第四节 岩石的破坏判据
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第四节
岩石的破坏判据
岩石在一定的受力条件下可能要发生破坏,用来判断岩 石是否破坏需用到破坏判据。 破坏判据：表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数 间的函数关系，称为破坏判据或称强度准则、强度判据。 在岩体力学研究中,用到的判据主要有:库仑--纳维尔 判据、莫尔判据、格里菲斯判据和八面体强度判据。
α
（1）抛物线型 对于岩性较坚硬至较软
弱岩石（如砂岩、泥灰岩、
页岩等）的强度包线为：
n——为待定系数。
适用于岩性较坚 硬至较软弱的岩石， 如泥灰岩、砂岩、泥 页岩等岩石。
利用图4-44中的关系，有：
其中：
将这些条件代入上式，并消去式中的σ，得二次抛 物线型包络线的主应力表达式：
1 3 2 2n1 3 4n t n2
1、基本理论依据 莫尔考虑了三向应力状态下的库仑--纳维尔判据后认 为：材料在极限状态下，剪切面上的剪应力就达到了随法 向应力和材料性质而定的极限值。 也就是说，当材料中一点可能滑动面上的剪应力超过 该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，而滑动面的剪切 强度τ又是作用于该面上法向应力σ的函数。
2.莫尔强度包线的绘制：
二、莫尔判据(1900)
理论要点： ①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力作 用面上； ②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切面 上正应力的函数； ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、二 次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线， 它由试验拟合获得； ④剪切强度曲线是关于σ轴对称的曲线，破坏面成对成簇出现； ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割时研究点破坏，否则不破坏； ⑥不考虑σ2的影响。
（有两种方法推导： 代数、几何 ）
2、判据公式
剪 切 式： 三向应力式：
式中：
f tg
单向应力式： 单压时:
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
1 3 sin 1 3 2Cctg
3.应用： ①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 45 2 （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。
b
mm 2cos sin 1 2msin m cos 21 m sin cos
2 2 2 2 2 2 y x xy
m cos sin
2 2
2
——轴比，很小（因为裂纹为扁平椭圆） 因越靠近端部应力越集中，因而椭圆周边最大 拉应力势必发生在曲率半径最小的靠近椭圆端部附 近，亦即说偏心角α很小的地方。 当时 0 ，则 sin ，而 cos 1 将之代 入（6）式，并略去分子中出现的二次微量 （ 2、m2、m ）则可得裂纹周边端部切向应力的近 似表达式： 其中
微裂纹
σ1
基于以上假设，Griffith首先从能量观 点研究了这一问题，建立了裂纹扩展的能量 准则（或破坏判据） ,之后又从应力观点提 出了裂纹扩展的应力准则。
Griffith认为：具 有细微裂隙的脆性材料， 在力场的作用下，裂纹 周边将激起切向拉应力。 一旦裂纹周边端部 附近某处的切向拉应力 高度集中到达材料的抗 拉强度值时，则材料就 将以该处开始沿一定的 方向发生脆性破裂。
2
1 3
2 1 3 BD AB sin (c ctg 3 ) sin 2
化简得： 1 2c
1 sin 1 sin 3 1 sin 1 sin
1 3 sin 1 3 2Cctg
2 2 m 2 xy m xy 2 2 2 m m xy xy b 2 2 2 2 m m
（9）
为使切向应力值可以用应力分量σy、τxy表示，将 （8）与（9）式联立，消去α： 由（8）式整理得： 同除以
基于以上假设条件，就可以将椭圆裂纹作为半无限弹 性介质中的单孔情况处理（带椭圆孔薄板的孔边应力集中 问题）。 裂纹周边附近的局部应力场如图：
设裂纹长轴方向为x 轴，并与σ1成θ角； 短轴方向为y轴。 在x、y轴方向的应力为σx、 σy、τxy、τyx 则裂纹周边附近的应 力状态可用莫尔圆来表示:
σb
1 xy 3 2
cos 2
（2） （3）
x
sin 2
