甘肃交通职业技术学院数学单招试题测试版附答案解析

甘肃交通职业技术学院数学单招试题测试版附答案解析This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.限时：90分钟满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．在数列{a n}中，a1＝2，当n为正奇数时，a n＋1＝a n＋2，当n为正偶数时，a n＋1＝2a n，则a6＝( )A．11 B．17C．22 D．23解析：选C 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.2．各项均为正数的等比数列{a n}的公比q≠1，a2，12a3，a1成等差数列，则a3a4＋a2a6a2a6＋a4a5＝( )A.5＋11B.5－12C.1－52D.5＋12解析：选B 依题意，有a3＝a1＋a2，设公比为q，则有q2－q－1＝0，所以q＝1＋52(舍去负值)．a3a4＋a2a6 a2a6＋a4a5＝a2a4(q＋q2)a2a4(q2＋q3)＝1q＝21＋5＝5－12.3．公差不为0的等差数列{a n}中，3a2 010－a22 012＋3a2 014＝0，数列{b n}是等比数列，且b2 012＝a2 012，则b2 011b2 013＝( )A．4 B．8C．16 D．36解析：选D ∵3a2 010－a22 012＋3a2 014＝0，∴6a2 012－a22 012＝0，即a2 012(a2 012－6)＝0，∵数列{b n }是等比数列， ∴a 2 012＝b 2 012≠0， ∴b 2 012＝a 2 012＝6，∴b 2 011b 2 013＝b 22 012＝62＝36.4．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12，∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列，∴S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫32n－11－32＝⎝⎛⎭⎪⎫32n－1.6．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1＝1，a n＝51，则n＋d 的最小值为( )A．14 B．16C．18 D．10解析：选B 由题意得a n＝1＋(n－1)d＝51，即(n－1)d＝50，且d>0.由(n－1)＋d≥2(n－1)d＝250(当且仅当n－1＝d时等号成立)，得n＋d≥102＋1，因为n，d均为正整数，所以n＋d的最小值为16.7．定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于y轴对称，则( )A．f(0)>f(3) B．f(0)＝f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(－1)<f(3)解析：选D 函数f(x＋2)的图像关于y轴对称，说明这个函数是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，令x＝1，得f(1)＝f(3)，因为函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)<f(1)＝f(3)．8．设a n＝1nsinnπ25，S n＝a1＋a2＋…＋a n.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )A．25 B．50C．75 D．100解析：选D 由数列通项可知，当1≤n≤25，n∈N*时，a n≥0，当26≤n≤50，n∈N*时，a n≤0，因为a1＋a26>0，a2＋a27>0，…，所以S1，S2，…，S50都是正数；当51≤n≤100，n∈N*时，同理S51，S52，…，S100也都是正数，所以正数的个数是100.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又因为a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.答案：110．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：依题意得a －c ＝(3－k ，－6),3(3－k )＋6＝0，解得k ＝5. 答案：511．在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是________．解析：由三边长a ，b ，c 成等差数列可得2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝(a ＋c )2－3ac ＝4b 2－18，解得b ＝ 6.答案：612．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为________．解析：设函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T .由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，∵0<φ<π，∴φ＝π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，∴OA ·OB ＝π29－1.答案：19π2－113．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 解析：由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1得a n ＋2＝(－1)n a n ＋1＋2n ＋1＝(－1)n [(－1)n －1a n ＋2n －1]＋2n ＋1＝－a n ＋(－1)n (2n －1)＋2n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋2n ＋1， ① 也有a n ＋3＋a n ＋1＝－(－1)n (2n ＋1)＋2n ＋3， ② ①②两式相加得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝－2(－1)n ＋4n ＋4.设k 为整数，则a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝－2(－1)4k ＋1＋4(4k ＋1)＋4＝16k ＋10，于是S 60＝∑k ＝014(a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4)＝∑k ＝014(16k ＋10)＝1 830.答案：1 83014．数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析：∵a n ＝n cosn π2＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝6，k ∈N，故S 2 012＝503×6＝3 018. 答案：3 018三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2.所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， 所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.16．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z)．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3， 所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3. 当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－43 π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－23 π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时， sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).17．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，cos B 2共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围．解：(1)因为向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝12，cos B 2共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B 2＝±12， 又因为0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ， 所以2sin 2A ＋cos (C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2A ＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin2A＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6， 因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1， 所以1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，故2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.18．已知各项均为正数的数列{a n }满足2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0，n 为正整数，且a 3＋132是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝－log 12a na n，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求使T n ＋n ·2n ＋1>125成立的正整数n的最小值．解：(1)由2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0， 所以(a n ＋1＋2a n )(2a n ＋1－a n )＝0，即a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是以12为公比的等比数列．因为a 3＋132是a 2，a 4的等差中项， 所以a 2＋a 4＝2a 3＋116，即a 1q ＋a 1q 3＝2a 1q 2＋116，即a 1＝12， 所以{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(2)由c n ＝－log 12a na n＝－n ·2n.T n ＝－1×2－2×22－3×23－…－(n －1)·2n －1－n ·2n2T n ＝－1×22－2×23－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1 相减得－T n ＝－2－22－23－…－2n ＋n ·2n ＋1 则T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2 要T n ＋n ·2n ＋1>125成立，即2n ＋1－2>125成立，即2n ＋1>127，则n ≥6，即使T n ＋n ·2n ＋1>125成立的正整数n 最小值为6.。