高等代数小论文选题
高等代数实践小论文
高等代数实践小论文代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。
其相关具有代表性的习题如下：1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____.解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2.f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d,f(a)=ca+d,f(b)=cb+d,联立可解得c=f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b .Thoughts of mine:已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。
2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15).解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数.做综合除法可得f(15)=67.Thoughts of mine:余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解.3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根.解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20.则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4.f(x)((f (x ),f ′(x ))=x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4.故f(x)的根为1,-2.Thoughts of mine:对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易.4.已知f(x)=x 3+a x 2+bx+c,a,b,c ∈Z.求证:若ac+bc 为奇数,则f(x)无整数根.证:假设f(x)有整数根α,则有α|c.由于(a+b)c 为奇数,故a+b,c 均为奇数,故α也为奇数.则x-α|f(x),设f(x)=(x-α)q(x),其中q(x)为整系数多项式.f(1)=(1-α)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c 为奇数,但1-α为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根.Thoughts of mine:奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾.5.已知x+y+z=0,xyz ≠0,,求x 2yz +y 2xz +z 2xy 的值.解答: x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz .令f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3,首项为x 3.故f(x,y,z)=σ13+a σ1σ2+b σ3,其中σ1= x+y+z=0.故f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3=-6=-2b,故b=3.则x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz =3σ3σ3=3.Thoughts of mine:表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题.例如：解方程组{x +y +z =2,(x −y)2+(y −z)2+(z −x)2=14,x 2y 2z +x 2yz 2+xy 2z 2=2.解答:σ1=x+y+z=2=-a 1,对方程组作加减变换,可得x 2+y 2+z 2-(xy+xz+yz)=7,xyz(xy+yz+xz)=2,x 2+y 2+z 2+2(xy+xz+yz)=4,故xy+xz+yz=σ2=-1=a 2,xyz=σ3=-2=-a 3.故x,y,z 为方程f(x)=x 3-2x 2-x+2的三个根,易得x=1为一个有理根. 用综合除法可得f(x)=(x-1)(x+1)(x-2),故f(x)的三个根为1,-1,2.6.已知5阶行列式5123452221127312451112243150D ==.求414243A A A ++ 和4445A A +.解答:设x=414243A A A ++,y=4445A A +则D 5=414243A A A +++2（4445A A +）=x+2y=27,若将第四行换成与第二行相同的数字,则有D′5=|1 2 3 4 52 2 2 1 13 1 24 52 2 2 1 14 3 15 1|=0,则D′5=2x+y=0.联立可解得x=-9,y=18.Thoughts of mine:因为A ij 为代数余子式,故可看成按某一行全为1或2展开即行列式的值.类似地,还有| 2 1 5 41 2 3 1−1 0 2 3 3 1 0 −1|,求M 13-M 23-2M 43的值.简解: M 13-M 23-2M 43=1∙A 13+1∙A 23+0∙A 33+2∙A 43=| 2 1 1 41 2 1 1−1 0 0 33 1 2 −1|,即将第三列元素换为代数余子式前的系数.7.求行列式的值:|1 1 1a b c a 3 b 3 c 3|.解答：|A |=| 1 1 1 1a b c y a 2 b 2 c 2 y2a 3 b 3 c 3 y 3|,原行列式的值即为该行列式求值后y 2的系数的相反数.显然，|A |是Vandermonde 行列式, |A |=(y-a)(y-b)(y-c)(b-a)(c-a)(c-b), 由根与系数的关系可得y 2的系数为-(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b),故所求原行列式的值为(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)= a 2+ b 2+c 2.Thoughts of mine:与Vandermonde 行列式类似的情形可转化为Vandermonde 行列式,根据根与系数的关系求解.8. R 是实数域，对任意正整数m n ≥，证明：在n R 中存在m 个向量12,,,m ααα，使其中任意n 个向量线性无关.解答:令α1=(1,1,1,⋯,1),α2=(1,2,22,⋯,2n−1),⋯,αm =(1,m,m 2,⋯,m n−1),将其排成列矩阵,A=[1⋯1⋮⋱⋮1 ⋯m n−1],任意取其中n 列都可能到一个方阵,且这个方阵取行列式为Vandermonde 行列式.由于1,2,⋯,m 各不相等,故|A |≠0,即其中任意n 个向量线性无关.Thoughts of mine:Vandermonde 行列式的值易求得,且容易构造,所以取特殊情况构造时可以选择Vandermonde 行列式.9. 百鸡术：母鸡每只5钱，公鸡每只3钱，小鸡3只1钱，百钱买百鸡，各买几何？解答：设买母鸡、公鸡、小鸡数分别为x,y,z.则可得线性方程组和约束条件:{x +y +z =100,5x +3y +13z =100且100≥x ,y,z ≥0,3|z.A̅=[1 1 11005 3 13100]→[1 0 −43−1000 1 73200],故{x=43z−100,y=−73z+200根据约束条件z=75,78,81,84,故可以得到四组解{x=0,y=25,z=75.{x=4,y=18,z=78.{x=8,y=11,z=81.{x=12,y=4,z=84.Thoughts of mine:可用线性方程组解决实际问题,但应注意的是,在用线性方程组解决实际问题时要注意实际问题的约束条件.类似的还有, 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何？（求在500至1000范围内的解）10.已知A是方阵,A2-A-2E=0,则A−1=_______,(A+2E)−1=__________.解答：A2-AE-2E=0，A(A-E)=2E,所以A−1=A−E2.(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)−1=-A−3E4.Thoughts of mine:求A−1需要对已知的式子进行变形,得到A A−1=E,从而得到所求结果.。