求裂纹周边上的切 向应力： 现在把椭圆形裂纹 单独拿出来研究： 设椭圆的长、 短半轴分别为a、b 椭圆裂纹上任一点， 偏心角为α，该点 坐标可由椭圆参数 方程来确定：
A
x a cos
y b sin
（4） （5）
A点切向拉应力σb（可按弹性理论平面问题，对 椭圆孔进行计算），由Inglis 解答：
1
2
m xy 2 y m xy 0
2 2
m xy
2
得：
2
2 y 1 1 2 0 2 m xy m 1
1
2
m xy
2 y
4 y
m
2
2
xy
2
4
m
α
α
2θ2α
库仑准则可由 AL 直线表示
任意斜截面上应力为：
2 2 1 3 sin 2 2
1 3
1 3
cos 2
当任意斜截面为破坏面时，其上应力满足库仑准则。
α
α
2α
由图： 900 2 由图：
BD
破坏面方向： 45 0
（一）、基本理论依据 早在1920年， Griffith试验研究了玻璃这种脆性 材料，结果发现，玻璃的实际强度比理论强度低 针对这种现象，Griffith认为： 固体中充满了随机分布的许多微裂纹和缺陷，当 固体受力时在裂纹和缺陷的周围产生应力集中，当局 部拉应力集中到一定程度时，材料的破坏就不受其本 身抗剪强度的控制，而是沿裂纹开始扩展，并导致宏 观破裂，因而降低了强度。 微裂纹
0
）；
③进行岩石强度计算。
3、适用条件
库仑-纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产 生剪切破坏的情况，不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于 结构面压剪破坏。而不适用于抗拉破坏的情况。 4、基本特征 （1）按照库仑-纳维尔理论，岩石的强度包络线是一条斜 直线，破坏面与最大主平面的夹角α=45°+φ/2。 （2）库仑-纳维尔判据没有考虑中间主应力σ2的影响。 (3) 是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。
在单轴压缩条件下，有σ1=σc，σ3=0，代入上式得：
n2 2 c 2 t n c 0
2
近似解得：
或者：
破坏判据：
（2）双曲线型
适用于砂岩、灰岩、 花岗岩等坚硬、较坚硬 岩石。
（3）直线型
C υ 同于库仑-纳维尔判据，即：
1 3 sin 1 3 2Cctg
（由单拉、 单压、三压强 度实验得到）
特点： 曲线左侧闭合，向右侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、内聚力变化，与所受应力有 关）； 曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X 型节理）； 不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的强度性质）。
f ( )
3 2
1
判断岩石中一点是否会发生剪切破坏时，可在莫尔 包络线上，叠加上反映实际研究点应力状态的莫尔应力 圆，如果应力圆与包络线相切或相割，则研究点将产生 破坏；如果应力圆位于包络线下方，则不会产生破坏。 3. 莫尔包络线的三种形式 对于不同的岩石，莫尔包络线类型并不完全一致， 因此不能用一个统一的公式来表示，一般可以划分为以 下三种类型，其破坏判据与适用条件均不相同。
3.已知某岩石符合莫尔库伦强度准则，其凝聚力 C=4.5MPa，内摩擦角υ=25°，试判断当受载荷 σ1=55MPa，σ3=8MPa时，岩石是否稳定？
三、格里菲斯判据 （1920、1921） 库仑-纳维尔理论和莫尔强度理论都是把岩石看成 完整、无裂隙的均匀连续介质，而对于在一般情况下呈 脆性破坏的材料，很早就有人发现它们的实际强度与理 论强度有着不同程度的离散性。 也就是说，这些理论不能理想地反映脆性材料的破 坏机制，鉴于这种原因，格里菲斯针对脆性材料的破坏 提出了所谓的Griffith强度理论,这一理论最初应用于 玻璃破坏方面，后来又被引用于岩石力学。
• 不Байду номын сангаас：①忽视了σ2 的作用，误差：±10％； • • ②没有考虑结构面的影响； ③不适用于拉断破坏；
•
④不适用于膨胀、蠕变破坏。
作
业
1.假设岩石满足库伦准则τ=C+σtanυ，若岩石单轴抗压强度 为Rc，Rc与C和υ有什么关系？
2. 某岩块强度符合库伦准则，已知C=5MPa，υ=30°， 如果三轴应力状态下的σ3=10MPa=const，求极限平衡 时的σ1=？
d d
2 y m xy 2 2 m
0
2
0
m 2 2
2 xy
m2 2
y 2
m xy 2
显然
2
m
2
xy
2 y m 0
y 2 m
m
2
xy
（8）
将（8）代入（7）得：
σb
σ3
因此，应力准则是从裂纹尖端的局部应力场导 出裂纹扩展的临界值。 显然，准则的建立必须首先知道裂纹尖端附近 的应力集中（值），其次还要知道裂纹尖端附近岩 石的抗拉强度。
