第三章 插值法 Hermite插值
函数近似计算的插值法Hermite插值法PPT课件
x x0 x1 x0
2
将以上结果代入
8
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x) 得两个节点的三次Hermite插值公式
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x)
f0 (1 2l1( x)) l02( x) f1(1 2l0( x)) l12( x)
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f (4) (x)在[x0 , x1]上存在时, 上述余项公式成立
12
Hermite插值法定理1 满足插值条件:
Hn1( xi ) Hn1( xi )
yi yi
f f
( xi ) , ( xi )
i 0,1,
,n
Hermite值问题的解存在且唯一.
Hermite插值法定理2
P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f (xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
i 0,1,, n --------(2)
P(m) ( xi )
f (m) ( xi )
f (m) i
3
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为 Hk (,x) 为k多项式次数.
f0( x x0 ) l02 ( x) f1( x x1) l12 ( x)
f0 1 2
x x0 x1 x0
x x1 x0 x1
2
f1
1
2
x x0
x1 x1
x x1
x0 x0
2
f0 x
x0
x x0
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
hermite插值
1.3 Hermite 插值Hermite 插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
01012()000()111()()1,,,(),'(),,()(),'(),,()(),'(),,()(0,1,2,,)n n m m m n n ni H f x n x x x x f x f x f x f x erm f x f x f x f x it f x m i n e +⋅⋅⋅=插值的一般提法如下给出函数在个互异节点上的函数值及若干导数值，设插值节点为。
给出其中是：正整数。
111ni i N n m N H x ==++-∑以上总共有个插值条件，要求构造不低于次插值函数（）满足以上插值条件。
''001'02110'110140H x x H H x H H H ==-=-====求一个四次插值多项式（），使 时，（），（）； 时，（），（），（）例012121211,,()''()(0,1,2,,)21()()012'()'n i i i i n n i in ii Hermite n x x x y f x y f x i n n H x H x y i n H x y ++++===+=⎧=⎨=⎩插值中，最基本而重要的情形是只要求一阶导数的条件。
给出个互异节点上的函数值和导数值和构造不低于次插值多项式，要求满足插值条件，，，''12121233''331122112232111112,,1,21,2()()()'()'()12()1i i i i x x y y y y Hermite H x H x y i H x y i H x h x y h x y h x y h x y Hermite H x h x x x l x l x h x ==⎧⎨==⎩=+++'=--=-在节点和上已知和。
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
艾米特插值
若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求 它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具 有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴 近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插 值。
2
再由（2.6.2）可求得
埃尔米特hermite插值
埃尔米特插值5.4.1 问题的提出面讨论的拉格朗日和牛顿插值多项式的插值条件只要求在插值节点上，插 值函数与被插值函数的函数值相等，即)(i n x L =f(i x )和n N (i x )=f(i x )，有时 不仅要求插值多项式在插值节点上与被插值函数的函数值相等，还要插值多项式的导数在这些 点上被插函数的导数值相等，即要求满足插值条件：n i x f x H x f x H i i n i i n ,...,1,0,(')('),()()1212===++ (5.4.1)的次数不超过 2n+1的插值多项式12+n H ，这就是埃尔米特 (Hermite) 插值问题。
定义：假设在区间【α，b 】上给定了n 个互不相同的点x 1，x 2,…,x n 以及一张数表(*)记m=α1+α2+…+αn 。
早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式H n (x ),使得,H n (x )为表(*)的以为结点组的埃尔米特插值多项式。
如果定义在【α，b 】上的函数ƒ(x )在x k (k =1，2，…,n )处有αk-1阶导数，并取，则称相应的H n (x )为ƒ(x )的以为结点组的(α1,α2,…,αn )阶埃尔米特插值多项式。
作为特殊情况,若诸αk 都为1,则H n (x )就是ƒ(x )的拉格朗日插值多项式;若n =1，则H n (x )为ƒ(x )的α1-1阶泰勒多项式。
最使人们注意的是诸αk 都为2的情况,这时H n (x )为次数不高于2n -1的代数多项式。
如果写H n (x )可表示为在这种情况下，常取,而给以适当的限制。
