量子力学 第三章习题与解答

第三章习题解答
3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
αψ2
2
22)(--
=，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ
22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2
222222121απ
αμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2
2
22221111221
ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122
*2ψψμμ ⎰∞∞
----=dx e dx d e x x 2
22
221
22
221)(21ααμπα ⎰∞
∞
---=dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα
][22
2222222⎰⎰∞∞
--∞∞---=dx e x dx e x x
ααααμ
πα
]2[23222απ
ααπαμ
πα⋅-=
μω
μαμαπαμ
πα⋅
===442222222 ω 4
1
=
或 ωωω 414121=-=
-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()
()(*ψψ 21
2
221
⎰∞
∞
---=dx e
e Px i x
απ
απ
⎰
∞
∞
---=
dx e
e
Px i x
222
1
21απ
απ
⎰
∞
∞--+-=dx e
p ip x 2222)(21 21
αααπ
απ ⎰
∞
∞
-+--
=dx e
e ip x p 2222
22)(212 21
αααπαπ πα
π
απα2
2122
p e -
=
2
2221
απ
αp e
-
=
动量几率分布函数为 2
22
1
)()(2
απ
αωp e
p c p -
==
#
3.2.氢原子处在基态0/30
1
),,(a r e a r -=πϕθψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0
220
/230
2
0⎰⎰⎰
⎰∞
-=
=
⎰∞-=0
/233004dr a r a a r
04
03
023
2!34a a a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
22
03020
/23
20
20
/23
2
20
2/23
2
2214 4 sin sin 1)()2(0
00a e a a e dr
r e
a e d drd r e a e d drd r e r
a e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
∞
-∞
-∞
-ππππϕθθπϕθθπ
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰
⎰
=π
π
ϕθθϕθψω0
20
22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2
/230
04-=
2
/230
04)(r e a r a r -=
ω 0/2030
)2
2(4)(a r re r a a dr r d --=ω
令 0321 , ,0 0)
(a r r r dr
r d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置
/222
03022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω
08)
(2
30
2
20
<-
=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

(4)22
22ˆ21ˆ∇-==μ
μ p T
⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002
/2/30
2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002
/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r dr
d r
e a a r a r ⎰
∞
----=0
/0
203
2 )2(1
(240
dr e a r r a a a r μ
2
02
20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p
),,()()(* ⎰= ⎰⎰⎰
-∞
-=
π
π
θϕθθππ20
cos 0
2
/302
/3 sin 1
)2(1
)(0
d d e
dr r e
a
p c pr i
a r
⎰⎰
-=
-∞
-π
θθπππ0
cos 0
/2
30
2
/3)cos ( )
2(20
d e
dr e
r a
pr i
a r
⎰
∞
--=0
cos /230
2
/30)
2(2πθπππpr i
a r e ipr
dr
e r a
⎰∞---=
0/30
2
/3)()2(20dr e e re ip a pr i
pr i
a r
πππ
])1(1)1(1[)2(2202030
2/3p i a p i a ip a
+--=
πππ
2
2
22
003
30)1(421 p a a ip
ip a +=π 2
22
2
044003
3
)
(24
+=p a a a a π
2
22202/30)
()2(
+=
p a a π
动量几率分布函数
4
22025
302
)
(8)()(
+==p a a p c p πω #
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J
2
sin m n e r m e J ψθ
μϕ=
证：电子的电流密度为
)(2*
*m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ
∇-∇-=-= ∇在球极坐标中为
ϕθθϕθ∂∂
+∂∂+∂∂=∇sin 11r e e r r e r 式中ϕθe e e r
、、为单位矢量
])sin 11( )sin 11([2*
*m n r m n m
n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψϕ
θθψψϕ
θθψμϕ
θϕθ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=-=
)]sin 1sin 1()1 1()([2*
****
*m n m
n m n m n m n m n m n m
n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψϕ
ψθψϕψθψθψψθ
ψψψψψμϕθ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-=
m n ψ中的r 和θ部分是实数。