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
高等代数论文
莆田学院毕业论文题目数学归纳法及其在图论中的应用学生姓名余晶晶学号510401425专业数学与应用数学班级数本054指导教师陈梅香二00九年五月十日目录0引言 (1)1数学归纳法的理论基础 (2)1.1数学归纳法的理论基础是Peano公理 (2)1.2第一数学归纳法 (2)2数学归纳法的基本步骤 (2)2.1n的取值 (2)2.2验证初值 (3)3数学归纳法的其他形式 (4)3.1第二数学归纳法 (4)3.2跳跃数学归纳法 (4)3.3反向数学归纳法 (6)3.4二重数学归纳法 (7)4数学归纳法原理在图论中的应用 (8)4.1对顶点数进行归纳证明 (8)4.2 对边数进行归纳证明 (9)4.3 对顶点集（或边集）的子集中的元素个数进行归纳证明 (9)4.4图论中其他与自然数有关命题的归纳证明 (10)结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)数学归纳法及其在图论中的应用余晶晶（数学与应用数学指导老师：陈梅香）摘要：本文介绍了数学归纳法原理的两个基本步骤，以及由它的基本原理推导出的数学归纳法的其他四种形式，包括：第二数学归纳法、跳跃数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法，并给出这四个数学归纳法及其应用，并应用数学归纳法、证明图论中的图的顶点数、边数、顶点集或边集、距离、途径等等各个方面与自然数n有关的命题。
关键词：数学归纳法形式归纳假设基本步骤图论Abstract：This paper introduces the principle of mathematical induction of the two basic steps, as well as thebasic principles of it deduce the mathematical induction of the other four forms, including: Second mathematicalinduction, jumping mathematical induction , reverse mathematical induction, double mathematical induction,and gives the theorem of the four mathematical induction and its applications, and prove some proposition aboutnatural number n by mathematical induction in graph theory, such as the proposition about vertices of thegraph, edge, vertex set or edge set, distance, and so on in graph theory.Keywords: mathematical induction form inductive assumption basic step graph theory0引言（）的一种推理方法。
(选题、开题、说明)高等代数课程论文(数学1101-1103)合并
关于开题报告论证的说明时间：5月22日（周二）8:00-9:50地点：3-214 5月24日（周四）8:00-9:50地点：3-304每人报告时间：3-5分钟内容包括：选题的目的意义、研究问题的思路、解决的关键问题以及论文的总体结构。
提交时间：5月31日（周日）电子版（纸质的与论文一起交）数学1101-3班课程论文选题柴健2：矩阵是营养基础（自己命题）孔胜江2：分块矩阵的性质及应用（自己命题）郑海乐2、徐孝敬1、张朋3、孙伟3：《高等代数》课程学习感悟姚登明2、姜文豪3：《高等代数》中的。
方法莫家凤2：高等代数有关理论的等价命题胡立广2、郭永升2、张震宇1：高等代数理论在金融中的应用吴娜2、许青松2、韦若琳1：行列式计算方法综述王芬2、高雅1、葛静文1：关于向量组的极大无关组张志俊2、马凤巧2、洪丽珠1：. 线性方程组求解方法综述郑可欣2、胡玲2、郭莉1：向量的应用王腾2：矩阵多项式的性质及应用张建坤2、王晶2：关于分块矩阵廖西建2：分块矩阵的初等变换及应用沈冬雪2、李凌寒2、代华斌1：矩阵初等变换及应用罗潇2：矩阵变换的几何特征于湘宁2、蔺悦3、霍新勤3：二次型正定性及应用陈娣2、蔡雪2、马丽1：关于线性变换的若干问题王瑞珊2、齐海燕3：矩阵等价、合同、相似的关联性及应用、訾利平2：多项式不可约的判别方法及应用邓萍萍2、宋鹏1：二次型矩阵的性质与应用吴媛2：相似矩阵的若干应用张静贻2、边普顺2、杨晶晶1：高等代数理论在经济学中的应用宋依1、张立旺3：金融中的数学乔晓光1、杨鹏1：高等代数与解析几何的关联性刘梦娇1、曹蕾1：行列式理论的应用性研究王磊1、李懿3：反例在高等代数中的应用李亚军1、黄玢1、刘昕3：数学软件在高等代数中的应用朱飞天1、李琦3：矩阵运算在经济中的应用王晶1、吴楠1 、王彦清3：高等代数有关理论的应用实例吴桂雯1：关于欧式空间的若干问题段海龙1、徐敏3、浦桐桐3：哈密顿-凯莱定理及其应用逯孝东1、张越1 、刘学3：高等代数在生活中的应用张洁1、査欣欣3、郭晓军3：线性方程组的应用肖俊梓3、朱金云1、张冰清3：行列式理论的应用性研究朱洪彬3：范德蒙行列式的一些应用高浩霖3、孙英英3、杜金金3：分块矩阵的初等变换及应用蒙萌3、孟欢3：二次型的化简及应用柳向玲3、邵池3：线性变换的应用郭士宝3、李芹芹3：特征值与特征向量的应用李昊3：我眼中的高等代数胡先慧3：高等代数理论在营销的应用赵蕾3、吴碧凡3：多项式不可约的判别方法及应用黄俊豪3：矩阵标准型的思想及应用关于高等代数课程论文的说明基于社会对高等教育人才的能力要求及我校人才培养目标的宗旨，拟对数学类学科基础课《高等代数（下）》的考核方式进行调整，将原平时成绩：期末成绩=3：7调整为4：6，平时考核内容增加“课程论文”一项，所占分数为10分。
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业（学位）论文题目汇总一、数学理论1.试论导函数、原函数的一些性质。
2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
3.数学中一些有用的不等式及推广。
4.函数的概念及推广。
5.构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
7.泰勒公式及其在解题中的应用。
8.导数的作用。
9.Hilbert空间的一些性质。
10.Banach空间的一些性质。
11.线性空间上的距离的讨论及推广。
12.凸集与不动点定理。
13.Hilbert空间的同构。
14.最佳逼近问题。
15.线性函数的概念及推广。
16.一类椭圆型方程的解。
17.泛函分析中的不变子空间。
18.线性赋范空间上的模等价。
19.范数的概念及性质。
20.正交与正交基的概念。
21.压缩映像原理及其应用。
22.隐函数存在定理的再证明。
23.线性空间的等距同构。
24.列紧集的概念及相关推广。
25.Lebesgue控制收敛定理及应用。
26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。
27.重积分与累次积分的关系。
28.可积函数与连续函数的关系。
29.有界变差函数的概念及其相关概念。
30.绝对连续函数的性质。
31.Lebesgue测度的相关概念。
32.可测函数与连续函数的关系。
33.可测函数的定义及其性质。
34.分部积分公式的推广。
35.Fatou引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
38.Schwartz不等式及推广。