5.4.2三次埃尔米特插值我们考虑只有两个节点的三次埃尔米特插值。
设插值点为(0x ，0y )，(1x ，1y )，要求一次数不超过3的多项式)(3x H ，满足下列条件：i i i i m x H y x H ==)(',)(33 i=0，1(5.4.2) 式中i m =f ′(i x )，i=01。
插值法-Hermite插值专业知识
共有m+1个条件
其中 xi (i 0,1,, n) 互异，mi为正整数，记 mi m 1，
谋求m次多项式P(x)使满足插值条件：
i0
P(k)( xi ) f (k)( xi ), (i 0,1,, n;k 0,1,, mi 1) (5.1)
埃尔米特Hermite插值问题
我们只讨论 P( xi ) f ( xi ), P( xi ) f ( xi ) 旳情形。
(5.5)
其中
j
(
x),
j
(
j0
x),( j
0,1,,
n)为Hermite插值基函数,即
j(x)
(1
2( x
n
xj)
i0
xj
1
xi
)l
2 j
(
x
)；
i j
j
(
x)
(
x
x
j
)l
2 j
(
x)；
n
l
j
(x)
n
i0 i j
x xi x j xi
实际上,有 H 2n1 ( xi ) ( j ( xi ) yi j ( xi ) y' j ) yi
j
(
x)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxxxx000))222((xx xx11))222(((xxxxxjjj11))22((xx xxjj11))22((xx xxnn))22
((xxjj
xx00))22((xxjj
xx11))22((xxjj
xxjj11))22((xx
jj
xx
))22
jj11
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
(2n2)
( ) ( x x j )
j0
n
2
(3.4－11)
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 . x 0 x1 x 0 x1
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 2 h1 ( x ) 2 g 0 ( x ) m 1 g 1 ( x ) x 0 x 1 x 1 x 0 1 2 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2( x 0) x 1 x0 m 1 ( x 1) 0 1 1 0
2
h 1 ( x ) 1 2 l 1 ( x 1 )( x x 1 ) l 1 ( x ),
2
g 0 ( x ) ( x x 0 ) l 0 ( x ), ( x ) ( x x 1 ) l 1 ( x ). g1
2 2Leabharlann Hermite插值余项定理 定理 假设函数f (x)在 x [ a , b ] 上具有(2n+1)阶连续导数，在 x [ a , b ] 内存在(2n+2)阶导数，那么对于x [ a , b ] ，必定存在一点 ( a , b ) 使 得下式成立：
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
h0 ( x 0 ) 0,
同理
x x 0 x x1 h0 ( x ) 1 2 x x . x 0 x1 0 1
hermite三点插指公式的插值基法
hermite三点插指公式的插值基法hermite三点插入法的插值基法概述Hermite三点插入法是一种常用的插值方法，它使用三点来构造插值变换，这三点的x坐标满足X_0 <= X_1 < X_2，插值变换的控制点是(X_0,Y_0)、(X_1,Y_1)和(X_2,Y_2)，而且这三点之间的平均斜率值也是已知的。
根据这三点的信息，可以构造出插值变换的具体形式，从而可以用于插值计算。
原理Hermite三点插入法实际上是基于Hermite多项式插值的，要构造出插值变换的具体形式，需要同时考虑到给定的两个控制点和满足Hermite多项式条件的两个切线斜率，具体构造的步骤如下：1）首先，建立插值函数：F(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x _2)2）确定a_0,a_1,a_2,a_3的值，这是满足Hermite多项式条件的比较核心的步骤，有4个未知量，3个方程：F(x_0)=y_0 , F(x_1)=y_1 , F(x_2)=y_2另外两个方程是：F'(x_0)=(y_1-y_0)/(x_1-x_0) ,F'(x_2)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)3）使用求解某个系数的公式进行求解，求得四个系数：a_0=y_0a_1=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)-(x_2-x_0)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_ 0)a_2=(x_2-x_1)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_0)a_3=(x_2-x_1)(x_2-x_0)(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x_1-x_0) 应用Hermite三点插入法可以用于插值计算，在计算机图形学中它也是一种常用的绘图方法。
一般来说，它可以用于函数图像的渲染、曲线的插值、多维函数的插值等方面。
它可以提高函数图像的平滑度，使图像看起来更加美观，还可以减少绘图的复杂度，在某些情况下可以提高绘图效率。
3.3 Hermite插值法
x x0 x x1 2 x x 1 y0 1 2 x x x x y1 1 2 x x 1 0 0 0 1 1
x x0 x x 0 1
2
2
x x0 y0
求f ( x)的两点三次插值多项式, 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值.