∴ ϕψψθμe im im r ie J m n m n e )(sin 222---
= ϕψθ
μe r m e m n
2sin -= 可见，0==θe er J J
2
sin m n e r m e J ψθ
μϕ-
=
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。

(1)求一圆周电流的磁矩。

(2)证明氢原子磁矩为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧--==)( 2)( 2CGS c
me SI me M M z μμ
原子磁矩与角动量之比为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)( 2)( 2CGS c
e SI e
L M z
z μμ
这个比值称为回转磁比率。

解：(1) 一圆周电流的磁矩为
A dS J iA dM e ⋅==ϕ （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积）
22
)sin (sin θπψθμr dS r m e m n ⋅-
=
dS r m e m n 2
sin ψθπμ
-
= θψθπμ
drd r m
e m n 2
2sin -
= )(θrdrd dS =
(2)氢原子的磁矩为 ⎰⎰⎰
∞
-
==π
θθψπμ
22
sin drd r m
e dM M m n
⎰⎰∞⋅-
=πθθψπμ
0022
sin 22drd r m e m n
ϕθθψμππd drd r m e m n ⎰⎰⎰∞-=20002
2 sin 2
μ
2m
e -= )(SI
在CGS 单位制中 c
m
e M μ2 -==
原子磁矩与角动量之比为
)( 2SI e L M L M z z z μ-== )( 2CGS c
e
L M z z μ-=
#
3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，
求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =
哈米顿算符 2
2
222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H
与ˆ无关，属定态问题)
)(2)( )()(22
22
222ϕφϕϕφϕφϕφϕ
IE d d E d d I -==-
令 222 IE
m =，则
0)()
( 22
2=+ϕφϕ
ϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有
ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e
∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为I
m E m 22
2 = (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

定态波函数为 ϕφim m Ae =
A 为归一化常数，由归一化条件
π
π
ϕϕφφπ
π
21
21 220
220
*
=
⇒===⎰⎰A A d A d m m
∴ 转子的归一化波函数为
ϕ
π
φim m e 21=
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
2ˆ21ˆL I
H
= t H
与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为 ),(),(ˆ212
ϕθϕθEY Y L I
= (式中),(ϕθY 设为H
ˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθIEY Y L
= 令 22 λ=IE ，则有
),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L
= 此即为角动量2ˆL
的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数ϕθϕθim m m m e P N Y )(cos ),( =
∴ 转子的定态能量为
2)1(2
I
E +=
可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

#
3.6 设t=0时，粒子的状态为 ]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：]
cos )2cos 1([]cos [sin )(21
21212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ ]cos 2cos 1[2kx kx A
+-=
)]()(1[2
212221ikx ikx
kx i kx i e e e e A --++--=
ππ21
][2221212212210⋅
++--=--ikx ikx kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2
0 动能μ22
n p 的可能值为μ
μμμ2
2 2 2 02
2222222 k k k k 对应的几率n ω应为 π2)16 16
16 16 4(2
2222⋅A A A A A π2)8
1
81 81 81
21(A ⋅ 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得
ππω222)1644(12
22⋅=⋅⨯+==∑A A A n
n
∴ π/1=A
∴ 动量p 的平均值为
2162162162216202
222=⋅⨯-⋅⨯+⋅⨯-⋅⨯+==∑ ππππωA k A k A k A k p p n
n n
∑==n n n p p T ωμμ2222
281
2281202222⨯⨯+⨯⋅+=μμ k k
μ
852
2 k =
# ********shangshuyihe******* 3.7 一维运动粒子的状态是
⎩
⎨⎧<≥=-0 ,0 0
,)(x x Axe x x 当当λψ
其中0>λ，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由 ⎰⎰∞
-∞
∞
-==0
2222
)(1dx e x A dx x x λψ
23
41
A λ=
∴2/32λ=A
x xe x λλψ22/32)(-= )0(≥x 0)(=x ψ )0(<x
⎰⎰∞∞-+-∞∞--⋅==dx x xe dx x e p c x ik ikx )(2)21()(21)()(2/32
/1ψλπψπλ
⎰∞∞-+-∞+-+++-=dx e ik e ik x x
ik x ik )(0)(2/131[)22(λλλλπλ 22/132
2/13)
(1
)22()()22(
p i ik x +==+=λπλλπλ
动量几率分布函数为
2
22233222232
)(12)
(12)()(p p p c p +=
+==λπλλπλω
(2) ⎰⎰∞
∞
---∞∞
--==dx e dx
d x
e i dx x p
x p x
x )(4)(ˆ)(3*λλλψψ ⎰∞
∞----=dx e x x i x λλλ23
)1(4
⎰∞
∞
----=dx e x x i x λλλ223)(4
)4141(
42
2
3λ
λ
λ-
-= i
0= #
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。