39.阶梯函数的概念及其作用。
40.Fourier级数及推广。
41.完全正交系的概念及其作用。
42.Banach空间与Hilbert空间的关系。
43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。
44.数学分析中的构造法证题术，45.用微积分理论证明不等式的方法46.数学分析中的化归法47.微积分与辩证法48. 积分学中一类公式的证明49.在上有界闭域的D中连续函数的性质50.二次曲线中点弦的性质51.用射影的观点指导中学初等几何内容52.用近代公理分析中学几何中的公理系统53.球上Hardy空间上的加权复合算子54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。
高等代数小论文选题
高等代数小论文选题高等代数小论文备选题目【第一学期】1 行列式在几何中的应用（求面积、体积、平面、直线、圆、欧拉四面体……）2 行列式在中学数学中的应用3 初等变换在高等代数中的作用4 矩阵的秩关系式的证明方法5 矩阵秩的性质研究*6 可逆矩阵的性质研究7 伴随矩阵的性质研究8 分块初等变换的应用9 矩阵的迹及其应用10 等价标准形（P190）的应用11最大公因式的其他求法*12自选题目（一般选题低分起评）【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）；提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名)16周之前交。
注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。
[2]查找文献的基本方法：①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网）②百度文库搜索③参考书高等代数小论文备选题目【第二学期】1 正定矩阵的性质研究2 线性空间的公理化定义研究3 线性空间研究问题的思路探讨4 线性空间直和的证明方法5 线性变换与矩阵的同构关系6 相似关系下的性质研究7特征值与特征向量在其他学科的应用8 哈密尔顿-凯莱定理的应用9 对角化问题的研究10 几类标准形的研究（等价、相似、合同、正交相似）11 等价分类的思想方法12 Jordan标准形的应用研究13 欧氏空间理论在中学数学的应用14 正交变换的性质研究15 矩阵的乘积分解问题16 高等代数中的数学思想*17 自选题目（一般选题低分起评）【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）；提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名)注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。
[2]查找文献的基本方法：①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网）②百度文库搜索③参考书。
高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：小论矩阵的对角化姓名：刘文娟学号：410401210莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月22 日小论矩阵的对角化刘文娟 042数本 410401210摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。
关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩特征多项式 循环矩阵定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。
判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。
判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,,,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为()0i E A X λ-=的一个基础解系（从而是属于i λ的一极大无关特征向量组），A 可对角化的充要条件是：12m s s s n ++=判定3：设12,,,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为12,,m s s s 重根，A 可对角化的充要条件是： 对每个()1,2,i i m =都有：()i i r E A n s λ-=- 证明：充分性 设()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m =则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量，但由于12,,,m λλλ分别为12,,m s s s 重根，从而12m s s s n ++=故A 可对角化。
必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于12m s s s n ++=，故每个次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量，从而()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m =判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的一次因式的乘积。
高等数学毕业论文题目
高等数学毕业论文题目2005级论文题目（2008年9月）教研室姓名论文题目选题的内容与要求选题学生（学号、姓名）分析 1 周期函数的判定2 阶的估计与应用3 一致连续的判定与应用4 N-L公式的推广与应用5 对称函数的条件极值6多元函数极值的一阶微分判别法及多元函数最值的极限形式1非线性时滞Josephson方程的概周期解对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.2一类二阶非线性系统概周期解对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.3一类含有概周期强迫项的二阶非线性系统的概周期解对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.4一类广义时滞Logistic方程的全局吸引性对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.5一类方程概周期解和有界解的存在性对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.6一类脉冲系统的周期解对微分方程有兴趣,数分成绩比较好.1利用数列的上下极限来计算数列的极限选题内容与要求：改进余国林, 魏本成《关于上、下极限的一个新定理》（大学数学），利用数列的上、下极限计算数列的注：每个题目只能一个学生选用，每个教师指导的学生不能超过6人，同学们也可选择没有命题的教师作为指导老师。
学生也可自已命题（只能命高等数学类的题目）注：每个题目只能一个学生选用，每个教师指导的学生不能超过6人，同学们也可选择没有命题的教师作为指导老师。
学生也可自已命题（只能命高等数学类的题目）极限。
参考《关于一类递推数列极限的求法的注解》等文举出例子。
要求：查阅大量的参考文献和并具备较好的数学分析基础。
2 Cauchy 中值定理的反问题选题内容与要求：参考《高等数学研究》上《关于Lagrange 中值定理的反问题》讨论Cauchy 中值定理的反问题。
要求：查阅大量的参考文献和并具备较好的数学分析基础。
3微分中值定理中间点的性质选题内容与要求：参考《大学数学》（23卷第四期）上论文《再论微分中值定理中间点的性质》讨论微分中值定理中间点的性质。
4递推数列上界的判定方法选题内容与要求：内容：形如1()n n a f a += 的递推数列，已知{}n a 单调递增，如何找到{}n a 的上界，使得可以利用单调有界原理证明{}n a 的极限的存在注：每个题目只能一个学生选用，每个教师指导的学生不能超过6人，同学们也可选择没有命题的教师作为指导老师。
