F s n f ])([Re ][1c ）幂级数展开（长除法）⼆、离散系统的z 域分析步骤：（1）建⽴系统的差分⽅程（2）对差分⽅程进⾏单边z 变换（考虑初始状态），得z 域的代数⽅程（3）解代数⽅程，得响应的z 域解（4）进⾏z 逆变换，得响应的时域解三、z 域系统函数（1）定义)()()(z F z Y z H f =（2）意义nn z z H z n h n y n h Z z H )(][][]}[{)(=*==（3）H(z)的求法a ）由差分⽅程进⾏z 变换（不考虑初始状态）b ）有零极点求得c ）由模拟图、信号流图（梅森公式）四、离散系统模拟参考s 域分析五、系统稳定性稳定系统：极点：所有极点应该在单位圆内。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。
下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念公式总结。
1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。
离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。
1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。
1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。
离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。
2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。
时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。
频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。
四、系统分析公式总结。
1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。
时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。
2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。
3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。
五、采样定理公式总结。
1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。
重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。
六、傅里叶级数公式总结。
1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。
信号与系统公式大全
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式
信号与系统-公式总结
4复频域微分
5复频域积分
※6时域卷积
※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法
复频域，
⑵留数法 留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留 数的运算，即
其中 （为一阶极点） 或 （为阶极点）
第四章 Z变换
1. Z变换定义
正变换： 双边：
单边：
2. Z变换收敛域ROC：满足的所有z值
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为 的圆外； ★ 左边序列的ROC为 的圆内； ★ 双边序列的ROC为 的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；
冲激 脉冲
※※
直流 函数 ※ 冲激 序列
第三章 拉普拉斯变换
1 定义 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换 单边变换收敛条件：
拉普拉斯反变换 称为收敛域。
2 常见函数的拉普拉斯变换
公式序号
原函数，
※1
※2
※※3
像函数
频谱图
※※4 ※5 ※6
3 拉普拉斯的基本性质
性质
时域
※※1时间平 移
※2频率频移
※3时域微分
1 差分方程的一般形式
前向差分： 后向差分： 2 卷积法 （1）零输入响应 ：激励时初始状态引起的响应 Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式或 ；
Step3 初始条件代入，确定系统； （12）零状态响应 ：初始状态为零时外加激励引起的响应 方法1：时域分析法 方法2：变换域分析法
Step1: 差分方程两边Z变换（注意初始状态为零）； 左移位性质
第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频 域分析
1 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
信号与系统重要公式总结
周期信号与非周期信号连续时间信号：()()f t f t kT =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 离散时间信号：()()x n x n kn =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅000()j t j t T e e ωω+=002T πω=00()j n j n N e e ωω+=02N k πω=为整数能量信号和功率信号 连续时间信号2|()|E f t dt ∞-∞=⎰2221|()|T T P f t dt T =⎰（周期信号） 2221|()|lim TT T f t T P dt →∞-=⎰（非周期信号）离散时间信号2|()|n E x n ∞=-∞=∑21|()|21N n N P x n N =-=+∑（周期信号） 21()21lim Nn NN P x n N =-→∞=+∑（非周期信号） 1、能量信号：E 有限0E <<∞，0P =； 2、功率信号：P 有限0P <<∞，P =∞；3、若E P →∞→∞，，则该信号既不是能量信号也不是功率信号；4、一般周期信号是功率信号。
线性系统)()()()()()()()(221122112211t y a t y a t x a t x a t y t x t y t x +→+→→，则，若 )()()()()()()()(221122112211n y a n y a n x a n x a n y n x n y n x +→+→→，则，若时不变系统)()()()(00t t y t t x t y t x -→-→，则若 )()()()(00t n y n n x n y n x -→-→，则若系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移i关系狄利克雷（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以利用傅里叶级数展开）（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
信号与系统公式大全
k en-r+1t nr 1
knr2te0t kntn1e0t t 0
yx(t) e1t[k1 cos(1t) k1' sin(1t)] eit[ki cos(it) ki' sin(it)] t 0
y0(n) 的表达式
y0
(n)
c11n
c22n
ck
n k
y0(n) (c1 c2n cqnq1)1n
A 0
t 0 t0
1. t A ( )d Au(t)
2. A ( ) d [Au(t)] dt
t 0 处可以定义为0, 1 ,1(个别点数值差别不会导致能量的改变) 2
斜坡信号 Ar(t) 性质
Ar(t)
At 0
t 0 t0
1.
t
Au(t)dt
Ar(t)
2.
