几何概型经典练习题

几何概型题目选讲1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )解析：设AC ＝x ，由题意知x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，所求事件的概率P ＝4－0＋12－812＝23.2．已知圆C ：2212,:4325x y l x y +=+=在圆上任取一点P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。

解：P(A)=163．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤20≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域D 为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为4－π×444＝4－π4.4．在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x≤2的概率为__________．解析：由1≤log 2x≤2，得2≤x≤4，根据区间长度关系，得所求概率为29.5．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f(x)＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于__________．解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足Δ＝m 2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P ＝2＋915＝1115.6．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x＜24,0≤y＜24且y －x≥4或y －x≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＜24，0≤y＜24，y －x ＞4或y －x ＜－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y≥2或y －x≥4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＜24，0≤y＜24，y －x ＞4或x －y ＞2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.7.知k ∈［－2,2］，则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k＝0相切的概率等于 【解析】.∵圆的方程化为222k 5k k (x )(y 1)1244＋＋－＝＋＋，∴5k＋k 2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆222k 5k k (x )(y 1)1244＋＋－＝＋＋相切，∴A(1,1)在圆外，得222k 5k k (1)(11)1244>＋＋－＋＋，∴k<0，故k ∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k ∈［－2,2］，其区间长度为4，所以P ＝14.8．已知k ∈[－2,2]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于 解析：∵圆的方程化为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －1)2＝5k 4＋k24＋1，∴5k ＋k 2＋4>0，∴k <－4或k >－1.∵过A (1,1)可以作两条直线与圆⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －1)2＝5k 4＋k 24＋1相切，∴A (1,1)在圆外，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋k 22＋(1－1)2>5k 4＋k24＋1，∴k <0，故k ∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k ∈[－2,2]，其区间长度为4，∴P ＝14.9．已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －3<0.(1)求A ∩B ，A ∪B ； (2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率； (3)设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．解：(1)由已知B ＝{x |－2<x <3}，A ∩B ＝{x |－2<x <1}，A ∪B ＝{x |－3<x <3}．(2)设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，这是一个几何概型，则P 1＝38.(3)因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E 为“b －a ∈A ∪B ”，则事件E 中包含9个基本事件，事件E 的概率P (E )＝912＝34.10．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b . ①记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)由题意可知：n1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4”，(x ，y )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R}，而事件B 所构成的区域B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}，∴P (B )＝S B S Ω＝2×2－π2×2＝1－π4.11、“已知圆C ：x2＋y2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD ＝MC ＝2 6.当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6.所以P(A)＝π×232π×23＝12.12．(1)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.(2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14.答案：(1)13 (2)1413．在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以VS —APCVS —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23.14．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x2＋ax ＋b2无零点的概率为 解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，即(a ＋2b)(a －2b)＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0，∴a －2b ＜0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.15．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.。