粒子能量的本征函数和本征值为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤≤a x x a x x a
n a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(π
ψ 2
2
222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 动量的几率分布函数为2
)(n C E =ω
⎰⎰==
∞
∞-a
n dx x x a
n dx x x C 0*)(sin
)()(ψπ
ψψ 先把)(x ψ归一化，由归一化条件，
⎰
⎰⎰+-=-==∞
∞
-a
a
dx x ax a x A
dx x a x A dx x 0
2222
2
2
2
)2()()(1ψ
⎰+-=a
dx x ax x a A 0
43222)2(
30
)523(5
25552
a A a a a A =+-= ∴5
30
a A = ∴ ⎰-⋅⋅=a n dx x a x x a n a
a C 05)(sin 302π
]sin sin [1520203x xd a n x x xd a n x a a
a a ⎰⎰-=ππ
a
x a n n a x a n x n a x
a n x n a x a n n a x a n x n a a 0
3
33
222
222323]
cos 2sin 2 cos sin cos [152ππππππππππ--
++-=
])1(1[1543
3n
n --=
π
∴ 2662
])1(1[240)(n n n C E --==π
ω
⎪⎩⎪⎨⎧=== ,6 ,4 ,20
5 3 1960
66n n n ，，，，
，π
⎰⎰==∞
∞-a
dx x p x dx x H x E 02
)(2ˆ)()(ˆ)(ψμ
ψψψ ⎰--⋅-=a dx a x x dx
d a x x a 022
25)](2[)(30μ )32(30)(303
35
2052a a a
dx a x x a a -=-=⎰μμ 2
2
5a
μ =
3.9.设氢原子处于状态
),()(2
3
),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值
22
222282
s s e n e E μμ-=-= )2(=n
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为
41， 4
3
其平均值为
4
3
43041-=⨯-⨯=Z L
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
⎩
⎨⎧<≥∞=a r a r r U ,0;
,)(
求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
0=ψ (a r ≥)
由于在a r <的区域内，0)(=r U 。

只求角动量为零的情况，即0= ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。

即粒子的几率分布与角度ϕθ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与ϕθ、无关。

设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为
ψψ
μE dr
d r dr d r =-)(1222
令 222 ,)(
E
k rE r U μψ==，得
0222=+u k dr u
d
其通解为
kr
r
B
kr r A r kr B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=-∴+=ψ 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0
∴ kr r
B
r sin )(=ψ
由波函数的连续性条件，有
0sin 0)(=⇒=ka a
B
a ψ
∵0≠B ∴),2,1(
==n n ka π
a
n k π= ∴ 22222a n E n μπ
=
r a
n r B r π
ψsin
)(= 其中B 为归一化，由归一化条件得
2
02
2
22
2sin 4 sin )(1aB
rdr a n B dr
r r d d a
a
πππθψϕθπ
π
=⋅==
=
=
⎰⎰
⎰
⎰
∴ a
B 21
π=
∴ 归一化的波函数
r
r a n a r ππψsin 21)(= #
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆p x 解： 0=p
2224
5 2 k T p =
=μ 0]cos 21
[sin 222=+=⎰∞∞-dx kx kx x A x
∞=+=⎰∞∞-dx kx kx x A x 22222]cos 2
1
[sin
∞=-=-=∆⋅∆)()()()(2
22222p p x x p x
3.12.粒子处于状态
]4exp[)21()(22
02/12ξ
πξψx x p i x -=
式中ξ为常量。