Au(t)
d dt
[
Ar(t
序列的累加 序列的差分 序列的移位
y(n) x(k) k
一阶前向： x(n) x(n 1) x(n)
一阶后向： x(n) x(n) x(n 1)
单位超前算子： Ek x(n) x(n k)
单位延迟算子： Ek x(n) x(n k)
十.信号的分解
○1 直流分量与交流分量
f (t) fD fA(t)
交换率 分配率 结合率
f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t) [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)]
奇异信号卷积特性
单位元特性 f (t) (t) f (t)
判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果
信号与系统公式
信号与系统概念，公式集：一：概念1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
二：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 三：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统常用公式
∑
a lbk −l
(1 − e − jkω0 )ak = 0 才为有限值且为周期的）
1 ak (1 − e − jkω0 )
∗ ⎧ ak = a− k ⎪ ⎪ Re{a k } = Re{a − k } ⎪ ⎨ Im{a k } = − Im{a − k } ⎪a = a −k ⎪ k ⎪ ak = − a− k ⎩
连续时间 傅里叶级数性质
性 质 周期信号 傅里叶级数系数
周期为T x(t ) ⎫ ⎬ y (t ) ⎭ 基本频率ω0 = 2π / T
ak bk
线 性 时 移 频 移 共 轭 时间反转 时域尺度变换 周期卷积
Ax(t ) + By (t ) x(t − t0 )
x[n] y[n] ax[n] + by[n] x[n − n0 ]
X (e jw ) ⎫ ⎬ 周期的，周期为2π Y (e jw ) ⎭
线 性 时 移 频 移 共 轭 时间反转
aX (e jw ) + bY (e jw )
e − jw n 0 X ( e jw )
sinWt πt
2sin wT1 w
———
⎧1, w < W ⎪ X ( jw) = ⎨ ⎪0, w > W ⎩
———
δ (t )
u (t )
1 1 + πδ ( w) jw
e − jwt0
———
———
δ (t − t0 )
e − at u (t ), Re{a} > 0
X ( e j ( w − w0 ) )
e jω 0 n x [ n ]
x ∗ [ n]
X ∗ ( e − jw )
信号与系统常用公式
常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n n at t a a δδ=g 001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。
信号与系统的公式汇总分类 - 副本
信号与系统公式性质1连续傅里叶变换⎰⎰∞∞-∞∞--==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞+∞-∞-==-j j st stds e s F j t f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换(单边) ⎰∑≥==-∞=-Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(10π4离散傅里叶变换⎰∑==∞-∞=-πθθθθθπ2)(21)()()(d e eF k f e k f e F k j j k kj j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性 )()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移)()(00s F e t t f st ±↔± 时移)()(z F z m k f m ±↔±（双边） 时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔± 频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔±频移 )()(00s s F t f e t s ↔±频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换）频移 )()()(00θθθ j jk e F k f e ↔±尺度 变换 )(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度 变换 )(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度 变换 )()(azF k f a k ↔尺度 变换 )(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转 )()(ωj F t f -↔- 反转 )()(s F t f -↔- 反转 )()(1-↔-z F k f （仅限双边） 反转 )()(θj e F k f -↔-时域 卷积 )()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121z F z F t f t f ↔时域 卷积 )()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔ 频域 卷积 )(*)(21)()(2121ωωπj F j F t f t f ↔时域 微分)0()0()()()0()()(2---'--↔''-↔'y sy s F s t f f s sF t f时域 差分)1()0()()2()0()()1()2()1()()2()1()()1(22121zf f z z F z k f zf z zF k f f f zz F z k f f z F z k f --↔+-↔+-+-+↔--+↔----频域卷积 ψπθψπψd e F eF k f k f j j )()(21)()()(22121-⎰↔时域 微分 )()()()()()(ωωωωj F j j F j t f t f n n ↔'时域 差分 )()1()1()(θθj j e F e k f k f -↔--频域 微分 nn nd j F d d j dF jt f jt t tf ωωωω)()()()()(↔-S 域 微分 nn nds s F d s F t f t t tf )()()()()('-↔-Z 域 微分 dzz dF zk kf )()(-↔频域 微分 θθd e dF jk kf j )()(↔时域 积分 )()0()(0)(,)(ωδπωωF j j F f dx x f t+↔=-∞⎰∞-时域 积分 sf s s F dx x f t)0()()()1(--∞-+↔⎰部分 求和 1)()(*)(-↔=∑-∞=z zi f k k f ki ε 时域 累加∑∑∞-∞=∞-∞=-+-↔k j j j k k e F e e F k f )2()(1)()(0πθδπθθ频域 积分 0)(,)()()()0(=-∞↔-+⎰∞-F d j F jt t f t f ωττπS 域 积分 ⎰∞↔s d F tt f ηη)()(Z 域 积分 ηηηd F z mk k f z m m⎰∞+↔+1)()()(lim )0(z F f z →∞=,)]0()([lim )1(zf z zF f z -=→∞对称 )(2)(ωπ-↔f jt F初值)(),(lim )0(s F s sF f s →∞+=为真分式初值)(lim )(z F z M f M z ∞→=（右边信号）,)()([lim )1(1M zf z F z M f M z -=++∞→帕斯 瓦尔⎰⎰∞∞-∞∞-==ωωπd j F dt t f E 22|)(|21|)(| 终值0),(lim )(0==∞→s s sF f s 在收敛域内终值)()1(lim )(1z F z f z -=∞→（右边信号）帕斯 瓦尔⎰∑∞-∞==πθθπ222|)(|21|)(|d e F k f j k常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换对一览表连续傅里叶变换对⎰∞∞--=dt et f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）⎰∞--=0)()(dt e t f s F stZ 变换对（单边） ∑∞=-=0)()(k k z k f z F函数 )(t f傅里叶变换)(ωj F 函数 )(t f 象函数)(s F函数0),(≥k k f象函数函数0),(≥k k f象函数1)(t δ )(21ωπδ )(t δ1)(k δ10),(≥-m m k δmz -)()()(t t n δδ'nj j )(ωω)(t δ's11-z z 0),(≥-m m k εm z z z-⋅-1)(t ε)(1ωπδω+j )(t εs1)(k ε1-z z )(2k k ε32)1(-+z z z )(t t ε21)(ωωδπ-'j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(-z z )()1(k a k k ε+ 22)(a z z - 0,)()(>--αεεααt te t e t t2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα--2)(11αα++s s)(k a k ε az z - )(1k ka k ε-2)(a z z - )sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ--+-++j)()cos(t t εβ22β+s s)(k e k εααe z z -)(k ka k ε2)(a z az -t 1)sgn(ωπj -)()sin(t t εβ 22ββ+s)(k ekj εββj e z z -)(2k a k kε322)(a z z a az -+||t22ω-)()cosh(t t εβ22β-s s )(2)(k aa a kk ε-- 22a z z - )(2)(k aa a kk ε-+ 222a z z - tj e0ω±)(20ωωπδ)()sinh(t t εβ22ββ-s )(2)1(k k k ε- 3)1(-z z)(2)1(k kk ε+ 32)1(-z z )()cos(t t etεβα-22)(βαωαω+++j j)()cos(t t etεβα-22)(βαα+++s s )(k ba b a kk ε-- ))((b z a z z--)(11k ba b a k k ε--++ ))((2b z a z z -- )()sin(t t e t εβα-22)(βαωβ++j)()sin(t t etεβα-22)(βαβ++s)()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+--ββz z z z)()sin(k k εβ1cos 2sin 2+-ββz z z),(||>-αεαt et222ωαα+)()(10t b t b ε+210ss b b +)()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+---βθβθz z z z)()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+--+βθβθz z z znt t)()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ')()(10t e b b b t εααα---)(01α++s s b s b)()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (a az z a z z +--ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +-ββ)sgn(tωj 2)()]sin([13t t t