平行线知识点汇总(实用型)

相交线和平行线知识点总结

在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系：相交与平行。在初中，我们会更加深入地研究角度的关系。角度的关系和直线的位置关系密切相关。

相交线

一、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

相关测试：

（1）若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对

（2）下列各图中，1

∠与2

∠是对顶角的是( )

（3）直线AB 、CD 相交于点O ，

⑴如果100AOC BOD ∠+∠=，那么____AOD ∠=； ⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30，那么___AOC ∠=

两线垂直

⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O

⑵垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

(与平行公理相比较记)

⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

相关测试：

（1）如图，点O 是直线CD 上一点，AO OB ⊥，2AOD BOC ∠=∠，求B O C ∠的度数．

（2）三角形ABC 中，90C ∠=，6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________，A 、B 两点的距离是________.

A B C

D O

如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段

⑵两点间距离与点到直线的距离

⑶线段与距离

三．平行线

1、平行线的概念： 1.相交;2.平行 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

附：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线

2、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

3、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三

条直线，才会结论，这两条直线都平行。

5、三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内

角。

如图，直线b a ,被直线l 所截

①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方， 叫做同位角（位置相同）

②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角。 ④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。

a b c

a

b

l

1 2 3 4 5 6 7 8

相关练习：

一、选择题:

1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )

A.平行或相交

B.垂直或相交;

C.垂直或平行

D.平行、垂直或相交

2.下列说法正确的是( )

A.经过一点有一条直线与已知直线平行

B.经过一点有无数条直线与已知直线平行

C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为

( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.下列说法正确的有( )

①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;

③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二．填空题

1.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.

2.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;?若两条直线平行,则公共点的个数是_________.

3.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.

4.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,?B,C三点________,理论根据是___________________________.

5.两条直线平行，它们的交点个数是_______.

6.平行用符号“______”表示，直线AB与CD的平行，可以记作_______.

7._______，______的两条直线叫做平行线.

8.在同一平面内，两条直线的位置关系有_____和______两种.

三、解答题变式训练:

1.已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?

四．平行线的性质

1、平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。

几何符号语言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD 间的距离。

注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH 的长度也就是直线AB与CD间的距离。

相关练习：

1.命题“垂直于同一直线的两直线平行”这个命题对不对________(写对错)

2. 如图1，直线，直线与相交．若，则．

图1 图2 图3

3、如图2，已知则______．

4、如图3 ，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______

5、如图4，已知，，，则．

A B

C D

E

F

1

2

3

4

A

E

G

B

C

F

H D

图4 图5 图6 6、如图5所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件．

7、如图6，已知，=____________

8 如图10，，分别在上，为两平行线间一点，那么（）

图10

五、两直线平行的判定方法

方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行

方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行

方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。

注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

相关习题

如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.

A B

C D

E

F

1

2

3

4

六、平行的常见模型

模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

·

点P在EF左侧，在AB、CD外部

“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.