弦线上波的传播规律

4、 对线密度 μ 的讨论。 本实验中用螺旋测微器测得弦线直径 d=0.272mm
Ud=√0.0012
+
(0.004)2
√3
=
0.003mm
∴d = (0.0272 ± 0.0003)cm 又 ∵ Ρ 铜 = 8.9 g/cm
∴ μ=������������������2 = ������×8.9×0.02722 = 5.171 × 10 3 g/cm
6
90
115.8 263.2 0.295 -1.221 4.500
0.9
26.532
7
100 107.9 240.2 0.265 -1.330 4.605
0.6
26.460
其中振动频率 T = 0.380N, λ=|x2-x1|× 2
由于第一组数据的 λυ 值和其余几组相差较远，因此对第一组组数据重新测量。测量时 测出三个波节间的距离，再计算 λ。
X1/mm 186.3
其中 λ= x3-x1
X3/mm 854.9
拟合曲线：
λ/m 668.6
lnλ -0.403
lnν 3.689
λυ/(m∙s-1) 26.744
Lnλ
lnυ
图 2. Lnλ ~ lnυ 图
拟合公式：y = kx + b 式中：k = −1.01 ± 0.01，b = 3.29 ± 0.06 R-Square=0.99892 , R-Square 接近于 1， 数据点线性关系良好。
3、 验证 λ 与 υ 的关系。 （1） 根据上面的实验结果，选择张力为 0.3802N。 （2） 改变频率从 40H 到 100Hz，每 10Hz 一组，用驻波法测波长。 （3） 作作 lnλ～ln������图，求出斜率。
装置：FD-SWE-II 弦线上驻波试验仪 不同质量砝码 5 个 托盘（m=38.80g） 漆包线（铜芯）
（4）
lnλ = ������������������ − lnν − ������������������
2
2
（5）
因此，本实验中若固定 μ，ν 改变 T，并测得相应的波长 λ，作 lnλ 与 lnT 的关系图，若
得到的图像为一直线且斜率为 ，则 λ ������2，同理可验证 λ 与 μ 和 ν 的关系。
实验结果 1、 观察驻波振动。
1) υ = 80Hz，m = 38.80g 时，增加或减少一个半波后波形依然稳定；增加半波数目后， 波长和振幅均没有明显变化。
2) υ = 110Hz，m = 38.80g 时，增加或减少一个半波后波形依然稳定；增加半波数目 后，波长没有明显变化，振幅逐渐减小。
3) m = 38.80g 时，从 0.00Hz 逐渐增大频率至 200.00Hz,振幅先增大后减小，在 60Hz 附 近振动剧烈。波长随着频率的增加逐渐减小。
������2������ ������2������
=
������2
������2������ ������2������
（2）
式中 v 为波传播的速度。
(1) 式与（2）式比较可得： v T
（3）
又由于 v=υλ , 代入（3）式即可得：λ = √������������
便于研究物理量之间的关系，两边取对数的：
4
4
uμ =
������������������������ 2������
83.86 0.822 119.0 377.9 0.518 -0.196
128.86 1.263 237.9 555.8 0.636 0.233
173.86 1.704 248.7 621.0 0.745 0.533
219.17 2.148 180.2 592.6 0.829 0.765
264.47 2.592 195.6 646.6 0.902 0.952
3) 保持 υ = 80Hz 不变，波长随悬挂的砝码数量的增加而增大，这同样符合公式（4）。 而振幅同样出现先增大后减小的现象，且悬挂的砝码数为 4 时，振幅最大。这可以用表 3 中的数据来解释。从表 3 中可以看出，牵挂 4 个砝码时，这时弦线的共振频率为 82.56 Hz，最接近于 80Hz。因此他正处于振幅的剧烈上升期，所以此时的振幅最大。悬挂不同 数量砝码时振幅大小的定量关系可以参见表 1 中的数据。
