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第8章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念 8.2 参数的假设检验 8.3 分布的假设检验
8.1 假设检验的基本概念
例 8.1.1 某工厂有一批产品，共 10000 件，须经检验后方可出厂. 按规定标准，次品率 不得超过 5%. 现在其中任选 50 件进行检验，发现有次品 4 件. 问这批产品能否出厂？
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例 8.1.3 设总体 X ~ N(,1) ，其中 未知，现在欲检验统计假设 H0 : 0 .
这里只有一个未知参数及一个统计假设，一般将这类检验问题称为显著性检验. 为了检验
H0 的正确性(或真假)，我们需要进行如下工作： 1. 对总体进行一定次数的观测，获得数据，即抽取样本，这里不妨设容量 n =10；
P{拒绝H0 | H0真}≤ ， 就是犯第一类错误的概率上限，因此显著性水平 可以用来控制犯第一类错误的可能性 大小.
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在确定检验法则时，自然希望犯这两类错误的概率越小越好. 但当样本容量固定时，若减 少犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率往往会增大，反之亦然. 若要使犯这两类错误 的概率都减小，唯一的办法是增加样本容量. 一般采取的基本原则是“保一望二”，意思是在 控制 的前提下尽量减小犯第二类错误的概率. 该原则的含义是，原假设要受到维护，使它不 致被轻易否定，若要否定原假设，必须有充分的理由. 若某一小概率事件发生了，检验结果却 是接受原假设，则说明否定它的理由还不充分.
n
n
分量 X i 更集中地分布在 的周围；
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3. 若从样本观测值计算得到 X 的观测值 x 1.01，那么该如何判断 H0 的正确性呢？
假定 H0 : 0 成立，则 X 的观测值应在 的附近，否则 X 有偏离 的趋势. 给定一个临
界概率 (0< <1)，确定常数 k ，
P X k ，
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一般地，如果关于总体有两个假设，二者之间有且仅有一个成立，我们往往把其中的一个 称为原假设(或零假设)，用 H0 表示；把另一个称为对立假设(或备择假设)，用 H1 表示.
例 8.1.1 中，设次品率为 p ， H0 ： p 5% ， H1 ： p ≥5% ； 例 8.1.2 中，设抗断强度为 X ， H0 ： X ~ N(, 2) ， H1 ： X 不服从 N(, 2 ) .
将 X 的观测值 x 代入上式，如果 x k ，说明小概率事件在一次试验中发生了，这与 实际推断原理矛盾，因此拒绝 H0 ；如果 x ≤ k ，则接受 H0 . 这个临界概率 称为显著性 水平，一般取为一个较小的数，如 0.01、0.05 等.
以上处理方法的基本思想是“小概率原理”. 所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机 事件在一次试验中是几乎不可能发生的. 在假设 H0 成立的条件下，如果出现了概率很小的事 件，就怀疑 H0 不成立！
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假设检验的基本步骤
综上所述，假设检验的步骤如下： 1. 根据问题的具体要求，提出原假设 H0 ； 2. 根据原假设 H0 ，构造一个适合的检验统计量U ，确定统计量的分布； 3. 给出一个显著性水平 ，根据检验统计量的分布确定拒绝域； 4. 由样本观测值计算检验统计量的值，判断该值是在拒绝域还是在接受域，作出拒绝 H0 或接受 H0 的检验结论.
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当 H0 成立时，统计量
X ~ N(0,1) ， / n
对于 0 ，有
P
X
/
n
u
P
X
2
n
u
2
.
使原假设 H0 得以接受的检验统计量取值的区域称为检验的接受域，使原假设 H0 被拒绝 的检验统计量取值的区域称为检验的拒绝域.
本例中，假定 0.05 ，查表得 u 2 1.96 ，依题意计算
|1.01 0 | 3.19 1.96 ， 1/ 10
故拒绝原假设 H0 ，认为 =0 不成立.