（二）裂纹尖端附近的拉应力 为使问题简化，格氏作了以下四条假定条件：
1.裂纹都是张开的，形状是一个很扁平的椭圆。 （岩石内空 隙是张开的，形状多种多样，但大多数近于扁平椭圆状。） 2.岩石性质的局部变化忽略不计。 （岩石是多矿物的集合体， 具有高度的各向异性，岩石性质的局部变化忽略不计。） 3.裂纹之间互不发生影响。（为确定椭圆形裂纹边壁周围的切 向拉应力） 4.椭圆形裂纹周围的高应力系统作为平面问题处理。（即材料 仅受两向应力作用，椭圆形孔洞洞轴方向的应力忽略不 计。）
b m a
（6）
b
2 y m xy
m
2
2
（7）
由（7）式可见，切向拉应力σb是偏心角α的函数， 这意味着裂纹周边上，不同位臵处的值是不同的，也就是 说存在极值，而裂纹的进一步扩展，势必要从周边上拉应 力最大的点开始，为求最大切向拉应力： 令：
d b d 0
2
即：
y
x
由莫尔应力圆可以推出：
2 2
y 1 3 1
1 3
1 3
3
cos 2(90 )
2
2
cos 2
（1） y
σb
x
1 3
2
1 3
2
cos 2(90 )
1 3
1 3
2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 ( cos 2 ) 2 2 2 2 1 3 y
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
c tg
单直线型
双直线型
c
3、适用条件 既适用于塑性岩石也适用于脆性岩石的剪破坏，不适 用于拉破坏、膨胀或蠕变破坏。
• 4.对莫尔强度理论的评价：
• 优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏； • • • ②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向.
一、库仑-纳维尔判据 (1773、1883) 1、理论依据 固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力 (τ)应等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该面 上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。 观点：①岩石破坏为剪切破坏； ②岩石抗剪能力由两部分组成 （内聚力、内摩擦力）。
③强度准则形式－直线型：
岩石的破坏判据
岩石在一定的受力条件下可能要发生破坏,用来判断岩 石是否破坏需用到破坏判据。 破坏判据：表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数 间的函数关系，称为破坏判据或称强度准则、强度判据。 在岩体力学研究中,用到的判据主要有:库仑--纳维尔 判据、莫尔判据、格里菲斯判据和八面体强度判据。
α
（1）抛物线型 对于岩性较坚硬至较软
弱岩石（如砂岩、泥灰岩、
页岩等）的强度包线为：
n——为待定系数。
适用于岩性较坚 硬至较软弱的岩石， 如泥灰岩、砂岩、泥 页岩等岩石。
利用图4-44中的关系，有：
其中：
将这些条件代入上式，并消去式中的σ，得二次抛 物线型包络线的主应力表达式：
1 3 2 2n1 3 4n t n2
1、基本理论依据 莫尔考虑了三向应力状态下的库仑--纳维尔判据后认 为：材料在极限状态下，剪切面上的剪应力就达到了随法 向应力和材料性质而定的极限值。 也就是说，当材料中一点可能滑动面上的剪应力超过 该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，而滑动面的剪切 强度τ又是作用于该面上法向应力σ的函数。
2.莫尔强度包线的绘制：
二、莫尔判据(1900)
理论要点： ①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力作 用面上； ②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切面 上正应力的函数； ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、二 次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线， 它由试验拟合获得； ④剪切强度曲线是关于σ轴对称的曲线，破坏面成对成簇出现； ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割时研究点破坏，否则不破坏； ⑥不考虑σ2的影响。
（有两种方法推导： 代数、几何 ）
2、判据公式
剪 切 式： 三向应力式：
式中：
f tg
单向应力式： 单压时:
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
1 3 sin 1 3 2Cctg
3.应用： ①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 45 2 （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。
b
mm 2cos sin 1 2msin m cos 21 m sin cos
2 2 2 2 2 2 y x xy
m cos sin
2 2
2
——轴比，很小（因为裂纹为扁平椭圆） 因越靠近端部应力越集中，因而椭圆周边最大 拉应力势必发生在曲率半径最小的靠近椭圆端部附 近，亦即说偏心角α很小的地方。 当时 0 ，则 sin ，而 cos 1 将之代 入（6）式，并略去分子中出现的二次微量 （ 2、m2、m ）则可得裂纹周边端部切向应力的近 似表达式： 其中
微裂纹
σ1
基于以上假设，Griffith首先从能量观 点研究了这一问题，建立了裂纹扩展的能量 准则（或破坏判据） ,之后又从应力观点提 出了裂纹扩展的应力准则。
Griffith认为：具 有细微裂隙的脆性材料， 在力场的作用下，裂纹 周边将激起切向拉应力。 一旦裂纹周边端部 附近某处的切向拉应力 高度集中到达材料的抗 拉强度值时，则材料就 将以该处开始沿一定的 方向发生脆性破裂。
2
1 3
2 1 3 BD AB sin (c ctg 3 ) sin 2
化简得： 1 2c
1 sin 1 sin 3 1 sin 1 sin
1 3 sin 1 3 2Cctg
2 2 m 2 xy m xy 2 2 2 m m xy xy b 2 2 2 2 m m
（9）
为使切向应力值可以用应力分量σy、τxy表示，将 （8）与（9）式联立，消去α： 由（8）式整理得： 同除以
基于以上假设条件，就可以将椭圆裂纹作为半无限弹 性介质中的单孔情况处理（带椭圆孔薄板的孔边应力集中 问题）。 裂纹周边附近的局部应力场如图：
设裂纹长轴方向为x 轴，并与σ1成θ角； 短轴方向为y轴。 在x、y轴方向的应力为σx、 σy、τxy、τyx 则裂纹周边附近的应 力状态可用莫尔圆来表示:
σb
1 xy 3 2
cos 2
（2） （3）
x
sin 2
求裂纹周边上的切 向应力： 现在把椭圆形裂纹 单独拿出来研究： 设椭圆的长、 短半轴分别为a、b 椭圆裂纹上任一点， 偏心角为α，该点 坐标可由椭圆参数 方程来确定：
A
x a cos
y b sin
（4） （5）
A点切向拉应力σb（可按弹性理论平面问题，对 椭圆孔进行计算），由Inglis 解答：
1
2
m xy 2 y m xy 0
2 2
m xy
2
得：
2
2 y 1 1 2 0 2 m xy m 1
1
2
m xy
2 y
4 y
m
2
2
xy
2
4
m
α
α
2θ2α
库仑准则可由 AL 直线表示
任意斜截面上应力为：
2 2 1 3 sin 2 2
1 3
1 3
cos 2
当任意斜截面为破坏面时，其上应力满足库仑准则。
α
α
2α
由图： 900 2 由图：
BD
破坏面方向： 45 0
（一）、基本理论依据 早在1920年， Griffith试验研究了玻璃这种脆性 材料，结果发现，玻璃的实际强度比理论强度低 针对这种现象，Griffith认为： 固体中充满了随机分布的许多微裂纹和缺陷，当 固体受力时在裂纹和缺陷的周围产生应力集中，当局 部拉应力集中到一定程度时，材料的破坏就不受其本 身抗剪强度的控制，而是沿裂纹开始扩展，并导致宏 观破裂，因而降低了强度。 微裂纹
0
）；
③进行岩石强度计算。
3、适用条件
库仑-纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产 生剪切破坏的情况，不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于 结构面压剪破坏。而不适用于抗拉破坏的情况。 4、基本特征 （1）按照库仑-纳维尔理论，岩石的强度包络线是一条斜 直线，破坏面与最大主平面的夹角α=45°+φ/2。 （2）库仑-纳维尔判据没有考虑中间主应力σ2的影响。 (3) 是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。
在单轴压缩条件下，有σ1=σc，σ3=0，代入上式得：
n2 2 c 2 t n c 0
2
近似解得：
或者：
破坏判据：
（2）双曲线型
适用于砂岩、灰岩、 花岗岩等坚硬、较坚硬 岩石。
（3）直线型
C υ 同于库仑-纳维尔判据，即：
1 3 sin 1 3 2Cctg
（由单拉、 单压、三压强 度实验得到）