当粒子的动量平均值，并计算测不准关系?)()(22=⋅p x ∆∆
解：①先把)(x ψ归一化，由归一化条件，得 ⎰⎰∞
∞
--∞
∞
--=
=)2(
212112
)2(
2
2 2
2
2
2
2ξ
π
ξ
πξ
ξξ
x d e
dx e
x x
2/12
2)21
(
21
πξππ
ξ==
∴π
ξ21
2= /
∴ 是归一化的
]2
exp[)(20x x p i x π
ψ-=
② 动量平均值为
⎰⎰∞∞----∞∞---=-=dx e x p i e i dx dx d i p x x p i x x p i 20202
02 ) ()(*πππψψ
⎰∞∞----=dx e x p i
i x 2 0) (ππ
⎰⎰∞
∞
--∞
∞
--+=dx xe i dx e
p x x 2
2
0 πππ
0p =
③ ?)()(22=⋅p x ∆∆
⎰⎰∞
∞
--∞
∞
-==dx xe dx x x x 2
*πψψ （奇被积函数）
⎰
⎰
∞
∞
--∞∞
--∞
∞
--+
-==
dx e e x dx e
x x x x
x 2
22
2
2
2121
ππππ
π
π
21-
= ⎰⎰∞∞----∞
∞--=-=dx e dx
d e dx dx d p x x p i
x x p i
*20202
222
2
ππψψ
⎰⎰∞∞--∞∞---++
=dx e x dx xe p i p x x 2)(2222202
02
πππππ
)2
(21)
(0)(2
0222202p p +=-+++= ππππ π∆21)(22
2=-=x x x
22
020
22222)2()( ππ∆=-+=-=p p p p p 2
2224
1221)()( =⋅=
⋅ππ∆∆p x #
11/10 补充
1．试以基态氢原子为例证明：U T
ˆˆ或不是ψ的本征函数，而是U T ˆˆ+的本征函数。

) 1( 2)1(4122
0/2/30
1000 s a r e a e a μπψ==-解：
100
100
0202/0202/302/222/302100
22
2100
22
2
2222 )2
1(2)21()1(12 )
(1)1(12 )(12ˆˆ]
sin 1)(sin sin 1)([12ˆ00
ψψμπμπμψμψϕθθθθμ⨯≠--=--=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂-=-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=--常数r a a e r
a a a e r r r r
a r
r r r T r
e U
r r r r T a r a r s
的本征函数不是T
ˆ100ψ 1002
100ˆψψr
e U s -= 可见，的本征函数不是U ˆ100ψ
100
2
210002
100021002
02100
2
/0202/3021001
2 12 )21()1(12)ˆˆ( 0ψμψμψμψμψπμψa r a r a a r e e r a a a U T s a r -=-+-=---=+-而
可见，100
ψ是)ˆˆ(U T
+的本征函数。

2．证明： ±==L L ，6的氢原子中的电子，在︒︒=135 45和θ的方向上被发现的几率最大。

解： ΩΩϕθd Y d W m m 2
),( = ∴ 2
),(m m Y W =ϕθ
±==L L ，6的电子，其1 ,2±==m
ϕ
ϕ
θθπ
ϕθθθπ
ϕθi i e Y e Y ---=-= cos sin 815
),( cos sin 815
),( 1221
∴θπ
θθπϕθ2sin 3215cos sin 815),(2222
12===±m Y W 当︒︒=135 45和θ时
π
3215
12=
±W 为最大值。

即在︒=︒=13545θθ，方向发现电子的几率最大。

在其它方向发现电子的几率密度均在0～π
3215
之间。

3．试证明：处于1s ，2p 和3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为00094a a a 和、的球壳内被发现的几率最大(0a 为第一玻尔轨道半径 )。