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这里，检验水平 的意义是把概率不超过 的事件当作一次试验中实际不会发生的“小 概率事件”，从而当这样的事件发生时就拒绝原假设 H0 . 但是，在一次试验中，小概率事件并 非一定不发生，只不过其发生的概率不超过 而已. 因此，依据小概率原理进行实际推断可能 会犯错误！在作假设检验时，一般有两种类型的错误：当 H0 成立时，我们拒绝它，这类错误 称为第一类错误，或称“弃真”的错误；当 H0 不成立时，我们接受它，这类错误称为第二类 错误，或称“取伪”的错误. 显然，当 H0 成立时，只有发生了概率不超过 的事件时，我们 才拒绝它，故有犯第一类错误的概率
假设整批产品的次品率低于 5%，然后根据样本情况来检验所作假设的正确性. 例 8.1.2 某种建筑材料，其抗断强度以往一直符合正态分布. 现在改变了配料方案，其 抗断强度是否仍符合正态分布？ 假设其抗断强度仍符合正态分布，然后通过抽取样本来推断上述假设的正确性.
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以上两例的共同特点是：先对总体分布的参数或总体的分布函数作某种假设；然后抽取 样本，利用样本的有关信息，对假设的正确性进行推断. 这种就任何一个总体的未知参数或分 布所作的假设称为统计假设.若总体的分布已知，对总体分布中所包含的未知参数作出的假设 称为参数假设，相应的假设检验为参数检验. 若总体的分布未知，对总体分布函数作出的假设 称为非参数假设，相应的假设检验为非参数检验.
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8.2 参数的假设检验
均均值值的的检验检验
1. 方差已知，均值 的检验( U 检验法)
设样本 X1, X2, , Xn 来自于正态总体 N(, 2 ) ，总体方差 2 已知，检验假设 H0 : 0 . 当 H0 成立时，由于总体 X ~ N(0, 2) ，统计量
2. 由于样本来自总体，反映了总体的分布规律，因此样本中必然包含有未知参数 的信
息. 一般而言，直接从样本推断假设 H0 的正确性是很困难的，还需要对样本进行加工，即构
Baidu Nhomakorabea
造一个适用于检验假设 H0 的统计量，为的是将样本中关于未知参数 的信息集中起来.
由于样本均值 X 是总体均值 的无偏估计量，且 D(X ) 1 D(X ) 1 ，即 X 比样本的每个
8.1 假设检验的基本概念 8.2 参数的假设检验 8.3 分布的假设检验
8.1 假设检验的基本概念
例 8.1.1 某工厂有一批产品，共 10000 件，须经检验后方可出厂. 按规定标准，次品率 不得超过 5%. 现在其中任选 50 件进行检验，发现有次品 4 件. 问这批产品能否出厂？
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例 8.1.3 设总体 X ~ N(,1) ，其中 未知，现在欲检验统计假设 H0 : 0 .
这里只有一个未知参数及一个统计假设，一般将这类检验问题称为显著性检验. 为了检验
H0 的正确性(或真假)，我们需要进行如下工作： 1. 对总体进行一定次数的观测，获得数据，即抽取样本，这里不妨设容量 n =10；
P{拒绝H0 | H0真}≤ ， 就是犯第一类错误的概率上限，因此显著性水平 可以用来控制犯第一类错误的可能性 大小.
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在确定检验法则时，自然希望犯这两类错误的概率越小越好. 但当样本容量固定时，若减 少犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率往往会增大，反之亦然. 若要使犯这两类错误 的概率都减小，唯一的办法是增加样本容量. 一般采取的基本原则是“保一望二”，意思是在 控制 的前提下尽量减小犯第二类错误的概率. 该原则的含义是，原假设要受到维护，使它不 致被轻易否定，若要否定原假设，必须有充分的理由. 若某一小概率事件发生了，检验结果却 是接受原假设，则说明否定它的理由还不充分.
n
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分量 X i 更集中地分布在 的周围；
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3. 若从样本观测值计算得到 X 的观测值 x 1.01，那么该如何判断 H0 的正确性呢？
假定 H0 : 0 成立，则 X 的观测值应在 的附近，否则 X 有偏离 的趋势. 给定一个临
界概率 (0< <1)，确定常数 k ，
P X k ，
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一般地，如果关于总体有两个假设，二者之间有且仅有一个成立，我们往往把其中的一个 称为原假设(或零假设)，用 H0 表示；把另一个称为对立假设(或备择假设)，用 H1 表示.