εβββ-)(1222β+s s)()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +--ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +-ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><--αααt e t e tt 222ωαω+-j)()sin()]1[213t t t εβββ-222)(1β+s0),(>k k ka kε⎪⎭⎫ ⎝⎛-a z z ln )(!k k a kε za e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||),cos()(τττπt t t t f 22)2()2()2cos(2ωτπωτπτ-⋅)()sin(21t t t εββ222)(β+s s)(!)(ln k k a kε za1)!2(1k z1cosh∑∞-∞=Ωn tjn n e FTn F n n πωδπ2,)(2=ΩΩ-∑∞-∞= )()]cos()[sin(21t t t t εββββ+ 2222)(β+s s)(11k k ε+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1ln z z z )(121k k ε+ 11ln21-+z z z ∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδTn n πωδωδ2)()(=ΩΩ-Ω=∑∞-∞=Ω )()cos(t t t εβ22222)(ββ+-s s)(])([1010t e b b e b b tt εαββαβαβα----+--))((01βα+++s s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(τττt t t g⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin 22ωτωωττSateb t b b αα-+-])[(110201)(α++s b s b)(]))(())(())(([221022102210t e b b b eb b b e b b b ttt εγβγαγγβγβαββαγαβααγβα-----+-+--+-+--+-))()((0122γβα+++++s s s b s b s btWt Wt Sa Wππ)sin()(= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(W W j F ωωω)()sin(t t Ae t εθβα+-,其中ββαθ)(10j b b Ae j --=2201)(βα+++s b s b)(])()2()([2210221022210t eb b b te b b b e b b b ttt εαβαβαβαβααβαββααβ-----+--⋅-+-+-+-)()(20122βα++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=∆2||,02||,||21)(τττt t t t f ⎪⎭⎫⎝⎛422ωττSa )(])(21)2([22210212t e t b b b teb b eb t ttεαααααα---+-+-+3122)(α+++s b s b s b)()]sin([222210t t A e b b b t εθββγγγγ++++--其中)()(1220βγβββθj jb b b Ae j ++-=))((220122βγ++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+=2||,02||),2(1)(ττττt t t t f⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--212ωτωωτSa ejj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-↔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<--<=4)(sin 4)(sin )(82||,02||2),||21(2||,1)(1112111ττωττωττωττττττττt t t t t f)()]sin()([222210t t Ae e b b b t t εθββγαγγαγ+++-+---其中)()()(2210βαγββαβαθj j b j b b Ae j +--+--=)]))[((220122βαγ+++++s s b s b s b双边拉普拉斯变换与双边Z 变换对一览表双边拉普拉斯变换对 ⎰∞∞--=dt e t f s F st)()(双边Z 变换对∑∞-∞=-=k kzk f z F )()(函数 象函数)(s F 和收敛域 函数 象函数)(z F 和收敛域 )(t δ 1，整个S 平面)(k δ1，整个Z 平面)()(t n δns ，有限S 平面)(k nδ∆0||,)1(>-z z z nn)(t ε0}Re{,1>s s)(k ε1||,1>-z z z)(t t ε0}Re{,12>s s )()1(k k ε+ 1||,)1(22>-z z z)()!1(1t n t n ε-- 0}Re{,1>s s n)()!1(!)!1(k n k n k ε--+1||,)1(>-z z z nn)(t --ε 0}Re{,1<s s)1(---k ε1||,1<-z z z)(t t --ε 0}Re{,12<s s )1()1(--+-k k ε 1||,)1(22<-z z z)()!1(1t n t n ----ε 0}Re{,1<s sn )1()!1(!)!1(----+-k n k n k ε 1||,)1(<-z z z nn)(t e at ε-}Re{}Re{,1a s as ->+ )(k a k ε||||,a z az z>- )(t teatε- }Re{}Re{,)(12a s a s ->+)()1(k a n nε+||||,)(22a z a z z >-)()!1(1t e n t atn ε--- }Re{}Re{,)(1a s a s n->+ )()!1(!)