解:
x0 1, x1 2
0, y1 1 y0 2 , y1 3 y0
2
0 ( x) y1 1 ( x) H 3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0
2 0
2
x x1 x x0 1 ( x) (1 2l0 ( x)) l ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0
2 1
2
x x1 0 ( x) ( x x0 ) l02 ( x) x x0 x x 1 0
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f
( 4)
( x)在[ x0 , x1 ]上存在且连续时, 上述余项公式成立
2处的函数值为f (1) 2 , f ( 2 ) 3 例1.已知f ( x )在节点1， f ( x )在节点1， 2处的导数值为f (1) 0 , f ( 2 ) 1
( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 0 ( x) y1 1 ( x) H3
其中
0 ( x0 ) 1
0 ( x1 ) 0
( x1 ) 0 ( x0 ) 0 0 0
1 ( x0 ) 0
0 ( x0 ) 0
hermite插值法原理
Hermite插值法是一种用于构造多项式插值函数的方法，它可以通过给定的数据点和导数值来构造一个满足这些条件的插值多项式。
Hermite插值法的原理可以分为以下几个步骤：
1. 给定一组数据点和对应的函数值，以及这些数据点处的导数值。
2. 构造一个基函数集合，这些基函数是一组满足插值条件的函数。
常用的基函数是Hermite基函数，它是一组多项式函数。
3. 根据给定的数据点和导数值，利用基函数集合构造插值多项式。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程组的未知数是插值多项式的系数。
4. 得到插值多项式后，可以使用它来估计在其他点上的函数值。
Hermite插值法的优点是可以通过给定的导数值来更好地逼近原函数的特性，尤其在数据点附近的插值效果更好。
然而，
它的缺点是在数据点之间的插值效果可能不够理想，因为它只是通过给定的数据点和导数值来构造插值多项式，而没有考虑其他可能的信息。
Hermite插值法
i = 0 ,1
x0 , x1均为R3 ( x )的二重零点,因此可设
R3 ( x ) = K ( x )( x − x0 )2 ( x − x1 )2
其中K (x )待定
10
构造辅助函数
ϕ (t ) = f (t ) − H 3 (t ) − K ( x )(t − x0 )2 (t − x1 )2
求一个次数不超过2n+1次的多项式H(x)使 求一个次数不超过2n+1次的多项式H(x)使 2n+1次的多项式H(x)
H ( xi ) = f ( xi ) = yi H ′( xi ) = f ′( xi ) = yi′
i = 0 ,1,L , n i = 0 ,1,L , n
这种带有导 数的多项式 问题， 插值 问题， 称为 Hermite插 Hermite插 值问题。 值问题。 1
′ ′ H 3 ( x) = y0α 0 ( x) + y1α1 ( x) + y0 β 0 ( x) + y1β1 ( x)
线性插值基函数代入定理1.5 将Lagrange线性插值基函数代入定理 线性插值基函数代入定理 中的基函数求得三次Hermite插值的基 中的基函数求得三次 插值的基 函数! 函数
x − x1 l0 ( x) = x0 − x1 x − x0 l1 ( x) = x1 − x0
基函数具有 什么表达式？ 什么表达式？
4
x − x0 x − x1 α 0 ( x) = 1 + 2 x1 − x0 x0 − x1
2
x − x1 x − x0 α1 ( x ) = 1 + 2 x0 − x1 x1 − x0
hermit插值PPT课件
其中k2是使
数。
P(x1) 1
的待定常
P(x) p3 (x)
k2[2(x x0 )( x x1)( x x2 )
(x x0 )2 (x x1) (x x0 )2 (x x2 )]
54
而
P3(x) x 1.5 0.75[x(x 1) x(x 2) (x 1)(x 2)]
H (x) kx2 (x 1)2 于是
P(x) H (x) 2kx(x 1)2 2kx2 (x 1)
46
其中k为待定常数，满足 P(2)=1
P(0) H (0) 0
P(1) H (1) 1
47
又
P(x) H (x) 2kx(x 1)2 2kx2 (x 1)
所以 P(0) H3(0) 0
图
1
2
x0
x
x1
使用一次Rolle定理，则 (t)
就有四个零点：
x0 , 1 , 2 , x1
30
反复使用Rolle定理， (4) (t)
就有一个零点，设为 ，又
(4) (t) f (4) (t) H (4) (t)
[k (x)(t x0 )2 (t x1)2 ](4)
f (4) (t) k(x)4!
