课时跟踪检测(二十九) 函数模型的应用

课时跟踪检测（二十九） 函数模型的应用

A 级——学考合格性考试达标练

1．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足( )

A ．y ＝a (1＋5%x )

B ．y ＝a ＋5%

C ．y ＝a (1＋5%)x －

1

D ．y ＝a (1＋5%)x

解析：选D 经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x .

2．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x ＜10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)

解析：选D 由题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x . ∵y ＞0，∴20－2x ＞0，

∴x ＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10，故选D. 3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系式：y ＝a log 3(x ＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有( )

A ．4 000只

B ．5 000只

C ．6 000只

D ．7 000只

解析：选C 当x ＝1时，由3 000＝a log 3(1＋2)得a ＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y ＝3 000×log 3(7＋2)＝6 000.故选C.

4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I 与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )

A ．60安

B ．240安

C ．75安

D ．135安

解析：选D 由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.

由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝320

64＝5，所以I ＝5r 3.

故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.

5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg

I

I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( )

A ．76倍

B ．10倍

C ．1076

倍

D ．ln 76

倍

解析：选B 依题意可知，η1＝10·lg I 1I 0，η2＝10·lg I 2I 0，所以η1－η2＝10·lg I 1I 0－10·lg I 2

I 0

，

则1＝lg I 1－lg I 2，所以I 1

I 2

＝10.故选B.

6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m 2增加到了4 800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________．

解析：设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得 x ＝32－1. 答案：32－1

7．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系式y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，

∴y ＝－2×0.5x ＋2，

∴3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75

8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．

解析：由题意知，当t ＝1

2

时，y ＝2，即2＝e 1

2k ，

∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝5时，y ＝e 2

×5×ln 2

＝210＝1 024.

即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 答案：2ln 2 1 024

9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．

(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式．

(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意知

当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ； 当x >8时，

y ＝8×0.15＋log 5(2x －15) ＝1.2＋log 5(2x －15)，所以

y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤8，1.2＋log 5（2x －15），x >8. (2)当0≤x ≤8时，y max ＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x ＞8. 由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20. 所以小江的销售利润是20万元．

10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为a 2.已知到今年为止，森林面积为2

2

a .

(1)求p %的值；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a

2，

即(1－p %)10＝1

2，

解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫121

10

. (2)设经过m 年森林面积变为

2

2

a ， 则a (1－p %)m

＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，m 10＝12

，

解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．

B 级——面向全国卷高考高分练

1．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )

A ．略有亏损

B ．略有盈利

C ．没有盈利也没有亏损

D ．无法判断盈亏情况

解析：选A 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．