!1(k a n k n k nε--+||||,)(a z a z z nn>-)(t e at ---ε }Re{}Re{,1a s as -<+ )1(---k a k ε||||,a z az z<- )()!1(1t e n t at n -----ε }Re{}Re{,)(1a s a s n-<+)1()!1(!)!1(----+-k a n k n k n ε ||||,)(a z a z z nn<- )()cos(t t εβ 0}Re{,22>+s s sβ)()cos(k k εβ 1cos 2cos 22+--ββz z z z)()sin(t t εβ 0}Re{,22>+s s ββ)()sin(k k εβ 1cos 2sin 2+-ββz z z)()cos(t t etεβα-}Re{}Re{,)(22a s s s ->+++βαα)()cos(k k a kεβ 1cos 2cos 22+--ββza z za z)()sin(t t e t εβα- }Re{}Re{,)(22a s s ->++βαβ)()sin(k k a k εβ1cos 2sin 2+-ββza z za0}Re{,||>-a et α}Re{}Re{}Re{,222a s a as a->>-- 1||,||<a a k |1|||||,)1)(()1(2a z a az a z z a <<---}Re{),sgn(||>-a t e t α}Re{}Re{}Re{,222a s a a s s->>-1||sgn,||<a a k|1|||||,)1)(()(2az a az a z z z a <<---卷积积分一览表⎰∞∞--=τττd t f f t f t f )()()(*)(121)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(t f )(t δ')(t f ')(t f)(t δ)(t f)(t f)(t ελλd f t⎰∞-)()(t ε )(t ε)(t t ε)(t e t εα-)(t ε)()1(1t e t εαα--)(t ε)(t t ε)(212t t ε )(1t e t εα-)(2t e t εα-2112),()(121ααεαααα≠----t e e t t )(t e t εα- )(t e t εα-)(t te t εα- )(t t ε )(t e t εα- )(1122t e t t εαααα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--)(t te t εα-)(t e t εα-)(212t e t tεα-卷积和一览表∑∞-∞=-=i i k f i ft f t f )()()(*)(121 )(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(k f)(k δ)(k f)(k f)(k ε ∑-∞=ki i f )()(k ε )(k ε )()1(k k ε+ )(k k ε)(k ε)()1(21k k k ε+)(k a k ε)(k ε0),(111≠--+a k aa k ε )(1k a k ε )(2k a kε21211211),(a a k a a a a k k ≠--++ε )(k a k ε )(k a k ε)()1(k a k k ε+)(k k ε)(k a k ε)()1()1()(12k a a a k a k k εε--+- )(k k ε )(k k ε)()1()1(61k k k k ε-+)()cos(1k k a k εθβ+)(k a k ε⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+---++++2112122211211cos sin arctan )(cos )cos(])1(cos[a a a k a a a a a k a k k ββϕεβϕθϕθβ关于)(t δ、)(k δ函数公式一览表)()0()()(t f t t f δδ=)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ)()()()(t t t t δδδδ'-=-'=- )()0()()0()()(t f t f t t f δδδ'-'=')0()()(f dt t t f =⎰∞∞-δ)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ)(|)(|1)([1i ni i t t t f t f -'=∑=δδ)0()1()()()()(n n n f dt t t f -=⎰∞∞-δ)(||1)(t a at δδ=⎰⎰∞-∞∞-==tt d dt t )()(1)(εττδδ)()(0)(t d dt t tδττδδ='='⎰⎰∞-∞∞-)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ)(1||1)()()(t a a at n nn δδ⋅=)()()()(k k k ak δδδδ=-=∑∞-∞===k f k k f k f k k f )0()()()()0()()(δδδ)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰∞∞-δ。
信号与系统常用公式集
