实变函数练习与答案

实变函数练习及答案

一、选择题

1、以下集合，（ ）是不可数集合。

.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；

.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E

A 是（ ）

.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）

.A ()f x 在[,]a b L —可积⇔()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积⇔()f x 在[,]a b R —可积；

.C ()f x 在[,]a b L —可积⇔()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积⇒()f x 在[,]a b L —可积

4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ⊆⊆⊆则有（ ） .A 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

=>； .B 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

==；

.C 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

==； .D 以上都不对。

5、

()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）

.A A B ⊂； .B B A ⊂； .C A C ⊂； .D C A ⊂。

6、设E 是闭区间

[]0,1中的无理点集，则（ ）

.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。

7、设mE <+∞，

(){}n

f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函

数，则

(){}n

f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）

.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。

8、设

()f x 是E 上的可测函数，则（ ）

.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。c

二、填空题： 1、设n E R ⊂，0n x R ∈，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 点，则称0x 是E 的聚点。 2、设n E R ⊂，若E 是有界 点集，则E 至少有一个聚点。

3、设

()f x 是E 上的可测函数，0mA =，则()f x 是E

A 上的 函数。

4、设在E 上，

(){}n

f x 依测度收敛于()f x ，则存在(){}n

f x 的子列(){}k

n f x ，使得在E 上，

(){}k

n f x 敛于()f x 。

5、设设

1

[1,2],(1,2,...)n A n n

=+=,则lim n n A →∞=________________。

6设P 是Cantor 集，[0,1]\G P =，则mG =___________。

7、写出一个(0,1)与(,)-∞+∞之间一一对应关系式___________________ 。

8.设()2,,x

e x

f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数

是无理数

，则()[]01()L f x dx =⎰， 。 9、设E 是[0,1][0,1]⨯中有理数全体，则E 的闭包E 为_____________。

10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。 三、判断题。

1、2

R 与3

R 的势是不等的。……………………( )

2、设mE <+∞，{()}n f x 为E 上一列.a e 有限的可测函数，若在E 上{()}n f x .a e 收敛于.a e

有限的可测函数()f x ，则{()}n f x 在E 上依测度收敛于()f x 。…………( )

3、若{()},1,lim ()(),P p

n n n f x L p f x f x L →∞

⊂≥=∈则lim 0n p

n f f

→∞

-=。

……………( ) 4、设()f x 在(0,)+∞上R 可积,则()f x 在(0,)+∞上必L 可积。………………( ) 5、若P 不是E 的聚点，则P 是E 的孤立点。……………………………………( ) 6、设0mE =，则对E 上的任何实值函数()f x 都有

()0E

f x dx =⎰

。

………………( ) 7、设f 在q E R ⊂上可测，则由f 在E 上可积可以推出f 在E 上可积，但反之不

对。…( )

8、若{}n f 为E 上非负单调可测函数列，且lim ()()n n f x f x →∞

=，则

lim ()()n E

E

n f x dx f x dx →∞=⎰⎰。…( )

四、计算题与证明题 1、证明：若A B ⊃，B B C ，则A A C 。

2、设()f x 是1R 上的实值连续函数，a 是任意给定的实数，证明(){}G x f x a

=>是开集。

3、设1E ，2E 都是可测集，试证：()()121212mE mE m E E m E E +=+。

4、设在可测集E 上，

()()n f x f x μ

−−→，且()()1.n n f x f x a e +≤于()1,2,

E n =，试证明：

()()lim ..n n f x f x a e →∞

=于E .