保险精算原理与实务

例1.8：求时间
假定 i(12)分别为12%、6%、2%，问在这 三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍 分别需要几年？
例1.8精确答案
i(12) 12%时，
(1 1%)12n 2 n ln 2 5.8 12 ln 1.01
i(12) 6%时，
(1 0.5%)12n 2 n
10
0.05(1t )2 dt
0.05 0
2、1000e 0
1000e 1t 10 1046.50
三、变利息
什么是变利息？
常见的变利息情况 连续变化场合：函数利息力 (t)
t
a(t) exp{ (s)ds} 0
离散变化场合： i1, , it (d1, , dt )
t
t
a(t) (1 ik ) (1 dk )1
于是，f i t t(1 i)t1 t 1 (1 i)t1 0,
所以，对于任意的0 i 1, 在0 t 1时，f (i)是单调增函数。 f (i) f (0) 11 0，即（1＋it) (1 i)t
例1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
m
1
d
1
d (4) 4
4
1
d (4) 4
3
1
d (4) 4
2
d (4) 1
4
1
1 d
d
1
几个关系式
1 d
1
d (m) m
m
1 1 i
1
i
1
i(m) m
m
故有： 1 1－ d (m)
1 i(m) m
1
i
1 m
m
d (m) m 1 (1 i)1 m ，将上式第一个与第三个式子相等，即可得到。
ln(1 i) i ln(1 i)
i ln 1.08 i
(1) i i(12) 12% n 0.72 6 0.12
(2) i i(6) 12% n 0.72 12 0.06
(1) i i(12) 2% n 0.72 36 0.02
例1.10：求积累值
某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
指定教材
王晓军等，保险精算原理与实务，中国 人民大学出版社。
参考资料
Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA， 1991.
Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition， SOA，1997.
课程结构
例1.10答案
A(7) 1000 (1 j)8 e3 2000(1 j)2 e3 2000e2 10001.0258 e0.09 20001.0252 e0.09 2000e0.06 5756
第三节
年金
第三节汉英名词对照
年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金
（2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
例1.7答案
（1） 400（ 0 1 j)34 5700 j 3%
i(4) 4 j 12%
（2） 3000(1 i)4 6000(1 i)2 15000
(1 i)2 1 6(舍去负根) 由(1 i)2 1 6 i 20.4% （i 2.204舍去)
或者d (m)
i(m) 1 i(m)
，第一个与第二个式子相等得到。
m
由上式得，d 1(m）＝
1 m
1 i(m)
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.2答案
(1)2%单利计息
A(5) 5000(1 5 2%) 5500
(2)2%复利计息
A(5) 5000(1 2%)5 5520
(3)2%单贴现计息
A(5) 5000 5556 1 5 2%
(4)2%复贴现计息
A(5)
（1
5000 2%）5
5531
利息的度量三——利息转换频率不同
一般公式
a(t) e0t sds
恒定利息效力场合
ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1(n) exp{n }
例1.4
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、 5%
2、 t 0.05(1 t)2
例1.4答案
1、1000e10 1000e100.05 1648.72
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(3) A(2) 30
i1
I1 A(0)
20 1000
2%
d1
I1 A(1)
20 1.96% 1020
i2
I2 A(1)
30 1020
2.94%
d2
I2 A(2)
30 1050
2.86%
利息度量二——积累方式不同
线形积累
一、利息的定义
定义：
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
影响利息大小的三要素：
本金 利率 时期长度
二、利息的度量
积累函数
a(t )
总额函数
A(t )
贴现函数 a 1 (t )
712.5
第二节
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效
力
本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保
持恒定。
t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息
t产生更1大的积累值。所以短期业务一般单利计息。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息
Βιβλιοθήκη Baidu
产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
例 证明对于0<t<1, 1 it (1 i)t
另f (i) (1 it) (1 i)t
例1.3答案
1、 2、
P
1
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
A0
An
1
d (2) 2
2n
10001
0.06 12 2
693.84
3、
1
i(4) 4
4
1
d (12) 12
12
i(4)
41
0.06 3 12
1
6.0605%
利息效力
例1.6答案
以第7年末为时间参照点，有
1.066 41.064 x 1.06 10 x 3.7435 千元
以第8年末为时间参照点，有
1.067 41.065 x 10 1.06 x 3.7435 千元
以其他时刻为时间参照点（同学们自己练 习）
例1.7：求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？
第N期利息
I (n)
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t) a 1 (t )-----------------------------1
0
t
I (n) A(n) A(n 1)
利息度量一——计息时刻不同
基础
利息理论基础
生命表基础
核心
保费计算
责任准备金计算
多重损失模型
保单的现金价值与红利
拓展
特殊年金与保险
寿险定价与负债评估
偿付能力与监管
第一章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
利息的度量
第一节汉英名词对照
Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity
一、年金的定义与分类
定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原 始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任 意间隔长度的系列付款。
定义：瞬间时刻利率强度
lim im lim m 1 i)1 m 1 lim 1 i1 m 1 i0
m
m
m
1/ m
ln1 i
e (1 i)
t
A(t) A(t)
d dt
ln
A(t)
a(t) d ln a(t)
a(t) dt
limi(m) limd (m)
m
m
等价公式
单利
a(t ) 1 it i
in 1 (n 1)i
单贴现
a 1 (t ) 1 dt
dn
d
1 (n 1)d
指数积累
复利
a(t) (1 i)t in i
复贴现
a1(t) (1 d )t dn d
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。
例1.5答案
1、e
n
0
1 1
t
dt
n ln(1t )
e 0
1 n
2、1000(1 i1)5 (1 i2 )5 (1 i3 )5 10001.055 1.0455 1.045 1935.06
3、10001
d (4) 4
42
1
i(2) 2
23
1000(0.98)8 (1.03)6
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
实质利率与实质贴现率
初始值
利息
积累值
1
i
1 i
v
d
1
v 1 d （1 i）1
名义利率
名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
1
1 i(4) 4
1
i(4) 4
2
1
i(4) 4
3
1
i(4) 4
4
1
i
1 i
名义贴现率
名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
ln 2
11.6
12 ln 1.005
i(12) 2%时，
(1 0.17%)12n 2 n
ln 2
34.7
12 ln 1.0017
例1.9近似答案——rule of 72
原理：
(1 i)n 2 n ln(1 i) ln 2
n ln 2 ln 2 i i 0.08 ln 2 0.08 0.72
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记
为实质利率，记为 i。
名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 一期的利率为j，记i(m) 为 这一年的名义利 率，i(m) mj 。
利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t 。
实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
k 1
k 1
例1.5
1、如果
t
1 1 t
，试确定1在n年末的积累值。
2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，
最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累
值。
3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计 息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额 应该为多少？
工具：现金流图
现金流 p0
p1
p2
pn
时间坐标 0
t1
t2
tn
方法：建立现金流分析方程（求值方程）
原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
例1.6：求本金
某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
期末计息——利率
第N期实质利率
in
I (n) A(n 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
dn
I (n) A(n)
例1.1 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d2 分别等于多少？
例1.1答案
Q A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050