2)(10}Re{),(jw a a t u te at+↔>-natn jw a a t u e n t )(10}Re{),()!1(1+↔>---0,21)],()([sin 11000==-=+--↔-k a ja a w w w w t w δδπkk k t jkw k k akw w a e a ),(200-↔∑∑∞-∞=∞-∞=δπ其余k a a kw w e k tjkw ,0,1),(2100==-↔πδ0,21)],()([cos 11000===++-↔-k a a a w w w w t w δδπ0,1),(21)(0==↔=k a a w t x πδπππk T kw kw c T w k T kw T t T T t t x k 1010101011sin )T (sin sin 22||,0||,1)(=↔⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=∑∞-∞=级：k ,1),2(2)(对全部T a T k w T nT t k k n =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδw wT T t T t t x 111sin 2||,0||,1)(↔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><=↔W w Ww jw X tWt ||,0||,1)(sin π1)(↔t δ)(1)(w jw t u πδ+↔0)(0jwte t t -↔-δjw a a a t u e at+↔>-1}Re{),(连续时间傅里叶变换 ∑∑∞-∞==-↔k k n N jk N k k a Nkw e a ),2(2)/2()(πδππ⎩⎨⎧±±==--↔∑∞-∞=kNm N m m k a l w w e k l n jw 其余级数,02,,,1:)2(200πδπ⎩⎨⎧±±±±±==-++--↔∑∞-∞=其余级数,02,,,1:)}2()2({cos 000Nm N m m k a l w w l w w n w k l πδπδπ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±--=-±±==-----↔∑∞-∞=k ,0,,212,,,21:)}2()2({s 000其余级数Nr r k j N r N r r k j a l w w l ww jn inw k l πδπδπ⎩⎨⎧±±==-↔=∑∞-∞=k,02,,0,1)2(21][其余NN k a l w n x k l πδπNN k NN a Nk k N k N N N k a N k w a N n N N n n x k kk k 2,,0,12,0,]2/2sin[)]2/1)(/2sin[()2(22/||,0||,1][1111±±=+=±=≠+-↔⎩⎨⎧≤<≤=∑∞-∞=πππδπk 1:)2(2][对于全部级数Na N kw N kN n k k k k =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδ0][0jwn en n -↔-δ2)1(11||],[)1(jw n ae a n u a n --↔<+离散时间傅里叶变换jwn ae a n u a --↔<111||],[)2/sin()]2/1(sin[||,0||,1][11w N w N n N n n x +↔⎩⎨⎧>≤ππππππ2,||,0||0,1)(0),(sin sin =⎩⎨⎧≤<≤≤=↔<<=T w W Ww w X W Wc W n W n n 1][↔n δ∑∞-∞=--+-↔k jw k w e n u )2(11][ππδrjw n ae n u a r n r n )1(11][)!1(!)!1(--↔<--+)()()()(jw bY jw aX t by t ax +↔+线性：)()(00jw X e t t x jw t -↔-时移：)(()(00w w j X t x e t jw -↔频移：)()(**jw X t x -↔共轭：)()(jw X t x -↔-时间反转：)(||1)(a jw X a at x ↔尺度变换：)()()(*)(jw Y jw X t y t x ↔卷积：)(*)(21)()(jw Y jw X t y t x π↔相乘：)()(jw jwX t x dtd ↔时域微分：⎰+↔∞)()0()(1)(t -w X jw X jwdt t x δπ积分：)()(jw X dwdjt tx ↔频域微分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-=--∠=∠↔)()(|)(||)(|)}(Im{)}(Im{)}(Re{)}({Re )()()(*jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X t x 实共轭对称：ωπd jw X dt t x 22-|)(|21|)(|⎰⎰∞∞-∞∞=帕斯瓦尔：连续时间傅里叶变换性质)()(][][jw jw e bY e aX n by n ax +↔+线性：)(][00jw jwn e X e n n x -↔-时移：)(][)(00w w j n jw e X n x e -↔频移：)(][**jw e X n x -↔共轭：)(][jw e X n x -↔-时间反转：)(X k n 0k n ],/[][)(jkw k e k n x n x ↔⎩⎨⎧=的倍数不为，的倍数为若时域扩展：)()(][*][jw jw e Y e X n y n x ↔卷积：θπθθπd e Y e X n y n x w j j )()(21][][)(2-⎰↔相乘：）时域差分：jw jw e X e n x n x ()1(]1[][--↔--∑∑∞-∞=--∞=-+-↔k j jw jw k k w e X e X e k x )2()((11][0n πδπ）累加：dwe dX jn nx jw)(][↔频域微分：dwe X n x jw n 222|)(|21|][|⎰∑=∞-∞=ππ帕斯瓦尔定理：离散时间傅里叶变换性质S,1)(全部↔t δ0}Re{,1)(>↔s st u 0}Re{,1)(<↔--s st u 0}Re{,1)()!1(1>↔--s st u n t n n 0}Re{,1)-()!1(1<↔--s st u n t n n as sa t u e at ->+↔-}Re{,1)(as sa t u e at -<+↔--}Re{,1)(-as a s t u e n t n at n ->+↔---}Re{,)(1)()!1(1as a s t u e n t nat n -<+↔---}Re{,)(1)-()!1(-1S,T )-t (全部s T e -↔δ0}Re{,)(][cos 220>+↔s w s st u