例 8.1.1 中，设次品率为 p ， H0 ： p 5% ， H1 ： p ≥5% ； 例 8.1.2 中，设抗断强度为 X ， H0 ： X ~ N(, 2) ， H1 ： X 不服从 N(, 2 ) .
将 X 的观测值 x 代入上式，如果 x k ，说明小概率事件在一次试验中发生了，这与 实际推断原理矛盾，因此拒绝 H0 ；如果 x ≤ k ，则接受 H0 . 这个临界概率 称为显著性 水平，一般取为一个较小的数，如 0.01、0.05 等.
以上处理方法的基本思想是“小概率原理”. 所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机 事件在一次试验中是几乎不可能发生的. 在假设 H0 成立的条件下，如果出现了概率很小的事 件，就怀疑 H0 不成立！
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假设检验的基本步骤
综上所述，假设检验的步骤如下： 1. 根据问题的具体要求，提出原假设 H0 ； 2. 根据原假设 H0 ，构造一个适合的检验统计量U ，确定统计量的分布； 3. 给出一个显著性水平 ，根据检验统计量的分布确定拒绝域； 4. 由样本观测值计算检验统计量的值，判断该值是在拒绝域还是在接受域，作出拒绝 H0 或接受 H0 的检验结论.
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当 H0 成立时，统计量
X ~ N(0,1) ， / n
对于 0 ，有
P
X
/
n
u
P
X
2
n
u
2
.
使原假设 H0 得以接受的检验统计量取值的区域称为检验的接受域，使原假设 H0 被拒绝 的检验统计量取值的区域称为检验的拒绝域.
本例中，假定 0.05 ，查表得 u 2 1.96 ，依题意计算
|1.01 0 | 3.19 1.96 ， 1/ 10
故拒绝原假设 H0 ，认为 =0 不成立.
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这里，检验水平 的意义是把概率不超过 的事件当作一次试验中实际不会发生的“小 概率事件”，从而当这样的事件发生时就拒绝原假设 H0 . 但是，在一次试验中，小概率事件并 非一定不发生，只不过其发生的概率不超过 而已. 因此，依据小概率原理进行实际推断可能 会犯错误！在作假设检验时，一般有两种类型的错误：当 H0 成立时，我们拒绝它，这类错误 称为第一类错误，或称“弃真”的错误；当 H0 不成立时，我们接受它，这类错误称为第二类 错误，或称“取伪”的错误. 显然，当 H0 成立时，只有发生了概率不超过 的事件时，我们 才拒绝它，故有犯第一类错误的概率
假设整批产品的次品率低于 5%，然后根据样本情况来检验所作假设的正确性. 例 8.1.2 某种建筑材料，其抗断强度以往一直符合正态分布. 现在改变了配料方案，其 抗断强度是否仍符合正态分布？ 假设其抗断强度仍符合正态分布，然后通过抽取样本来推断上述假设的正确性.
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以上两例的共同特点是：先对总体分布的参数或总体的分布函数作某种假设；然后抽取 样本，利用样本的有关信息，对假设的正确性进行推断. 这种就任何一个总体的未知参数或分 布所作的假设称为统计假设.若总体的分布已知，对总体分布中所包含的未知参数作出的假设 称为参数假设，相应的假设检验为参数检验. 若总体的分布未知，对总体分布函数作出的假设 称为非参数假设，相应的假设检验为非参数检验.
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8.2 参数的假设检验
均均值值的的检验检验
1. 方差已知，均值 的检验( U 检验法)
设样本 X1, X2, , Xn 来自于正态总体 N(, 2 ) ，总体方差 2 已知，检验假设 H0 : 0 . 当 H0 成立时，由于总体 X ~ N(0, 2) ，统计量
2. 由于样本来自总体，反映了总体的分布规律，因此样本中必然包含有未知参数 的信
息. 一般而言，直接从样本推断假设 H0 的正确性是很困难的，还需要对样本进行加工，即构
Baidu Nhomakorabea
造一个适用于检验假设 H0 的统计量，为的是将样本中关于未知参数 的信息集中起来.
由于样本均值 X 是总体均值 的无偏估计量，且 D(X ) 1 D(X ) 1 ，即 X 比样本的每个