四年级奥数数第四次

课题:等差数列

【学习目标】

1.认识并知道数列的定义，知道等差数列的定义，会判断一个数列是否是等差数列。

2.会求等差数列的和、公差、项数以及各项的对应的数。

把若干个数依次排成一列称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…第n 项，…数列的最后一个数叫“末项”，整个数列总共有几个数叫“项数”，每相邻的两个数之间的差相等，这种数列称之为等差数列，在等差数列中如果一个数列从第二个数开始，相邻数（两项）的差叫“公差”。，如1、2、3、4、5、…999、1000（首项是1，末项是1000，公差是1，共有1000项），或2、5、8…98、102（首项是2，末项102，公差是2，共有56项）。

本节我们学习等差数列求和的有关知识。在学习过程中我们要学习和掌握使用几个有关

的公式：1.等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

2.项数=(末项－首项)÷公差＋1

3.第N项的数=首项+(项数－1）×公差

4.首项=末项-(项数－1)×公差

找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。

1、2、3、4、（）、（）、……（）

第1000个

、…（）

2、4、6、8、（）、（）、…（）

第1001个

1、5、25、125、（）……

…（）

1、4、9、16、（）、（）、…、（）

第100个

判断下列数列是否是等差数列

（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…

（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…

（3）1，4，9，16，25，36，49，…

例1（1）数列4、7、10、13、...、25，共有多少项 ,(2)求数列4、7、10...的第10项是多少？（3）计算4+7+10+13+ (25)

思路导航:仔细观察可以发现，后项与其前一项的差都是3，所以这是一个以4为首项，公差为3的等差数列，（1）.①可以根据等差数列的定义补足所有的项：4、7、10、13、16、19、21、25，可以得出共有8项。②4,4+3,4+3+3,4+3+3+3，…4+3+3+3+3+3+3+3，可以看出：项数=(4+3+3+3+3+3+3+3-4)÷3+1=8。也即项数=（25-4）÷3+1=8;(2)从②中知第10项=4+3×9=4+(10-1)×3=31;(3) 4+7+10+13+…+25=(4+25)×8÷2=116

解（1）项数=（25-4）÷3＋1=8

（2）第10项=4+(10-1)×3=31

（3）4+7+10+13+…+25=(4+25)×8÷2=116

项数=(末项-首项)÷公差+1 第N项的数=首项+(项数－1）×公差

等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

1-1.（1）有一个数列:2,6,10,14,...,106,这个数列共有多少项?，第12个数是多少？（2）求2+6+10+14+ (106)

1-2.有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 第20项的数是多少？

1-3.在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例2. 一只小鸡在田里捡稻谷吃，第一天捡了1粒，第二天捡了2粒，第三天捡了3粒，…如此下去，到第100天，这只小鸡总共捡了多少粒稻谷？

思路导航: 通过分析我们发现：这只小鸡从第二天起开始捡的稻谷个数起，每一天都比前一天多1，一直排列下去，就成了一个1，2，3，…100的数列。也就是说，这个数列的首项是1，末项是100，从1到100刚好是100个数，所以项数是100.

解：依照等差数列求和公式可知： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100

=（100＋1）×100÷2

=5050（粒）

答：到第100天，这只小鸡总共捡了5050粒稻谷。

从上题可以看出，等差数列求和需要知道几个条件：首项、末项、项数。这些条件有时并不能直接知道，需要动脑筋去找找、算算。

2-1．计算下列各题

1＋3＋5＋…＋97＋99 2＋5＋8＋…＋98＋101

100+99+98+…+61+60 5+10+15+20+⋯ +190+195+200

1＋2＋…＋8＋9＋10＋9＋＋8＋…＋2＋1

【课后练习】

1.找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。

（1）0、4、12、16、（）、（）……

（2）1、4、7、10、（）、16……

（3）5、9、13、…、5、（）第50个数

（4）3、5、7、9、（）、（）、…、（）

2.已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数以及这个数列的第200个数是多少？

3.在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994

3.计算

1+2+3+4+…+53+54+55 2+4+6+8+…+1990

4.100个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是300，小明报的数是几？

5.有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？