数学与应用数学专业毕业论文参考题目
数学与应用数学专业毕业论文参考题目YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020数学与应用数学专业毕业论文参考题目论文指导：选题，排版、大纲、查重A、1、极限思想的产生和发展；2、利用泰勒展式求函数极限；3、数列极限和函数极限；4、求函数极限的方法；5、等价无穷小求函数极限；6、求二重极限的方法；7、三角函数的极值求法；8、有界非连续函数可积的条件；9、正项级数收敛的判别方法；10、Riemann可积条件探究；11、凸函数的几个等价定义；12、函数的本质探讨；13、数学概念的探究教学法；14、学习《数学分析》的读书报告。
15、用复数证明几何问题；16、用复数证明代数问题；17、解析函数展开成幂级数的方法分析；18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析；19、利用残数定理计算一类实积分；20、利用对数残数计算复积分；21、利用辐角原理确定一类方程根的范围；22、学习《复变函数论》的读书报告。
23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）；24、概率统计在教学管理中的应用；25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平；26、有理数域上多项式不可约的判定；27、利用行列式分解因式。
28、n阶矩阵可对角化的条件；29、有理数域上多项式的因式分解；30、矩阵在解线性方程组中的应用；31、行列式的计算；32、求极值的若干方法；33、数形结合法在初等数学中的应用；34、反例在中学数学教学中的作用；35、生成函数证明递归问题；36、一类组合恒等式的证明；37、一个组合恒等式的推广；38、常生成函数的几个应用；39、指数生成函数的几个应用；40、学习《组合数学》的读书报告；41、学习《离散数学》的读书报告；42、论数学史的教育价值43、学习《常微分方程》的读书报告；44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析；45、数学优秀生（或后进生）家庭内外状况的分析；46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析；47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力；48、中学生的数学创新思维的培养；49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。
高等代数论文
数统学院数学与应用数学系“高等代数”课程论文题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用姓名：郑某某学号：20111010xxx数统学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2011级2013年2 月26 日摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些性质。
通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。
由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。
关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核一．相关定义及性质。
文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。
下面是性质的一个补充。
我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。
若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。
证明：ξ∀∈1(0)σ-，则有τ（σ（ξ）） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ-∀τ（η）()V τ∈，σ（τ（η））=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。
二．有关核与值域的维数问题。
例一：设F 为数域，V=n F ，证明：1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且n T =02）求T 的核与值域TV 的维数。
证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。
T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ )=(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ∀∈,则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α，∴T 为线性空间V 的线性变换。
高等代数课程论文（示例）
⾼等代数课程论⽂（⽰例）⾼等代数有关理论的⼏何描述探讨信息与计算科学04-01班⽑维东内容摘要：⾸先通过对线性空间理论的基本阐述,重点讨论了线性空间元素向量的运算、相关性和向量内积的⼏何意义。
其次分析了线性⽅程组的解在⼏何上如何⽤线或者⾯的关系来表⽰,并⽤实例说明解的情况与⼏何图形的关系,并对解得关系进⾏了图形描述;再通过矩阵对实际计算机图形中的变化进⾏研究,得出图形变化后的坐标矩阵；最后，通过对⼆次型的基本概念与基本理论的阐述,重点讨论了正定⼆次型、负定⼆次型，并通过具体的实例给出了分类问题的⼏何描述,与此同时,分析并列举了⼆次型标准型在⼆次曲⾯分类上的应⽤，由此得到了常见的⼏种⼆次曲⾯标准⽅程,并对典型⽅程给出了图形描述。
在问题的研究中，采⽤理论分析与实例应⽤相结合,充分发挥数学应⽤软件的优势,将代数理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键字：线性空间;向量;矩阵；⼆次型;⼏何描述1 导⾔对于在数学内容上是否应将代数与⼏何统⼀处理, ⼈们对此有不同的意见和做法。
从国内来看, 在许多院校试⾏了将线性代数与解析⼏何统⼀的课程改⾰，有的将线性代数与解析⼏何统⼀课程作为⾼等院校理⼯、经管、数学专业学科的教材，也有⼀些⾼校将线性代数与解析⼏何作为不同的学科分开教学。
从国际来看, 早已出现了⼤量将线性代数与解析⼏何统⼀在⼀个学科内的教材。
对于是否统⼀的问题各⼈持有不同的观点:反对代数与⼏何统⼀的⼀些⼈认为, 这是在消灭⼏何,⽽历史上忽视⼏何的做法起码在教学上效果不好;赞同代数与⼏何统⼀的⼈认为, 代数与⼏何本来就是统⼀的，⼈为的割裂使学⽣不能从整体上理解数学,迄今为⽌分裂代数与⼏何的做法起码在实践上的效果并不好，⼜由于理论数学分⽀, 如代数⼏何、解析数论、拓扑结构等都是代数与⼏何的统⼀体,因此在学习的初级阶段, 让学⽣更⾃觉地体会⼏何与代数的统⼀性是必要的。
代数与⼏何是两门相互依赖、紧密相联的学科。
由于代数学科概念的⾼度抽象性、定理的⾼度概括性和⼏何学科的具体直观性，使“数”“形”结合问题受到越来越多的关注。
高等代数的历史背景及其意义论文
高等代数的历史背景及其意义论文《高等代数的历史背景及其意义》篇一高等代数，这门在数学领域里举足轻重的学科，有着一段漫长而又迷人的历史背景，其意义更是深远得像宇宙一样无边无际，且听我慢慢道来。
从历史的长河中溯源，高等代数的发展就像是一场接力赛。
早在古代，人们就开始对简单的代数方程进行研究。
比如说，古埃及人在丈量土地的时候，就已经在不自觉地运用代数的思想。
那时候的他们，也许就像我们小时候掰着手指头算数一样，对未知的数学世界充满了好奇与懵懂。
随着时间的推移，到了阿拉伯世界的黄金时代，代数得到了进一步的发展。
阿拉伯的数学家们像是一群勇敢的探险家，他们深入到方程求解的神秘领域。
像花拉子米，他的名字就像代数史上的一颗璀璨明星。
他对二次方程的研究，就像是打开了一扇通往代数新领域的大门，门后面是无数等待被发掘的宝藏。
后来，欧洲的文艺复兴时期，代数像是搭上了时代的快车。
数学家们不再满足于简单的方程求解，他们开始思考更复杂的代数结构。