特点： 曲线左侧闭合，向右侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、内聚力变化，与所受应力有 关）； 曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X 型节理）； 不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的强度性质）。
f ( )
3 2
1
判断岩石中一点是否会发生剪切破坏时，可在莫尔 包络线上，叠加上反映实际研究点应力状态的莫尔应力 圆，如果应力圆与包络线相切或相割，则研究点将产生 破坏；如果应力圆位于包络线下方，则不会产生破坏。 3. 莫尔包络线的三种形式 对于不同的岩石，莫尔包络线类型并不完全一致， 因此不能用一个统一的公式来表示，一般可以划分为以 下三种类型，其破坏判据与适用条件均不相同。
3.已知某岩石符合莫尔库伦强度准则，其凝聚力 C=4.5MPa，内摩擦角υ=25°，试判断当受载荷 σ1=55MPa，σ3=8MPa时，岩石是否稳定？
三、格里菲斯判据 （1920、1921） 库仑-纳维尔理论和莫尔强度理论都是把岩石看成 完整、无裂隙的均匀连续介质，而对于在一般情况下呈 脆性破坏的材料，很早就有人发现它们的实际强度与理 论强度有着不同程度的离散性。 也就是说，这些理论不能理想地反映脆性材料的破 坏机制，鉴于这种原因，格里菲斯针对脆性材料的破坏 提出了所谓的Griffith强度理论,这一理论最初应用于 玻璃破坏方面，后来又被引用于岩石力学。
• 不Байду номын сангаас：①忽视了σ2 的作用，误差：±10％； • • ②没有考虑结构面的影响； ③不适用于拉断破坏；
•
④不适用于膨胀、蠕变破坏。
作
业
1.假设岩石满足库伦准则τ=C+σtanυ，若岩石单轴抗压强度 为Rc，Rc与C和υ有什么关系？
2. 某岩块强度符合库伦准则，已知C=5MPa，υ=30°， 如果三轴应力状态下的σ3=10MPa=const，求极限平衡 时的σ1=？
d d
2 y m xy 2 2 m
0
2
0
m 2 2
2 xy
m2 2
y 2
m xy 2
显然
2
m
2
xy
2 y m 0
y 2 m
m
2
xy
（8）
将（8）代入（7）得：
σb
σ3
因此，应力准则是从裂纹尖端的局部应力场导 出裂纹扩展的临界值。 显然，准则的建立必须首先知道裂纹尖端附近 的应力集中（值），其次还要知道裂纹尖端附近岩 石的抗拉强度。
（二）裂纹尖端附近的拉应力 为使问题简化，格氏作了以下四条假定条件：
1.裂纹都是张开的，形状是一个很扁平的椭圆。 （岩石内空 隙是张开的，形状多种多样，但大多数近于扁平椭圆状。） 2.岩石性质的局部变化忽略不计。 （岩石是多矿物的集合体， 具有高度的各向异性，岩石性质的局部变化忽略不计。） 3.裂纹之间互不发生影响。（为确定椭圆形裂纹边壁周围的切 向拉应力） 4.椭圆形裂纹周围的高应力系统作为平面问题处理。（即材料 仅受两向应力作用，椭圆形孔洞洞轴方向的应力忽略不 计。）
b m a
（6）
b
2 y m xy
m
2
2
（7）
由（7）式可见，切向拉应力σb是偏心角α的函数， 这意味着裂纹周边上，不同位臵处的值是不同的，也就是 说存在极值，而裂纹的进一步扩展，势必要从周边上拉应 力最大的点开始，为求最大切向拉应力： 令：
d b d 0
2
即：
y
x
由莫尔应力圆可以推出：
2 2
y 1 3 1
1 3
1 3
3
cos 2(90 )
2
2
cos 2
（1） y
σb
x
1 3
2
1 3
2
cos 2(90 )
1 3
1 3
2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 ( cos 2 ) 2 2 2 2 1 3 y
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
c tg
单直线型
双直线型
c
3、适用条件 既适用于塑性岩石也适用于脆性岩石的剪破坏，不适 用于拉破坏、膨胀或蠕变破坏。
• 4.对莫尔强度理论的评价：
• 优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏； • • • ②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向.
一、库仑-纳维尔判据 (1773、1883) 1、理论依据 固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力 (τ)应等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该面 上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。 观点：①岩石破坏为剪切破坏； ②岩石抗剪能力由两部分组成 （内聚力、内摩擦力）。
③强度准则形式－直线型：