证：①对1s 态，0
/2/30
10)1(
,0 ,1a r e
a R n -===
/2203010/2230
2
10210)22(4)1(4)1(
)()(a r a r e r a r a r W e r a r R r r W ---=∂∂==
令 010
=∂∂r
W 0321 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ，当0 ,01021=∞==⇒W r r 时，不是最大值。

2
0104)(-=
e a a W 为最大值，所以处于1s 态的电子在0 a r =处被发现的几率最大。

②对2p 态的电子02/02/30213)21( ,1 ,2a r e a r
a R n -===
00
/03
5
21/22
4302
21
2
21)4(2413)21()(a r a r e a r r a r W e r a r a R r r W ---=∂∂==
令 021
=∂∂r
W 03214 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ，当0 ,02121=∞==⇒W r r 时，为最小值。

0/202025
2212)812(241a r e a r a r r a r W -+-=∂∂
038)163212(1624143
4
205042
21
20
<-=+-⨯=
∂∂--=e a e a a r W a r ∴ 04a r =为几率最大位置，即在04a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。

③对于3d 态的电子 03/20
2/3032)(15811)2(
,2 ,3a r e a r
a R n -===
00
3/205
7
2323/62
732
232)326(1581815
81)(a r a r e a r r a r
W e r a R r r W ---⨯=∂∂⨯=
=
令
032
=∂∂r
W 03219 , ,0a r r r =∞==⇒ 易见 ，当0 ,03221=∞==⇒W r r 时，为几率最小位置。

03/22060527
22322)92415(158116a r e a r a r r a r W -+-⨯=∂∂
0516 )98123615()9(158116
30
6
2
2
0004
070292
32
20
<-
=⨯+-⨯=∂∂--=e a e a a a a a a r W a r
∴ 09a r =为几率最大位置，即在09a r =的球壳内发现球态的电子的几率最大。

张 P.74 21 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
⎩⎨⎧≥≤=)( 0 ,)( 0 ,0)(0在金属外部
在金属内部
x U x x U
其中 00>U ，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。

解：设电场强度为ε，方向沿χ轴负向，则总势能为
)0(
)(≤-=x x e x V ε， 0 V 0）（）（≥-=x x e U x ε 势能曲线如图所示。

则透射系数为
]) (22exp[
1
2
0⎰---≈x x dx E x e U D εμ 式中E 为电子能量。

01=x ，2x 由下式确定
0) (20=--=E x e U p εμ
∴ εe E
U x -=
02 令 θε
20
sin e E
U x -=，则有 )
(232 )3cos ()(22
sin 2)(2) (20020
30020
20001
2
E U e E
U E U e E U d e E
U E U dx E x e U x x --=
---=-⋅
-=
--⎰
⎰
με
θ
μεθθε
μεμπ
π
∴透射系数])(23exp[
00E U e D --≈με
27/9 全是补充题：
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2
224dx d x ； ② []2
； ③ ∑=n K 1
解：①2224dx d x 是线性算符 2
22
22122212222211222221122244 )(4)(4)(4 u dx
d
x c u dx d x c u c dx
d x u c dx d x u c u c dx d x ⋅+⋅=+=+ ②[]2 不是线性算符
2
222112
2
222121212122211]
[][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+ ③∑=n
K 1是线性算符
∑∑∑∑∑=====+=+=+N
K N
K N
K N
K n
K u c u c u c u c u c u c 1
221
111
221
111
2211
2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

22
4 dx
d dx d i dx d ，， 不是厄米算符
，，当解：dx
d
dx
dx d
dx dx d
dx dx d dx dx d x dx dx d dx dx
d *)( *)( * *
00 * * * -∴≠-=-=∴→→±∞→-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞-∞∞-∞∞∞∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
是厄米算符
dx
d
i dx dx
d
i dx dx d i dx
dx d i i dx dx
d i ∴=-=-=⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞∞
∞- *)( *)( * * * -φψφψφψφψφψ
是厄米算符
22
22
2
2
22
-224 *)4
( *4 * 4*
4 *4 *4 *4 4* dx
d dx dx
d
dx dx d
dx
dx d dx
d dx dx d dx d dx dx d dx d dx d dx dx
d ∴=-=+=-=-=⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞-∞∞-∞
∞-∞∞-∞
∞∞∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ
3、下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？
①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
解：①2)(222
=x dx
d
∴ 2
x 不是22dx
d 的本征函数。