这时候的高等代数，就像是一个刚刚学会走路的孩子，开始摇摇晃晃地向着更广阔的天地进发。
那高等代数的意义呢？哎呀，这可太重要了。
在科学领域，它就像是一把万能钥匙。
就拿物理学来说吧，我们研究天体运动的时候，那些复杂的计算，什么引力啦，轨道啦，没有高等代数的方程来描述，简直就是一团乱麻。
就好像让一个厨师在没有锅碗瓢盆的情况下做饭一样，根本没法下手。
在工程领域，高等代数也是不可或缺的。
我听说过一个故事，有个工程师在设计桥梁的时候，遇到了结构稳定性的问题。
他就像热锅上的蚂蚁一样团团转，最后还是靠着高等代数的矩阵理论，才把问题解决了。
你说，这高等代数是不是像个超级英雄一样及时出现呢？而且，从我们个人的思维训练角度来看，学习高等代数就像是一场头脑的大冒险。
有时候那些复杂的概念和定理，就像一个个迷宫一样，让我晕头转向。
我记得我刚开始学习线性变换的时候，感觉自己就像走进了一个充满迷雾的森林，完全找不到方向。
高等代数论文选题
高等代数论文选题1. 关于矩阵的乘积的秩的研究；2. 矩阵相似的若干判定方法；3. 线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题；4. 矩阵的特征值与特征向量的应用；5. 化二次型为标准型的方法；6. “高等代数”知识在几何中的应用；7. 矩阵初等变换的应用；8．“高等代数”中的思想方法；9. “高等代数”中多项式的值、根的概念及性质的推广；10. 线性变换“可对角化”的条件及“可对角化”方法；11. 行列式的若干应用;12. 行列式的计算技巧；13. 欧式空间与柯西不等式；14．《高等代数》对中学数学的指导作用；15. 关于多项式的整除问题；16. 虚根成对定理的又一证法及其应用；17. 范德蒙行列式的若干应用；18. 矩阵相似及其应用；19. 矩阵的迹及其应用；20. 关于对称矩阵的若干问题；21. 关于反对称矩阵的性质；22. 关于n 阶矩阵的次对角线的若干问题；23. 有理数域上多项式不可约的判定；24. n 阶矩阵可对角化的条件；25. 有理数域上多项式的因式分解;26. 矩阵在解线性方程组中的应用;27. 关于整系数有理根的几个定理及求解方法;28. 代数基本定理的几种证明方法简介；29. 关于线性变换的确定（求法）;30. 线性变换思想在中学数学中的应用;31. 关于矩阵正定的若干判别方法;32. 矩阵可逆的若干判别方法;33. 线性空间与欧式空间;34. 向量组线性相关与线性无关的判定方法;35. 常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法36. 线性变换的内积刻划;37. 线性方程组的推广——从向量到矩阵;38. 幂零矩阵的性质;39. 矩阵可交换的条件;40. 关于幂等矩阵及其性质;41. 矩阵的标准形及其应用；42. 化二次型为标准形的方法；43. 矩阵秩的不等式的讨论；44. 分块矩阵的若干初等运算；45. 矩阵的伴随矩阵；46. 分块矩阵行列式计算的若干方法47. 可逆矩阵的求法；48. 漫谈高等代数中一类具有共性的问题；49. 构造法在高等代数中的应用；50. 高等代数在初等数学中的一些应用；51. 浅谈从初等代数过渡到高等代数的问题；。
高等代数论文
正交变换与群问题探（莆田学院数学系02级1班 林月娥、连涵生）[摘要]主要探讨： （i ）正n 边形保形运动的存在情况及分类；（ii ）保形运动构成一个群；（iii ）运用到南开大学2004年研究生入学考试试题第5题。
[关键词] 正n 边形；正交变换；保形运动；群说明：以下我们用①2R 表示平面运动的标准度量；②k ρ表示图形绕中心旋转，01k n ≤≤-；③k π表示沿对称轴翻转，01k n ≤≤-；④ n D 表示由k ρ和kπ的所有正交变换的集合；⑤实线表示图形原来位置，虚线表示图形运动后位置。
⑥ 以下均以正方形代表正n 边形来作图。
1、 引言南开大学2004年研究生 入学考试试题第5题如下： 给定2R标准度量。
求出2R 中所有保持下列正方形（其中A ＝（1,1），B ＝（-1，1），C ＝（-1，-1），D ＝（1，-1））整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换[1]。
（如图（1））上述试题所涉及的正交变换的更一般情况：定义1: 平面上对称图形经过某些运动后仍能回到自身图形的运动，称为保形运动。
（即保持原来图形的形状不变又保持原来图形所在的位置不变。
）我们首先讨论一般的正n 边形的保形运动的存在情况及分类。
因为这些保形运动对于正交变换的乘法运算构成一个群，所以由这些结果可以解答并证明[1]。
由此我们还可得到[1]的进一步结论。
2．保形运动的存在情况及分类定义2：正交变换就是保持点之间的距离不变的变换[2]。
几何的形式，M.chasles 定理[3]平面的运动有且只有下列三种：(a)沿任一给定向量的平移; (b)以任意点为中心的旋转;(c)绕某一直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移（包括作纯翻摺的情况）。
由M.chasles 定理，对于一个给定的正n 边形，适当选取坐标系，不妨选其中心为坐标原点O ，则它在平面上的保形运动的存在情况可通过以下分析得到：（1）由M.chasles 定理的(a)，我们可以通过简单的正n 边形沿某一个定向量平移知平移后图形不可能回到自身上去。
高等代数的应用论文
高等代数的应用论文代数在经济管理中的应用目录摘要.................................................................. 3 问题提出............................................................ 4 实际应用举例...................................................... 4 论文总结............................................................ 10 参考文献 (11)2【摘要】科学技术的开展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。
我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会效劳于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。
本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。
【关键词】高等代数，经济管理，实际，应用【Abstract】The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management. 【Key words】3Advanced Algebra, Economic and management, Practical, Application 【问题提出】学习高等代数已经两个学期，马上就要结束这门课程了。
高等代数论文