f (x0 , x1, x2 )( x x0 )( x x1) ...
f (x0 , x1,..., xn )( x x0 )...( x xn1)
n1(x) n (x)
f (x0, x1,...,xn1)(x x0 )(x x1)...(x xn )
33
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
)
2
16
利用 h0 (x0 ) 1 得 a=1,再利用h0 (x0 ) 0
第三章 3重节点差商与埃尔米特插值
§3 重节点差商与埃尔米特插值摘要：本节介绍Hermite 插值的Newton 形式及其余项表示。
这个问题涉及一个重要的概念就是重节点差商，它是一般差商的极限形式。
2.3.1埃尔米特(Hermite)插值 设是[a,b]中不同的s 个节点，是s个正整数且，要找一个n 次多项式，对于[a,b]上充分光滑的函数f(x)，满足条件()()()(),0,1,2,,1,1,2,,.k k ii i P y f y k m i s ==-=问题：● 这样的多项式存在且唯一吗？ ● 的表达式怎样求？ 一、 重节点差商A 、 重节点差商()00001,,,,n f x x x x +？考虑()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→？假设f(x)存在n 阶连续导数，根据定理2.4知()()(){}{}11!,,,min max ,nf n i i n iif x x x x ξξ+=≤≤当时，有()()()()()0110!!,,,,1,2,,1nnf x f n i n n f x x x x i n ξ+=→→=+。
1,,s y y 12,,,s m m m 11s i i m n ==+∑()P x ()P x ()P x 0,1,2,,1i x x i n →=+定理2.3.1 设f(x)在(a,b)中连续且有直到n 阶连续导数，若()0,x a b ∈,则()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→=()()0!nf x n 。
定义2.3 如果f(x)在x 0的邻域内连续且有n 阶连续导数，则定义()()102010()0001211(),,:lim ,,,,!n n n n x x x x n x x f x f x x f x x x x n ++→→+→==B 、 部分重节点差商()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +？分析：差商()121,,,,n n f x x x x +是n+1个节点11,,n x x +上的n 次插值多项式的首项n x 的系数，记()P x()()()()()()211111212222211111121111112221111111111121121212312323111,,,,1111()()()0(,)(,),0(,)(,),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x x f x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x l x l x f x l x x l x x f x x l x x l x x f x x ---+++++---+++---==()()()()()1341343415155111111111111211212123123231341341511(,)(,),0()()1()()11()()()0(,)(,),0(,)(,),(,)(,)0()1()1n n n n n n n n n n n n n n l x x l x x f x x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x l x --+-++----+()()()34155111,()()n n n n n n n l x x l x l x l x l x --++()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n l x l x f x l x x l x x f x x l x x x l x x x f x x x l x x x x l x x x x f x x x x l x l x f x l x l x f x -----+-++=()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n n n n n n n l x l x l x l x x l x x l x x l x x x l x x x l x x x l x x x x l x x x x l x x x x l x l x l x l x l x l x -----+-++设0i x x ≠，考察下列极限()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→()()()()()101001010010100101001515511111101001011()()()0()()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()11()()()0()n nnn n n n n n n n nl x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x l -----+-++--''''''''''''''''''=''()()()()()0010100101001515511111()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()1n nn n n n n n n n n n x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x ---+-++''''''''''''''''所以我们定义()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +=：()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→进一步可以定义定义2.4 f(x)在[a,b]上足够光滑，(,),1,2,,,i y a b i s ∈=112(1)(1)()()11221,,1,,(,,,,,,,,,)lim (,,,,,,)s ss s s s k m kk m kk m m m f y y y y y y f x x x x →∞=：1122detdet ,s s B A B A B A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭称为重节点差商。
计算方法 1.3 Hermite插值
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Bj ( xk ) 0, k 0,1,, n, j k; Bj ( xk ) 1, j k
函数值
导数值
x0 x1 ... xn-1 xn x0 x1 … xn-1 xn
A0(x) A1(x) …
10 01 ……
An-1(x) 0 0
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有
H 2n1 ( xk
)
n
Aj ( xk ) y j Ak ( xk ) yk
n
B j ( xk ) yj
j0 jk
j0
n
n
H
背景：Lagrange插值和Newton插值虽然构造比较简单， 但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但不一定光滑）， 若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插 函数的“密切”程度更好，这就要用到带导数的插值。
hermit插值法
hermit插值法Hermit插值法是一种常用的数值插值方法，它可以通过已知的数据点来推断未知点的值。
这种方法常用于数值计算、数据分析以及图像处理等领域。
本文将详细介绍Hermit插值法的原理、应用以及优缺点。
一、Hermit插值法的原理Hermit插值法是基于Hermite多项式的插值方法。
Hermite多项式是一组满足特定条件的多项式，可以用来表示插值函数。
在Hermit 插值法中，我们通过已知的数据点构造Hermite插值函数，然后利用该函数来推断未知点的值。
具体而言，Hermit插值法使用两个数据点的函数值和导数值来构造一个二次多项式。
这个多项式不仅要经过这两个数据点，还要满足这两个点的导数值。
通过这样的插值过程，我们可以得到一个更加精确的插值函数。
二、Hermit插值法的应用Hermit插值法在实际应用中有着广泛的用途。
其中，最常见的应用是在数值计算中的函数逼近。
通过Hermit插值法，我们可以根据已知的函数值和导数值来估计未知函数值，从而实现函数逼近的目的。
Hermit插值法还可以用于数据分析和图像处理。
在数据分析中，我们常常需要通过已知数据点来估计未知数据点的值。
通过Hermit插值法，我们可以通过已知的数据点和导数值来推断未知数据点的值，从而实现数据的补全和预测。
在图像处理中，Hermit插值法可以用于图像的放大和缩小。
通过已知的像素点和导数值，我们可以构造一个插值函数，并利用该函数来推断未知像素点的值。
从而实现图像的放大和缩小。
三、Hermit插值法的优缺点Hermit插值法相对于其他插值方法具有一些优点。
首先，Hermit插值法可以提供更高阶的插值函数，从而可以更准确地逼近数据点。
其次，Hermit插值法可以通过导数值来考虑数据点的变化趋势，从而更好地逼近曲线的形状。
然而，Hermit插值法也存在一些缺点。
首先，由于需要计算导数值，Hermit插值法对数据的光滑性要求较高。
如果数据点之间存在较大的波动或者噪声，可能会导致插值结果不准确。
hermit插值
16 多项式(12)常用作分段低次插值，称为分段三次Hermite插值.