1) 当 υ=80Hz 或 υ=110Hz 时，增加半波数目后，波长不发生改变，这与经验公式
λ = √������������ 相吻合。而在 υ=80Hz 时，增加半波数目时，振幅并没有发生明显变化，可是
当 υ=110Hz 时，增加半波数目振幅的衰弱较明显。 理论上讲，横波在弦线上传播时必定有能量的损耗，且能量损耗的大小应与传播的
长度呈正相关。因此当增加半波数目后，向前传播的波与反射回来的波的振幅都会随着 距离增加而衰减的更厉害，它们的和振幅也应该减小。
而在 υ=80Hz 时没有看到振幅发生明显衰减的原因可能是：在 υ=80Hz 观察时，由 于频率 80Hz 较小，根据表 1 得，此时的 λ=370.8mm，考虑到仪器的长度，增加的半 波数目有限，振幅随半波数目的衰减并不明显。同时根据表 2 可得 υ=80Hz 时，振幅 A=2.6mm，而当 υ=110Hz，振幅 A 小于 0.6mm。因此当 υ=110Hz 时，可以很明显的
4) υ = 80Hz 时，增加所悬挂的砝码数量，波长逐渐增大，振幅先增大后减小，当悬挂 的砝码数为 4 时，振幅最大。
2、 验证 λ 与 T 的关系。
序号 1 2 3 4 5 6
表 1 横波波长 λ 与张力 T 及振幅 A 的关系
m/g
T/N
X1/mm X2/mm
λ/m
lnT
38.80 0.380 146.0 331.4 0.371 -0.967
2
2、 驻波原理测量波长。 当两列振幅和频率相同的相干波在同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不随时间
变化的波，称为驻波。 形成稳定驻波的图样为：
弦线上静止的点，即振幅为
0
的点，称为波节。相邻两波节间的距离为
������。因此，只要
2
测出相邻波节的距离即可知道波百度文库。
实验内容及装置 1、 观察弦线振动的现象。
4、 表 3 不同张力 T 与剧烈振动时频率 υ 的关系
序号 m/g T/N υ/Hz
拟合曲线：
1 83.86 0.822 65.11
2 128.86 1.263 69.40
3 174.16 1.707 76.15
4 219.16 2.148 82.56
5 264.47 2.592 92.34
υ/Hz
理论值 k0 = −1 ,相对误差 k =
× 100 =1.0%
由（5）式得，线密度 μ=������lnT 2b = ������������������0.38 2∗3.29 =5.274 ×10-4kg/m uμ= μ× 2 × ������������=5.274×10-4× 2 ×0.06=0.6×10-4kg/m 所以 μ2=（5.3±0.6） ×10-4kg/m
弦线上波的传播规律
引言： 空间中某点的扰动一定速度向四周传播即形成所谓的波。波现象在日常生活中十分普遍，如 我们常见的水波，声波，电磁波等。不同的波的扰动和传播机制有所不同，但是他们却具有 共同的规律性。本试验实验利用弦线上驻波实验仪，观察弦线上的驻波现象，并用驻波原理 测量弦线上波长，验证弦线上横波的传播规律。
实验原理
1、 弦线上横波传播规律。
在拉紧的弦线上传播的横波的波动方程：
������2������ ������2������
=
������ ������
������2������ ������2������
（1）
式中 x 为波在传播方向的位置坐标，y 为振动位移,T 为弦线中的张力，μ 为线密度。
典型的波动方程：
70
172.2 364.3 0.384 -0.957
80
146.6 316.0 0.339 -1.082
lnν 3.689 3.912 4.094
4.248 4.382
A/mm λυ/(m∙s-1)
2.5
28.072
4.3
2.1(约 调幅)
4
1.8(约
调幅
4
2.6
26.390 26.880 26.894 26.424
lnλ -0.992 -0.658 -0.453 -0.295 -0.188 -0.103
