物理研究性课题

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大学物理研究性课题：在考虑阻力，棒球形状大小等实际影响因素的情况下，棒球在空中运动轨迹如何？

引言

在空气中飞行的物体，都要受到空气阻力、物体形状大小等因素的影响，空气阻力对抛射体的运动会产生显著影响，在研究该问题的力学分析过程中都忽略了一个重要因素，即空气阻力的影响。事实上，空气阻力是客观存在的。因此，有必要在考虑空气阻力存在的情况下，研究棒球的运动轨迹问题。只有这样，才能更准确地反映出棒球的实际情况，从而使研究的结果更加可靠，并且更具有实际价值。

建立模型

空气阻力非常复杂，与空气密度和物体的运动速度、形

状、体积等因素有关。在低速情况下，常用的空气阻力模型有两种：

第一种模型认为，空气阻力与速度的一次方成正比；

第二种模型认为，空气阻力与速度的平方成正比。

理论依据

1 第一种模型的轨迹方程

当空气阻力与速度成正比时，由运动学公式和牛顿第二

定律可以写出运动轨迹方程。在0-xy坐标中，有如

下方程

式中，

M--物体的质量，kg；

p--水的密度，kg／m3；

x,y--水滴在t时刻的轨迹坐标；

t——抛体运动时间，s；

b——抛体与空气的阻力系数，kg／s

g——重力加速度，取9．80m／s

方程(1)、(2)的初始条件分别为

式中，

Vx,Vy——抛射体在t时刻的速度分别在XY轴上的投影，m/s;

Vox,Voy——抛射体的初始速度分别在x．y轴上的投影， m/s；

h——抛射体抛出时距地面的高度,m。

方程(1)和(2)都可采用分离变量法得到速度关系，进而

得到位移关系方程式。

要求射程，需要用式(4)在时反求抛射体落地时问，但其为超越方程。为方便采用数值求解，将其中的幂指数项

可根据抛射速度确定)附近进行泰勒展开

在T=t2(t2的确定

求解上述方程(舍去负根)，可得到第一次的T，再在其附近展开幂指数项，经过叠代可得更精确的时间，一般计算两次

精度可达到10-4，满足要求。2 第二种模型的轨迹方程

当空气阻力与速度平方成正比时，由运动学公式和牛顿

第二定律，可以写出抛射体的运动轨迹方程。在O-xy坐标中，有如下方程

式中，

K-抛体与空气的阻力系数，kg/m。

方程(7)、(8)中除k外，其余变量的意义同方程(1)、(2)。方程(，7)、

(8)的初始条件，也同方程(1)、(2)。Y方向的方程式由于物体向上运动和向下运动时空气阻力方向与Y正方向由逆向改为正向，因此有空气阻力前符号的变化。

因为t1时刻方程式(14)取得最大值，即抛射体到达的最高点，所以方程式（14）中，时间变量t的范围为t∈（0，t1）. 将

得

代人式(8.2)并采用分离变量法，加入初始条件可

方程（17）的求解，看似不能继续进行，但做以下变量代换却可迎刃而解

利用以及式(18)，方程式(17)可以变量代换为

继续采用分离变量法，并应用初始条件：式(19)可以积分，并将变量代换回而得到：，，

方程(17)和(20)l~j变量t的取值范围都是t∈(t1,∞)。抛

射体落地时有Y=0，将其代入式(2O)，即可算出抛射体在空气中运动的总时间T(取其中的合理的根)：

将求得的T值代入式(11)，即可得到射程。由式(21)可以看出，总的时间完全由m/k和Y max决定。

1.两种模型轨迹分析

从方程式(3)和(4)，(17)和(20)可以看出，在抛射体抛射

角度和速度相同的情况下，两种空气阻力模型的抛射体运动轨迹受b／m或k／m决定。

2.结论总结

应用两种模型，推导了抛射体的运动轨迹，尤其是在空气阻力与速度平方成正比模型下，在空气阻力系数数值上相同的情况下，第二种模型受空气阻力的影响非常显著；第一种模型在阻力系数(数值上)大的情况下，其射程和射高也会比第二种模型的小。