安徽师范大学数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：对角化的讨论及应用姓名：***学号：************安徽师范大学数学与应用数学系数学与应用数学专业2012级2013年8月25日对角化的讨论及应用摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题,线性变换的对,角化实质上也是矩阵的对角化,分析对角化问题,讨论矩阵是否可与对角矩阵相似,若相似,则有相同的特征值,即可用一定的初等变换将之化为对角阵,以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化,而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义 .关键词: 对角化实对称矩阵特征值相似标准形式.( 一 )线性变换的对角化.1212111,dim(),(),(),()[],()()()(),, ,.:()()()()(),()()t t j j t F n N L g x h x F x g h h g x x x x x l j x x x λλλννσνσσσσλλλσνννλλλλ+-+=∈∈∈=+++=----≠=-j j j,l 正文一对角化的条件:设是数域上的线性空间又设则多项式的运算满足乘法交换律知引理1,设是的两两不同的特征值则和是直和证明g 当时g 令g 1212112,0,1,2,.()()()()00()(0)()()()()()()()()()()()(),()0,0,,(j t lj lid l t t j j j j j j t j t c λαααλανσσσλασσααασασασασαλαλαμμμσν++=∈==-===++=++==≠=j j,l j j j j j j j j 这也是一个多项式,设其中由g g 有g g g g g 因为g g 而g 所以设是的所有的两两不同的特征值.记121212)()(),1,2,,(),()dim(),()(){,,},();(),()(,,)tj j j t j j t III III j t III c n III n III III III diag n μμμμννννννηηηνσηλησλλλσσ=⊕⊕====j 若是的一个基,则将合并得到的向量组线性无关并且是的一组基:引理2:如果而含有个向量.记则是的一组基记则在下的矩阵是推论:如果有个两两不同的特征值,则可对12121()():{,,},,,,,(),dim(()),,dim(),(),t n III VI c m c n F n N L σσσααααααννσννσνμ+∈=≥=∈∈角化.证明:注意到特征子空间的维数是正整数,则此时每一个特征子空间的维数只能是1,故可对角化.引理3:若有m 个向量,m<n,则不可对角化.证明:(反证)如果有基下的矩阵是对角矩阵因此所以与已知矛盾故不可对角化.定理1:设是数域上的线性空间21,,dim()j t tj nμμμσσλ==∑是的所有的两两不同的特征值,的可对角化的充分必要条件是:1212(),,,dim():(1),,(2)(1),n t j j j js j j j j L F m m m m n m Fψμμμψμωωψμμω⨯∈=++==∈A A n A 二 对角化的计算方法:现在考虑F 上n n 矩阵A 的对角化的计算问题,注意到A 否相似于对角矩阵,也就是是否可对角化.设是(也是A 的)的所有的两两不同的特征值,齐次线性方程组(E -A)X=0的解空间记为我们有可对角化的充分必要条件是的重数如果成立将的基(即(121212():{,,},,1,2,,(),,,,j n i i i t n III i n III μξξξξλξψλλλξξξ==n A -1E -A)X=0的一个基础解系),j=1,2,t合并起来得到向量组于是A 而在下的矩阵是对角矩阵B=diag()(3)若取C=(),则C 是可逆的,并且C AC=B三 相似标准形现在假定A 可对角化,我们来研究与A 相似的对角矩阵是否在某种意义下"惟一"?也就是说,如果G,H 都是12121112,,,,()()()()()(){,}t t j t i n n x x x x x x λλλμμμλλλμμμψεεε---=---A 对角矩阵,并且G H,G 与H 有什么进一步的关系?引理4:如果G=diag(),H=diag()都是对角矩阵,并且G H,则G 与H 只相差主对角线上排列的不同:证明:先证必要性:如果G H,则G 与H 的特征多功多项式相等因此,则结论成立.再证充分性,G 是在基12,()(),,,,t VI F P C σλλλ⨯⨯∈∈=-1n n n n 下的矩阵可以适当排列这个基得到另一个基(VI)使得在下的矩阵恰是H:定义1,设A Mat 如果存在F 上可逆矩阵C,使C AC 是对角矩阵G=diag(),则称G 为A 的(相似)标准形.定理2:如果矩阵A 可对角化,则它的相似标准形在引理4下意义下惟一.四 可对角化的等价情况设P 为数域A P 当时则下列条件等价: 1,A 的每个若尔当块皆为1级的, 2,A 的最小多项式无重根, 3,A 的最后一个不变因子无重根, 4,A 的初等因子是一次的, 5,A 的特征多项式无重根.112*,,,0n n λλλλλ<>⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-1-1二实对称矩阵的对角化引理1'任意n 阶复矩阵A 必相似于上三角形矩阵,即存在可逆矩阵P, 使得P AP=其中为A 的全部特征根引理2'实对称矩阵的特征根为实数.引理3'设A 与B 为n 阶实矩阵,则A 与B 在实数域上相似的充要条件是 A 与B 在复数域上相似,即有实可逆矩阵P,使得P AP=B 的充要条件 1,μμμμ=-≠≠-1-12 是有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B. 证明:必要性显然.下证充分性,设有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B,且令Q=C+iD,其中C,D 是 实矩阵,i 而AQ=QB,于是AC=QB,AD=DB,因Q 可逆,故|Q|=|C+iD|0 即|C+iD|不是零多项式,则有实数,使得|C+D|0,即实矩阵C+D 可逆 令P=C+D,则有AP=AC 1*",0n μμλλ⎛⎫ ⎪⇒ ⎪ ⎪⎝⎭-1-1T -1+AD=CB+BD=PB,于是Q AP=B,即A 与B 在R 上相似 定理1'(1) n 阶实矩阵A 的特征根都是实数的充要条件是存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ 为上三角形矩阵.(2)当A 的特征根都为实数且A 为正交矩阵时,则A 为对称矩阵. 证明:(1) "由引理1'知,存在可逆矩阵P,使得P AQ= 由1*,0"n λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇐-1-1-1-1-1-1引理3'知,当在复数域上相似时,必有实域上相似,因而可令P 为实可逆矩阵,令P=QT,其中,Q 为正交矩阵,T 为上三角形矩阵,且主对角线上的元素都为正数 ,于是Q AQ=T(P AP)T 因T 为上三角形矩阵,则T 也为上三角形矩阵,可见Q AQ 为上三角形矩阵之积,所以,Q AQ 为上三角形矩阵 "设对于实矩阵A 11212*,,,0,,,n n n λλλλλλλλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭=-1-1T T T -1-1T ,有正交矩阵Q,使得Q AQ 则为A 的全部特征根,且都是实数.(2)由(1)知存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为上三角形矩阵,因A 是正交矩阵,Q 是正交矩阵 Q 是正交矩阵,则B 作为正交矩阵之积自然也是正交矩阵,于是B B 而B 为上三角形矩阵, B 为下三角形矩阵,故)T ====T T T T T B 必为对角形矩阵,易得A (QBQ QB Q QBQ A-1T T T T T T T 定理2' n 阶实对称矩阵A 必正交相似于对角形矩阵,即有正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为对角矩阵.证明:因A 为实对称矩阵,则由引理2'知A 的特征根都为实数,又由定理1' 的(1)知,有正交矩阵Q,使得Q AQ=B 为上三角形矩阵,而A 是对称的,所以 B =(Q AQ)=Q AQ=B,但B 为下三角形矩阵,故B 必有对角形矩阵定理3'若n 阶实矩阵A 既正定又10,0110,,01I ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T T正交,那么,A=I(单价阵)证明:因A 正定,则A 的特征根都是正实数,又A 是正交阵,则A 的特征根只能 均为1,从而,有正交矩阵Q,使得,Q AQ=所以A=Q Q(三)练习12311:,155,1,,λλλλλλλξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-+-===---1233T 1122例设A=212A 是否可对角化?如果A 可对角化,求可逆矩阵C,221 使得C AC 是对角矩阵.