② x x
e e dx
d =22
∴ x
e 不是22dx
d 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx d
x dx
d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx d
x dx
d --=-= ∴ x cos 3 是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)
cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x
x x x dx d
x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

4．试求算符dx
d i
e F
ix -=ˆ的本征函数。

解：F ˆ的本征方程为 φφF F
=ˆ c
dx d
Fe dx
d F
e d dx d Fe d dx iFe d F dx
d
ie ix ix ix ix ix ln ln )()( +-=-=-===-φφφφ
即 ix
Fe ce --=φ（F F
是ˆ的本征值）
第二章 薛定格方程
3．如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。

解： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≥
∞≤=2 ,2
,0)(a x a x x U
方程（分区域）：
Ⅰ：∞=)(x U ∴ 0)(=x I ψ )2(a
x -≤
Ⅲ：∞=)(x U ∴ 0)(=x III ψ )2
(a
x ≥
Ⅱ：II II
E dx d ψψμ=-2
222
02222=+II II E
dx d ψμψ 令 222
E
k μ=
02
2
2=+II II k dx
d ψψ )sin(δψ+=kx A II
标准条件：⎪⎩
⎪⎨
⎧=-=-)
2()2()2()2(a a a a III II II I ψψψψ ∴ 0)sin(=+-δkx A ∵ 0≠A
∴ 0)sin(=+-δkx 取 02=-a k δ， 即 2
a
k =δ
∴ )2
(sin )(a
x k A x II +=ψ
0sin =ka A 0sin =⇒ka
∴ πn ka = ) ,2 ,1( =n
n a
k π
=
∴ 粒子的波函数为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≤+=2
,02 ),2
(sin )(a x a x a x a n A x πψ 粒子的能级为a
k n k E μπμ222
2222=
= ) ,3 ,2 ,1( =n 由归一化条件，得
⎰⎰-∞∞-+==2/2/2
22
)2(sin )(1a a dx a x a n A d x πτψ ⎰-+-=2/2/2)]2(2cos 1[21a a dx a
x a n A π ⎰-+-⋅=2/2/22)2(2cos
2a a dx a
x a n A a A π 2
222)2(2sin 22a
a
a
x a n n a A A a -+⋅-=ππ 22
A a =
∴ a
A 2
=
∴ 粒子的归一化波函数为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤+=2 ,02 ),2(sin 2)(a x a
x a x a n a
x πψ
4．证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径）。

证：dr r R dr r s 22
1010)( :1=ω
dr r e a a r 2/23
004)1(
⋅⋅=- 0/2230
104)1
()(a r e r a r -⋅=ω
0/2203010)2
2()1(4a r e r a r a dr d --⋅=ω
0/20
30)1
1()1(8a r re r a a --⋅=
令 010=dr
d ω
，则得
011=r 011a r = ])1()21[()1(80
/2000302102a r e a r a r r a a dr d --∂--⋅=ω
])241()1(80
/220
2030a r e a r a r a -+-⋅=
00
210
211>=r dr d ω ∴011=r 为几率最小处。

00
112
10
2<=a r dr d ω ∴011a r =为几率最大处。

dr r R dr r p 22
2121)( :2=ω
dr r e a r a a r 2/2023003)21(⋅⋅=-
/20
230213)21()(a r e
a r a r -⋅=ω 0/305
21)1
4(241a r e r r a a dr d --⋅=ω
]81(2410
/22
20502212a r e r a r r a a dr d -+-=）ω 令 021
=dr
d ω，则得 021=r 0224a r =
00
2242
21
2<=a r dr d ω ∴
0224a r =为最大几率位置。

当 040a r <<时，
02
10
2>dr
d ω ∴0=r 为几率最小位置。

0326
7
2
32
32984158)( :3a r
e r a R r d -==ω 0
32507
032)325(984158a r
e r a r a dr d --=ω 令 032
=dr
d ω，得 ,031=r 0329a r =
同理可知 031=r 为几率最小处。