A/mm 2.1 2.6 3.2 6.2 6.3 3.1
其中振动频率 υ = 80Hz，g = 9.80 m∙s-2, λ=|x2-x1|× 2
拟合曲线： Lnλ
lnT
图 1. Lnλ ~ lnT 图 拟合公式：y = kx + b 式中：k = 0.48 ± 0.02，b = −0.55 ± 0.01 R-Square=0.99401 , R-Square 接近于 1， 数据点线性关系良好。
减少因为对波节的判断引起的误差的最好方法就是测量多个波节间距，然后计算波
长。这样若测量
n
个波节的间距，这相应的波长测量误差就将减少为
4 ������−1
mm。正如实
验 3 中对第一组数据有这种方法进行重测一样，他确实可以很好的消除误差。
3、 实验 3 中k = −1.01 ± 0.01，理论值 k0 = -1 落在了该范围内，实验结果良好。在表 2 中最后一列 λ∙υ= v，即波传播的速度，在同种介质中波传播的速度应该保持不变，因此 v 应该为一定值。因此它可以作为测量误差是否较大的很好的判据，若某一项的 λ∙υ 值 与其他项偏离较远，应考虑该组数据是否有效。 在本实验中对振幅 A 的半定量测量中可以得出，T=0.380N 时对应的弦线的共振频 率应在 60Hz~70Hz 的范围内。
理论值 k0 = 2 ,相对误差 k =
× 100 =4.0%
由（5）式得，线密度 μ=������ 2(b+lnυ) = ������ 2( 0.55+ln80) =4.694×10-4kg/m uμ= μ× 2 × ������������=4.694×10-4× 2 ×0.01=0.01×10-4kg/m 所以 μ1=（4.69±0.01） ×10-4kg/m
3、 验证 λ 与 υ 的关系。
序号 1 2 3
4 5
表 2 横波波长 λ 与频率 υ 及振幅 A 的关系
υ/Hz X1/mm X2/mm λ/m
lnλ
40
291.3 642.2 0.702 -0.354
50
210.6 474.5 0.528 -0.639
60
328.8 552.8 0.448 -0.803
T/N
图 3. υ~T 图
拟合公式：y = kx + b 式中：k = 15 ± 1，b = 51 ± 2 R-Square=0.96519 , R-Square 与 1 的差距较大，图中数据点线性关系并不好，υ 与 T 并不 一定为线性关系，但从变化趋势上可以看出，υ 的值随 T 的增大而增大。
分析与讨论 1、 对实验 1 中的现象进行半定量分析。
（1） 调节张力，频率，以及振源到反射面的长度形成稳定波长。 （2） 增加半波数目，观察波形，波长与振幅的变化。 （3） 张力不变，增大频率，观察波长和振幅的变化。 （4） 频率不变，增大张力，观察波长和振幅的变化。
（5） 测出依次放上 1 至 5 块砝码后振动最剧烈时的频率。
2、 验证 λ 与 T 的关系。 （1） 根据观察的现象选择合适的振动频率为 80Hz。 （2） 增加砝码以改变线上的张力，用驻波法测量对应的波长。 （3） 作 lnλ ~ lnT 图，求出斜率。
观察到当增加了 3 个半波后，弦线的振动已经非常微弱，甚至难以察觉。而 υ=80Hz 时， 弦线的振动依旧很明显。综上所述，在观察振幅衰减时，较大的 υ 比较小的 υ 观察到的 现象更明显。
2) 保持 T=0.380N 不变，λ 随着 υ 的增大而减小，这符合公式（4）。而在 υ 增大的过程中振幅先增大后减小，在 60Hz 附近振幅最大。出现这样现象的原因可能是 在 60Hz 附近为弦线的固有振动频率。增大 υ 至 60Hz 时，弦线上发生共振，使振幅突然 剧烈增大，而在 60Hz 以后继续增大 υ 时，振幅逐渐减小。
2、 实验 2 中所得 k = 0.48 ± 0.02 ，理论值 k0 = 2 落在了测量结果的范围内，实验值和理
论值符合良好。但仍存在一定的误差，主要来源于波长的测定上，在测量波长时，波节 附近由于振动比较微弱，难以判断出准确的波节位置。若以相邻两个波节间的距离作为 半个波长，测会导致约有 4mm 的波长的误差。