解:A 的特征多项式是|E A|=()()故A 的全部特征值是解齐次线性方程组(E A)X=0, 得到它的一个基础解系:{=(1 1 1)}, 这也是A 属于5的特征子空间的一个基,解齐次2,λξξξξξ-3T T 23123-1线性方程组(E A)X=0,得到它的两个基础解系: {=(-1 0 1),=(0 1 -1)},这是A 属于-1的特征子空间的一个基,令C=(,),则C 是可逆的, C AC=diag(5,-1,-1)⨯⨯T T T T T T T T T 例 2 设A,B 是两个n n 实对称矩阵,且B 是正定矩阵,证明存在一个n n 实 可逆矩阵T, 使得T AT 与T BT 同时为对角形. 证明: B 是正定矩阵,故存在可逆矩阵Q,使得Q BQ=EA 是实对称矩阵,故Q AQ 也是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得P Q AQP=(QP)AQP 为对角矩阵 故令T=QP,则T AT 为对角矩阵. 则T BT=(QP T T T T )BQP=P EP=P P=E 则T BT 也是对角矩阵.123123,:2(6),2,6,2(1,1,0),(1,1,0),6(1,2,3)112E λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--======-===-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎣⎦k2T 1T T 231-11 例 3 已知 A=24-2求A -3-35解可求得det(A-)=-()所以A 的特征值为 对应于有两个线性无关的特征向量P P 对应于的特征向量为P 故A 可对角化,-1 则P=10013111,(2,2,6),()5*222123*222*43*23*23*2k k k k k k k k k k diag νν+++=⎥==⎡⎤---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-1k-1k k k -1k k k k k k k k k P AP= 所以A P P Pdiag(2,2,6)P 66+6 =+2*6+2*6666+3*6121412,lim 21007111:,,,247111(,,),247111,,,lim 0247n n n n n diag →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==n -1n-1n 例4 已知 A=求A 的值解A 有三个互异的特征值所以存在可逆阵P使得P AP= 而A Pdiag()P 故A1231231,1,(0,1,1),1,,,0,0λλλλλλ=-=====<>=====T 123T 112312311223例 5 设三阶实对称矩阵A 的特征值为 对应于的特征向量为P 求A解:因为A 为三阶实对称矩阵,故必可对角化,又因是A 的二重 特征值,故A 的与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个,设为P P 且都与P 正交,设所求特征向量为X=(x ,x ,x )则P X 即x +x x x 由x xx 123123,(1,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0),1)|||110,0,100110110εεεεεενν⎧⎪==-⎨⎪-⎩======-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥==⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢-⎢⎣=T T232T T T123123-1T-1得P P xP P P 规范化得|P |P |P 010作正交矩阵P=(,)=则P P 有A=P PP 010010011001010000100101000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢-⎢⎣T P 010所以A=参考文献:1 屠伯埙 : 线性代数—方法导引 上海:复旦大学出版社,1968.2 李师正: 高等代数解题方法与技巧 高等教育出版社 20043 旋武杰: 高等代数 高等教育出版社 4陈重穆 等: 高等代数 北京:高等教育出版社 19905张禾瑞,郝炳新高等代数北京:高等教育出版社19836 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编北京:高等教育出版社7 扬子胥:高等代数习题解(修订版)山东科学技术出版社2001。
高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系“高等代数”课程论文题目：四分块矩阵的初等变换的性质及应用姓名：黄俊艺学号：410401338莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业043数本2007年6月24号四分块矩阵的初等变换的性质及应用摘要：给出四分块矩阵初等变换及其性质；论述它们在矩阵秩，等式，不等式证明及求解矩阵行列式，求矩阵逆的应用。
关键词：四分块矩阵，初等变换，矩阵秩，矩阵行列式，矩阵逆正文：预备知识：定义1 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换（初等行或初等列变换）所得到的矩阵。
初等矩阵共分3类：（1）(),P i j ——变换E 的第i 行与第j 行（或第i 列与第列）得到的矩阵（2）()()P i k ——用数域P 中的非零数k 乘以E 的第i 行（或第j 列）得到的矩阵 （3）(),()P i j k ——把E 的第j 行的k 倍加到第i 行（或第j 列的k 倍加到第i 列）得到的矩阵定义2 分块初等矩阵分块初等矩阵共分3类：()1 ()01,2E0n m E P ⎛⎫⎪⎝⎭()2 ()()01,20n M P M E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()()01,20mE P M M ⎛⎫⎪⎝⎭，其中M 可逆. ()3 ()()1,20mn E M P M E ⎛⎫⎪⎝⎭, ()()01,2m n E P M ME ⎛⎫⎪⎝⎭性质1：分块初等矩阵均是可逆矩阵 性质2：分块初等矩阵左（右）乘A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭（要可乘，可加）相当于对其作相应的分块初等行（列）变换性质3：分块初等变换不改变矩阵的秩一 四分块矩阵极其初等变换在证明矩阵秩等式与不等式的应用例1 SyWester 公式：设,s nn m A PB P ⨯⨯∈∈证明： ()()()r A r B n r AB +-≤证明：利用分块初等矩阵相关性质00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由性质3得：()()()000n n E B E r r r A r AB n r AB A AB ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()1,20P n n AO E B E B A⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()()0nnA O EB r r r A r B E B A⎛⎫⎛⎫=≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()()00nnA EB n r AB r r r A r B E B A⎛⎫⎛⎫+==≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()()()r A r B n r AB +-≤例2 Frobenius 不等式设,,ABC AB BC 存在证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：对于四分块矩阵00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭()()()()1,21,21,200000P C P P ABC ABCAB AB AB B B BCB B