数据包络分析法课件

例：
某公司有3个企业，为评价各企业的生产效率，收集到反映其投
入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（
总产值y1、利税总额y2）的有关数据，如下表：
企业
1
2
3
指标
x1（万元）
4
15
27
x2 （万元）
15
4
5
x3 （万元）
8
2
5
y1 （万元）
60
22
24
y2 （万元）
12
6
8
由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的
120
B2
90 60 30
O
3
生产可行集
B1
B4
B3
生产前沿面 包络线
6
9
12
DEA有效
劳动力数
办法来综合投入指标值和产出指标值。
对于企业1，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值 4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系 数。
定义第即1个企业的h生1 产4效v61率0u为115：v12总2u产82v出3 与总投入的比
类似，可知第2、第3个企业的生产效率分别为：
现在，建立评价第 K0 个决策单元相对有效性的C2R模型。 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：
X0 ( x1k0 , x2k0 ,, x pk0 )T , Y0 ( y1k0 , y2k0 ,, yqk0 )T
效率指标 h0=hk0 ,在效率评价指标 hk ≤1(k=1,2,…，n) 的约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得h0 达到 最大值，构造优化模型(分式规划)
点A将曲线分为两部分，在点A之左，y’＞0，y’’＞0，曲线是下凸 的在生产函数的下凸区间，表示增加投入量可以使产出量的递增速度 增加，此时称为规模收益递增，厂商有投资的积极性；
在点A之右，y’＞0，y’’＜0，曲线是上凸的，在此区间，增加投 入量只能使产出量增加的速度减小，此时称为规模收益递减，厂商己 经没有增加投资的积极性。
…
X2n
…
Xp2
…
Xpn
1
2
…
n 决策单元
权重
y11
y12
…
y1n
1
产
y21
y22
…
y2n
2 出 u1
…
…
…
……
项
u2
yq1
yq2
…
yqn
q
目
:
uq
设投入指标和产出指标的权系数向量分别为 V=(v1，v2，…，vp)T ，U=(u1，u2，…，uq)T
对每一个决策单元 k ，定义一个效率评价指标
q
Max h0
U T Y0 VT X0
s.t
.
UT V T
Yk Xk
1,
U ,V 0
(k 1,2,, n)
作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规划模型。
令 t 1 , t V , t U
VT X0
则:
U T Y0 VT X0
t UT
Y0
(t U)T
示例
y
生产函数
0
x
示例
y y1
技术有效√
A
0
x1
x
示例
y y1
技术有效√ 规模有效√
A
0
x1
x
示例
技术有效√
y
规模有效×
y3 C
0
x3
x
示例
y
技术有效× 规模有效×
y2
B
0
x2
x
示例
y
技术有效√ 规模有效×
y2
B' B
0
x2' x2
x
规模收益的判定
(D ) : MinVD k
s.t. X k k S X 0 k 1 n Yk k S Y0 k 1
k 0, k 1,2,, n; S , S 0
设线性规划（D）的最优解为 0、s0-、s0+、0
①
若
1
0
n
0 k
k 1
1,
则决策单元
k0 规模收益不变；
②
若
1
0
n
0k
k 1
1,
则决策单元
k0 规模收益递增；
③
若
1
0
n
0 k
k 1
1,
则决策单元
k0 规模收益递减。
土地面积 （m2）
analysis,DEA）的方法，用于评价相同部门间的相
对有效性（因此被称为DEA有效）。他们的第一个
模型被命名为C2R模型.
1985年由A. Charnes、W. W. Cooper、B. Golany、L. Seiford和J. Stutz给出
另一个DEA模型，称为C2GS2模型，用来研究生产部门的“技术有效性”。
1
h2
22 u1 6 u 2 15 v1 4 v2 2 v3
1
h3
24 u1 8 u2 27 v1 5 v2 4v3
1
限定所有hj值不超过1，即 max h j， 1若第k个企业hk=1， 则该企业相对于其他企业来说生产率最高，若hk<1，那 么该企业相对于其他企业，生产效率还有待于提高。
uq vp
yqk x pk
1,
i1 u j , vi
0,
j
1,2,, q;i
1,2,,
p
(k 1,2,, n)
模型含义：以权系数vi,uj为变量，以所有决策单元的效率
指标h0为约束，以第k0个决策单元的效率指数为目标，评 价第k0个决策单元的生产效率是否有效。
记 Xk ( x1k , x2k ,, x pk )T , Yk ( y1k , y2k ,, yqk )T , 则有矩阵形式(P)
j 为第j家小额贷款公司被赋予的权重，
S S 为松弛变量向量;
评价DMU的DEA有效性
设模型（D）的最优解为 0、s0-、s0+、0 ，分三种情况： ① 0 = 1，且 s0- = 0、s0+ = 0 ：决策单元k0为DEA有效。
其经济意义是：决策单元k0的生产活动(X0,Y0)同时为技术有 效和规模有效。
设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j
3
个企业投入的综合值为 v，i x产ij 出的综合值为 i 1
2
u
r
y rj
r 1
2
其生产效率定义为:
hj
u
r
y rj
r 1
3wenku.baidu.com
vi xij
i 1
问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个 企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其 他企业来说不可能更高的相对效率评价值。
Y0
T
Y0
U T Yk t U T Yk (t U )T Yk T Yk 1, V T X k t V T X k (t V )T X k T X k
即 T X k T Yk 0
T
X0
(t V )T
X0
t V T
X0
VT
VT
X0 X0
1
(P) : MaxVp T Y0
DEA有效性的经济意义
y
y=f(x)
•C(5,3.5)
• A(2,2) •
B(4,1)
o
x
生产函数 y=f(x):生产函数Y=f(X）表示在生产处于最好
的理想状态时，当投入量为X,所能获得的最大输出.因此, 生产函数图象上的点对应的决策单元,从生产函数的角度看, 是处于“技术有效”的状态.一般来说生产函数的图象如 下:A、C处于技术有效状态。
h2
15
22 u1 6u2 v1 4 v2 2
v3
h3
24 u1 8u2 27 v1 5v2 4v3
因此，建立第1个企业的生产效率的优化模型如下：
max
h1
60 u1 12 u2 4 v1 15 v2 8 v3
即
h1
60 u1 12 u 2 4 v1 15 v2 8 v3
………………………………
( xp1 1 xpn n ) xpk0 y11 1 y1n n y1k0
………………………
yq1 1 yqn n yqk0
k 0, k 1,2,, n;为自由变量
为了方便计算，我们引入引入剩余变量和松弛变量
S
(
s1
,
s2
,,
s
p
)T
、
S
(s1 , s2 ,, sq )T ,
将不等式约束化为等式约束，得
(D) : MinVD
k
s.t .
