知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系

编稿：孙永钊 审稿: 张林娟

【考纲要求】

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理；

（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、平面的基本性质

1、平面的基本性质的应用

（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；

（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论：

（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间点线面位置关系

三个公理、三个推论 平面

平行直

异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离

直线在平面内

直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直

概念

垂斜

空间直线 与平面 空间两个平面

两个平面平行

两个平面相交

三垂线定理 直线与平面所成的角

4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题

证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

要点诠释：证明点线共面的常用方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

考点二、直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

⎧⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩相交直线共面直线平行直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’

∥a,b ’

∥b,把a ’

与b ’

所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.

②范围：02

π⎛⎤ ⎥⎝⎦

，

要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：

1、定义法（不易操作）

2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。

3、客观题中，也可用下述结论：

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：

考点三、直线和平面、两个平面的位置关系

1、直线和平面的位置关系

位置

关系

直线a 在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共

点

有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示aα

⊂a A

α=//

aα

图形

表示

2、两个平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

两平面平

行

//

αβ0

两平面相

交斜交a

αβ=

有无数个公共

点在一条直线

上

垂直

αβ

⊥

a

αβ=

有无数个公共

点在一条直线

上

考点四、平行公理、等角定理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

要点诠释：

（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；

（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；

（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；

（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。

【典型例题】

类型一、异面直线的判定

例1（2014秋奉新县校级月考）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．

（1）（文）求证AE与PB是异面直线．

（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

（2）求三棱锥A﹣EBC的体积．

【解析】（1）（文）证明：假设AE与PB共面，设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，

∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线．

（理）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE 和PB所成角．

∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

∴AF=，AE=，EF=；

cos∠AEF==，

所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为．

（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA=1，

V A﹣EBC=V E﹣ABC=×（×2×2×）×1=．

举一反三：

【变式】2014秋龙子湖区校级月考）已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：

（1）对角线AC、BD是异面直线；

（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．

【证明】（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，

则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，

∴AC、BD是异面直线．

（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH BD．

又F、G分别是BC、DC的三等分点，

∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．

∴FE与GH相交．

设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．

同理，O在平面ABC内．

从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．

类型二、平面的基本性质及平行公理的应用

例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BC

1

//

2

AD，BE

1

//

2

FA，

G、H分别为FA、FD的中点。