BC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−→−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由性质3得：()()()()000ABC AB r ABC r B r r r AB r BC B B BC ⎛⎫⎛⎫+==≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 ()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+- 例3 设A 为n n ⨯矩阵证明： ()()2A E r A E r A E n =⇔++-=证明：对于四分块矩阵00A E A E -⎛⎫⎪+⎝⎭()()()()()()()()()()()1,21,21221,22121,220002111222201020P A E P E P E P A E P A E A E A EA EE A A E A EA E A EE A EE A A E E A A EE E A E E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-----⎪ ⎪−−−−→−−−−−→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪−−−−−−→ ⎪⎝⎭由性质3得：()()()()222100200A EA E r r r A E r E r A E n A E E ⎛⎫---⎛⎫ ⎪==-+=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭又 ()()00A Er r A E r A E A E -⎛⎫=-++⎪+⎝⎭故 ()()()2r A E r AE rA E n-++=-+则 ()()()220r A E r A E n r A E A E -++=⇔-=⇔=例4 设,A B 分别为,n m m n ⨯⨯矩阵，且1ABA B -= 证明： ()()r E A B r E A B n-++= 证明： 对于四分块矩阵 00E ABE AB -⎛⎫⎪+⎝⎭因为1ABA B -=，则()1ABA B B B E -==()()()()()12,11,21,2212,120002000202P E P E P E P AB E E AB E AB E AB E AB E AB E AB E AB E AB E E AB E AB E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→−−−−→⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫−−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由性质3得000002E AB r n E AB E r -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭又()()00E ABr E AB r E AB E A r B -⎛⎫=-++⎪+⎝⎭所以()()r E AB r E AB n -++= 例5 设A 为n n ⨯矩阵证明：()()()()()3222A A r A r E A n r A r A A r A A =⇔+-=⇔=-++ 证明：先证：()()32A A r A r E A n =⇔+-=对于四分块200AE A ⎛⎫⎪-⎝⎭()()()()()()()()221,22,1223231,21,200000P A P A P A P A AA A A E A A E A A E A AA A A E E ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--−−−−→−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由性质3知()3320000AA A r r r A A n E A E ⎛⎫-⎛⎫==-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭而()()2200Ar r A r E A E A ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭故()()()2330r A r E A n r A A A A +-=⇔-=⇔= 现证：()()()322A A r A r A A r A A =⇔=-++对于四分块矩阵()()()()()()()()()2221,21,22221132221,21,22221312,220001*********P A A P E P A E P A E P E E A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--−−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫---- ⎪−−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪−−−−→ ⎪⎝⎭300A A A ⎛⎫-−−⎪⎝⎭由性质3得：()()23320000A A A A r r r A A r A A A A ⎛⎫⎛⎫--==-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而()()2222A A r r A A r A A A A ⎛⎫-=-++⎪+⎝⎭ 故()()()()22330r A A r A A r A r A A A A -++=⇔-=⇔=小结： 分块初等变换不改变矩阵的秩，这一性质在求矩阵的秩，特别是分块矩阵的秩是很方便的，很常见的，很重要的。
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高等代数小论文备选题目
【第一学期】
1 行列式在几何中的应用
（求面积、体积、平面、直线、圆、欧拉四面体……）
2 行列式在中学数学中的应用
3 初等变换在高等代数中的作用
4 矩阵的秩关系式的证明方法
5 矩阵秩的性质研究
*6 可逆矩阵的性质研究
7 伴随矩阵的性质研究
8 分块初等变换的应用
9 矩阵的迹及其应用
10 等价标准形（P190）的应用
11最大公因式的其他求法
*12自选题目（一般选题低分起评）
【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）；
提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名)
16周之前交。
注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。
[2]查找文献的基本方法：
①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网）
②百度文库搜索
③参考书
高等代数小论文备选题目
【第二学期】
1 正定矩阵的性质研究
2 线性空间的公理化定义研究
3 线性空间研究问题的思路探讨
4 线性空间直和的证明方法
5 线性变换与矩阵的同构关系
6 相似关系下的性质研究
7特征值与特征向量在其他学科的应用
8 哈密尔顿-凯莱定理的应用
9 对角化问题的研究
10 几类标准形的研究
（等价、相似、合同、正交相似）
11 等价分类的思想方法
12 Jordan标准形的应用研究
13 欧氏空间理论在中学数学的应用
14 正交变换的性质研究
15 矩阵的乘积分解问题
16 高等代数中的数学思想
*17 自选题目（一般选题低分起评）
【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）；
提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名)
注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。
[2]查找文献的基本方法：
①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网）
②百度文库搜索
③参考书。