x − x1 2 h0 ( x) = ( x − x0 )( ) x0 − x1 x − x0 2 h1 ( x) = ( x − x1 )( ) x1 − x0
例1.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2
8
其中，
wr ( x) = ∏ ( x − xi )
r
wr ( xk ) = ∏ ( xk − xi )
i =0
n
i =0 r
x − xi lkn ( x) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
综合(1)(2)得到 hk ( x) ( k = 0,1,⋯ n) 即式(6),(8)
2.求解 hk ( x) (k = 0,1,⋯ n)
i =0 i≠k i = r +1 r n
将A,B代入式(5)，得
′ ′ hk ( x) = {1 − ( x − xk )[lkn ( xk ) + lkr ( xk )]}lkn ( x)lkr ( x) ------(6) k = 0,1,⋯, r
6
其中，
x − xi lkn ( x) = ∏ i =0 xk − xi
n i≠k r
x − xi lkr ( x) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k n
1 ′ lkn ( xk ) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
r
1 ′ lkr ( xk ) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
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定理
(a)设f ( x) C 2n1[a, b], f (2n2) ( x)于(a, b)存在，( xi [a, b],
i 0,1, , n, xi互异)
（b）H2n1( x) 为Hermite插值多项式，
则
R2n1( x) f ( x) H 2n1( x)
f ( (2n2) )
设R( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2( x x2 ), 其中 k( x) 为待定函数。
构造函数（作辅助函数): (t) f (t) P3(t) k( x)(t x0 )(t x1 )2(t x2 )
则 x, x0 , x1 , x2为 (t ) 的根，且x1是 (t ) 的根
又由 j ( x j ) 1 ，则有 1 j ( xj ) A(xj x0)2(xj x1)2 ( xj xj1)2( xj xj1)2 (xj xn )2
于是
A
1 [(x j x0 )2 ( x j x j1 )2 ( x j x j1 )2 ( x j xn )2 ]
插值余项（误差估计）:
条件 f ( x) C 3[a, b]，f（4）( x)存在。
结论
R( x)
f ( x) P3 ( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)( x
x1 )2 ( x x0 , x2
x2 )。 且依赖于x
证明
（1）当 x xi (i 0,1,2)时, R( xi ) 0 右端 0; （2）当 x xi (i 0,1,2)时,
f [x1,
x1 ]
A
fffx(1(,xxx111)) x1
ff x0 , xx11 f x0 , x0 ( x11 xx00))( x1
x1 , x2 x2 )
((xx11xx00))
重节点定义
重节点定义 ff xx00,, xx11,, xx11 f x00, xx11,,xx22
xk xk1
求3次多项式 H3( x) 使满足插值条件:
f ( x) yk yk1 (5.7)
结论
H H
3( '3
xk ) ( xk
yk ) mk
, H3 ( xk1 ) yk1 , H'3 ( xk1 ) mk1
H3(x) 存在且唯一，表达式为
f '( x) mk
其中 xi (i 0,1, , n) 互异,寻求 2n 1 次多项式 H2n1( x) 使满足
插值条件:
H 2n1 ( xi ) yi
H
2 n1
(
x
i
)
yi
(i 0,1, , n)
(5.2)
定理 如果 f ( x) C1[a, b]且已知 f ( x) 函数表及导数表，
则存在唯一次数不超过 2n 1次多项式 H2n1( x) 满足插值条件(5.2).