0329a r =为几率最大处。

5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解：2
221122)(x xe x ααπ
α
ψ-⋅=
2
2
232
112)()(x e
x x x απ
αψω-== 22)(4323
1x e x x dx d ααπ
αω--=
2
2)1(4223
x xe x ααπ
α--=
2
2
)251(444223
212x e x x dx d α
ααπαω-+-=
令
01
=dx
d ω，得
01=x ，00
221x x ±=±=±
=μω
00
2
121>=x dx d ω， ∴ 01=x 为几率最小处。

02
12
122<±
=x dx d ω， ∴ 0221
x x ±=±
=为几率最大处。

6．设氢原子处在0
30
1
),,(a r e
a
r -=
πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求
①r 的平均值；
②势能r
e 2
-的平均值。

解：①⎰⎰⎰∞-=ππφθθπ20
0023
30
sin 10d d dr e r a r a r ππ4)2()2(1231
03030
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=a a a
02
3
a =
②⎰∞-⋅⋅-=-
0230
2
2041dr re a e r e a r
s ππ )2()2(400302a
a a e s ⨯⨯⨯-=
2
a e s -=
7．粒子在势能为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥<<≤=a
x U a
x x U U 当当当 ,0 ,00 ,2
1 的场中运动。

证明对于能量21U U E <<的状态，其能量由下式决定：
2
1122sin U k
U k n ka μμπ -
-=- （其中2
2 E k μ=
） 证：方程
Ⅰ：)0( 212
22≤=+-x E U dx d II I I
ψψψμ
Ⅱ：)0( 02 2
22
A x E dx d II II II
<<=+-
ψψψμ Ⅲ：)0( 2 22
22
≥=+-
x E U dx
d III III III
ψψψμ 令 ,)
(2 ,2 ,)
(22
222
1
E U E
k E U -==-=μβμμα 则得
Ⅰ：022
2=+I I
dx d ψαψ Ⅱ： 02
2
2=+II II k dx d ψψ Ⅲ： 02
2
2=+III III dx
d ψβψ 其通解为
x x I e D e C ααψ-+=11 )sin(δψ+=kx A II
x x III e D e C ββψ-+=22 利用标准条件，由有限性知 00, , 1=∞-D x I ψ 00, , 2==∞+=C x III ψ
∴ x I e C αψ1= )sin(δψ+=kx A II x III e D βψ-=2 由连续性知
δψψsin )0()0(1A C II I =⇒= ①
δαψψcos )0()0(1kA C II I =⇒'=' ② x III II e D kx A a a βδψψ-=+⇒=2)sin()()( ③ x III II e D kx kA a a ββδψψ--=+⇒'='2)cos(
)()( ④ 由①、②，得
α
δk
tg = ⑤
由③、④，得
β
δk
ka tg -=+)( ⑥
而δ
δ
δtg tgka tg tgka ka tg ⋅-+=
+1)(
把⑤、⑥代入，得βδδk
tg tgka tg tgka -=⋅-+1
整理，得 δβ
δβ
tg k
tg k
tgka -
+=-1
δ
β
δβ
πtg k
tg k
ka n tg -
+=
-1)(
令 β
τk
tg =
)(1)(δτδ
β
δβ
π+=-
+=
-tg tg k
tg k
ka n tg ∴ δτπ+=-ka n δτπ--=n ka
由x tg tgx
x 2
1sin +=，得
22
22
2)(1sin U k k k k k
μββ
β
τ =
+=+= 1
2
22
2)(1sin U k k
k
k k
μααα
δ =
+=
+=
2
1
112sin 2sin U k
U k n ka μμπ ----= ###
第三章 力学量的算符表示
1、2（略）。