t w 0}Re{,)(][sin 20200>+↔s w s wt u t w 212121),()()()(R R s bX s aX t bx t ax 至少线性：+↔+Rs X e t t x s t ),()(00-↔-时移：]ROC R )([),(][:s 000中中，则就于在若的平移域平移s s R s s X t x e t s --↔]ROC s R s/a [/),(||1)(中就位于中，则在若时间尺度变换：aR a sX a at x ↔Rs X t x ),()(***↔共轭：212121),()()(*)(R R s X s X t x t x 至少卷积：↔R),(至少时域微分：s sX xt dtd↔Rs X dsdt tx s ),()(↔-域微分：}0}{Re{s R [)(1)()(t->↔⎰∞至少时域积分：s X sd x ττa s w a s as t u t w e at->+++↔-}Re{,)()(]cos [2020a s w a s w t u t w e at ->++↔-}Re{,)()(]sin [22000}Re{,1)]([)(>↔=-s st u t u n n 拉普拉斯变换njw N k ktjkw k k e a n x ea t x 00)()(->=<∞-∞=∑∑==∑∑>=<∞-∞===N k njkw kjw ktjkw k keeH a n y ejkw H a t y 000)()()()(0LTI 输入周期信号为x(t)或x(n),其输出y(t)或y(n)如下：∑⎰∞-∞=--∞∞-==n nstzn h z H dt et h s H )()()()(tjkw k kea t x 0)(∑∞-∞==dte t x Ta t jkw Tk 0)(1-⎰=连续时间级数 dwe e X n x jwn jw )(21][2⎰=ππ∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X ][)( 离散时间级数∑>=<=N k njkw kea n x 0][∑>=<-=N k njkw k en x Na 0][1 离散时间级数连续时间傅里叶dwejw X t x jwt)(21)(⎰∞∞-=πdte t x jw X jwt-∞∞-⎰=)()(。
信号与系统常用公式汇总_
信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。
2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。
3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。
4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。
5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。
6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。
7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。
8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。
9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。
10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。
11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。
12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。
13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。
14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t23. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 06. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞二、信号运算公式1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)为信号函数)4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，a和b为常数)5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)三、系统性质与稳定性公式1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性处理)2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，则系统是稳定的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
√
尺度比例变换
对偶性
√
√
时移
频移
√
时域微分性质
频域微分性质
√
时域积分性质
频域积分性质
√
时域卷积性质
频域卷积性质
√
√
对称性
奇偶虚实性质
是实函数
希尔伯特变换
√
时域抽样
频域抽样
√
帕什瓦尔公式
取反----------取反
共轭----共轭取反
共轭取反---
表6.3常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
连续傅里叶变换对
相对偶的连续傅里叶变换对
重要
连续ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间函数
傅里叶变换
连续时间函数
傅里叶变换
重要
√
1
1
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
连续傅里叶变换对
相对偶的连续傅里叶变换对
重要
名称
连续时间函数
傅里叶变换
名称
连续时间函数
傅里叶变换
重要
√