证明：先证唯一性。
下证存在性。（用构造法，同构造L-插值多项式的方法）
第一，求Hermite 插值基函数
1.求满足插值条件：
j
j
( (
xk xk
) )
1,当k j时 0,当k j时 0, (k 0,1, ,
第三章 插值法
第五节 Hermite插值
埃尔米特插值
给定 y f (x) 函数值表及各阶导数值表如下：
x
x0
x1
xn
f (x)
f0
f1
fn
f ( x)
f (mi 1) ( x)
f 0(1) f (m0 1)
0
f1(1) f (m1 1)
1
f
(1) n
f (mn 1) nn
xj
xn
0 0，
f ( x) 0 0 0 1 0 0
求 2n 1 次多项式 j ( x) ( j 0,1,2, , n) ,使满足插值条件：
j ( xk ) 0,(k 0, 1, , n)
j
(
xk
)
1, 0,
当k j时 当k j时
2
x xk1 xk xk1
)(
x xk xk1 xk
)
k
(
x)
(
x
xk
)(
x xk
xk1 xk1
)2
k1(
x)
(
x
xk 1 )(
x xk xk1 xk
)2 ,
)2
2
x
j (x) (1
(5.10) [xk , xk1]
2(x j (x)
n)
的 2n j ( x), (
1次多项式 j 0,1,. , n) 。
由x0 , x1, , x j1, x j1, , xn 为 j ( x) 的二重零点且 j ( x j ) 1 ,于是可令
j
(
x
)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxx xx000))222((xx xx11))222 ((xxjj xx00))22((xxjj xx11))22
(2n 2)!
(x
x0 )2( x
x1 )2
( x xn )2
f (2n (2n
2) ( )
2)!
2 n1
(
x
),
(a, b)且与 x 有关。
证明与拉格朗日余项公式证明类似.举例时再证.
二 带导数的两点插值（特例:n 1）
问题已知 f ( x) C1[a, b] 函数表及导数表 x
lj
n1
xj)
i0
xj
xi
i j
(x x j )l
nx
(x)
x i 0
i j
j
)l
2 j
(
x
)；
2 j
(
x)；
xi xi
余项公式为:
R3( x)
f (x) H3(x)
f
(4) (
4!
)
(
x
xk
)2
(
x
xk 1
)2
x x0 x1 x2
例 已知 y f (x) 函数表及导数表 f ( x) y0 y1 y2
设所求多项式为
P3( x) f ( x0 ) f x0, x1x x0 f x0, x1, x2 ( x x0 )x x1
A( x x0 )( x x1)( x x2 )
再由条件 P3( x1 ) f1 确定A .
由 P3( x1 ) f x0 , x1 f x0 , x1, x2 ( x1 x0 ) A( x1 x0 )( x1 x2 ) f1
(((xxxxxjjj11))222((xx xxjj11))22 ((xx ((xxjj xxjj11))22((xxjj xxjj11))22 ((
xx jj
xxnn
))22 xxnn
))22
(1 c( x x j )) l（2j x）
j ( x)
(1
2( x
n
xj)
i0
xj
1
xi
)l
2 j
(
x
)；
i j
j
(
x)
(
x
x
j
)l
2 j
(
x)；
n
l
j
(x)
n
i0 i j
x xi x j xi
事实上,有 H ( 2n1 xi ) ( j ( xi ) yi j ( xi ) y' j ) yi
4! x2
)
(1)理解H-插值多项式的构造方法（基函数法与例的方法）；
(2)能根据具体条件求出插值多项式及插值余项。
作业:
P.88 15
Hermite插值（以 mi=2, i=0,1,…,n 为例）
n
结论 H ( 2n1 x) ( j ( x) y j j ( x) y' j ) j0
(t)至少有四个互异根
（4）(t )至少有一个根，即至少存在一点 x0 , x2 使（4（ ） ） 0
f（4（ ） ） k( x) 4 ! k( x) f（4（ ） ）
R( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)(
x
x1
)2
(
x
可，并使前三个插值条件不受影响。
解： 过3点 x0 , y0 , x1, y1 , x2 , y2 的2次牛顿插值多项式为 P2( x) f ( x0 ) f x0 , x1 ( x x0 ) f x0 , x1, x2 ( x x0 )( x x1 )
)
c
2
lj ( x lj(x
j j
) )
ห้องสมุดไป่ตู้
2lj ( x j