X k k S X 0
k 1
n
Yk k S Y0
k 1
k 0, k 1,2,, n; S , S 0
X K 表示第K家小额贷款公司的投入指标向量，
YK 表示第j家小额贷款公司产出指标向量，
hk
u1 y1k v1 x1k
uq vp
yqk x pk
u j y jk
j 1
p
vi xik
,
i 1
k 1,2,, n
即：效率指标 hk等于产出加权之和除以投入加权之和，表示 第 k 个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的效率。 可以适当地选择权系数 U、V，使得 hk≤1。(为什么?)
所谓技术有效，是指对于生产活动(X0,Y0)，从技术角度来看， 资源获得了充分利用，投入要素达到最佳组合，取得了最大 的产出效果，效率评价指标h0=Vp=VD=0 = 1 。
② 0 = 1，但至少有某个 si0-＞0 或者至少有某个sj0+＞0：决策 单元k0为弱DEA有效。
含义：决策单元k0不同时是技术有效和规模有效。 若某个si0-＞0，表示第i种投入指标有si0-没有充分利用； 若某个sj0+＞0，表示第j种产出指标与最大产出值尚有 sj0+ 的不足。
C
C
R
DEA方法的特点：
➢ 在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势； ➢ 应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理； ➢ 权重的确定以决策单元输入输出的实际数据求得，排除了
很多主观因素，具有很强的客观性； ➢ DEA方法假定每个输入、输出之间确实存在某种联系，但
不必确定这种关系的显示表达式。 ➢ DEA方法所要求的样本量较少。
点A是生产函数曲线的拐点，点A所对应的决策单元，既是技术有效， 也是规模有效。这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不 是最佳生产规模。
点C在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规模有效 。这是由于点C位于规模收益递减区间。
点B不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点B所对应的 决策单元既不是技术有效，也不是规模有效。
s.t .
T
T
Xk X0
T 1
Yk
0,
, 0
(k 1,2,, n)
展开可写为：
MaxVP y1k0 1 y 2k0 2 yqk0 q
s.t. ( x11 1 x p1 p ) ( y11 1 yq1 q ) 0
………………………………………………
二、DEA的基本原理及模型
决策单元(DMU)：指具有相同类型的部门、企业或者同一企 业的不同时期等。 投入指标：指DMU在经济活动中需要耗费的经济量，如固定 资产、流动资金、职工人数、占用土地等。 产出指标：指DMU的经济活动产生的成效，如销售收入、利 税、产品数量、利润等。 指标数据：是指投入、产出指标的实际观测结果。 DEA方法就是评价多指标投入、多指标产出决策单元相对有 效性的多目标决策方法。
C2R模型及其基本性质
设：n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相 同的 p项投入（输入）（i = 1，2，…，p），q项产出（输 出） （r = 1，2，…，q ）
权重 v1 v2 : : vp
决策单元
1
投
1 X11
入
2 X21
项
…
…
目
p…
Xp1
2
…
n
X12 X22
…
…
X1n
( x1n 1 x pn p ) ( y1n 1 yqn q ) 0 x1k0 1 x pk0 p 1
i , j 0, i 1,2,, p; j 1,2,, q
其对偶规划为：
MinVD
s.t. ( x11 1 x1n n ) x1k0
q
Max h0
u j y jk0
j 1
p
vi xik0
u1 y1k0 v1 x1k0
u2 y2k0 v2 x2k0
uq yqk0 v p x pk0
i 1
q
u j y jk
s.t.
j 1 p
vi
x ik
u1 v1
y1k x1k
u2 y2k v2 x2k
主要内容
➢ DEA方法简介 ➢ DEA基本原理与模型 ➢ DEA的软件实现
引子
➢ 如何评价微型金融机构的绩效/效率？
一、DEA方法简介
1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯),
W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出
了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment
③ 0＜1：决策单元k0不是DEA有效。
含义：决策单元 k0的生产活动既不是技术效率最佳,也不是规模收益最佳。
DEA有效性的经济意义
技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该决策单元位于
生产函数的曲线上。
规模有效：指投入量既不偏大，也不过小，是介于规模收入
收益由递增到递减之间的状态，即处于规模收益 不变的状态。