3．设波函数x x sin )(=ψ，求?][])[(
2=-dx
d
x x dx d ψ 解：ψψ]][[])][()[(dx d
x dx d x x dx d x dx d -=原式
ψψ]cos ][[]cos ][sin )[(x x dx
d
x x x x x dx d -+=
)()cos (cos )(sin x x x x x x x xx x ---+++= x x x cos 2sin +=
4．说明：如果算符A
ˆ和B ˆ都是厄米的，那么 (A
ˆ+B ˆ)也是厄米的 证： ⎰
⎰
⎰
+=+τψψτψψτψψd B d A d B A
2
*12
*12
*1ˆˆ)ˆˆ( ⎰⎰+=τψψτψψd B d A *)ˆ(*)ˆ(1212 ⎰+=τψψd B A *])ˆˆ[(1
2 ∴ A
ˆ+B ˆ也是厄米的。

5．问下列算符是否是厄米算符：
①x p x
ˆˆ ②)ˆˆˆˆ(2
1x p p x x x + 解：①⎰⎰=τψψτψψd p x d p x x x )ˆ(ˆ)ˆˆ(2*
12*1
⎰⎰==τψψτψψd x p d p x
x x 2121*)ˆˆ(ˆ*)ˆ（ 因为 x x p x p ˆˆˆχ≠ ∴ x p x
ˆˆ 不是厄米算符。

②⎰⎰⎰+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21)]ˆˆˆˆ(21[ ⎰⎰+=τψψτψψd p x d x p x x 2*12*1)ˆˆ(21
)ˆˆ(21 ⎰+=τψψd x p p x x x 2*1]))ˆˆˆˆ(21[ ⎰+=τψψd p x x p x x 2*1])ˆˆˆˆ(21
[ ∴ )ˆˆˆˆ(2
1x p p x x x +是厄米算符。

## 6 （略）
7．如果算符βα
ˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证 ①βαββα
ˆ2ˆˆˆˆ22=- ②233ˆ3ˆˆˆˆβαββα
=- 证： ① αβαβαββα
ˆˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆ2222-+=- αββαββˆˆˆˆˆˆ22-+= αββαββ
ˆˆ)ˆˆ1(ˆˆ22-++= βˆ2= ②αββαββαββα
ˆˆˆ)ˆˆˆ2(ˆˆˆˆ3233-+=-
αββαββˆˆˆˆˆˆ2322-+= αβαβββˆˆ)ˆˆ1(ˆˆ2322-++= 2ˆ3β
= 8．求 ?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L ?ˆˆˆˆ=-y x x y L P P L ?ˆˆˆˆ=-z
x
x
z
L P P L
解： )ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆy z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=-
)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆy
x
z
x
x
y
x
z
P z P P y P P P z P P y
+--= )ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx y x z x y x z P P z P P y P P z P P y +--=
= 0
)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆz x x x z x y x x y P x P z P P P x P z L P P L ---=-
)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2z
x
z
x
x
z
x
P x P P z P P P x P z
+--= )ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22z x x x z x P x P P z P P x P z +--= z
x
x
P x P P x
ˆ)ˆˆˆˆ(--= z
P i ˆ -= )ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆx
y x x x y z x x z P y P x P P P y P x L P P L ---
=- x
x
y
x
x
x
y
P y P P x
P P y P P x
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2+--= 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx y x x y x P y P x P P y P P x +--=
y
x
x
P x P P x
ˆ)ˆˆˆˆ(-= y
P i ˆ = 9． ?ˆˆˆˆ=-x x L x x L ?ˆˆˆˆ=-y
y
L x x L
?ˆˆˆˆ=-z z L x x L 解： )ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆy
z y z x x P z P y x x P z P y L x x L ---=- y
z
y
z
P z x P y x x P z x P y
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ+--= x P z x P y x P z x P y y z y z ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ+--=
= 0
)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆz
x z x y y P x P z x x P x P z L x x L ---=- z
x
z
x
P x P z x x P x x P z
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2+--= )ˆˆˆˆ(ˆx x P x x P z -= z
i ˆ -= )ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆx
y x y z z P y P x x x P y P x L x x L ---=-
x y x y P x y P x x P y P x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22---= )ˆˆˆˆ(ˆx P P x y
x
x
-= y
i ˆ -=。