浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)【名校笔记+课后习题+考研真题】第12章 随机过程及其统计描述

第12章随机过程及其统计描述

12.1复习笔记

一、随机过程的统计描述

1．随机过程的数字特征

（1）随机过程的数字特征（见表12-1-1）

表12-1-1随机过程的数字特征

（2）数字特征之间的关系

①2()(,)

X X t R t t ψ=②121212(,)(,)()()

X X X X C t t R t t t t μμ=-③当12t t t ==时，22()

(,)(,)()X X X X t C t t R t t t σμ==-2．二维随机过程的分布函数和数字特征

（1）相互独立

∀n ，m ∈N ＋，∀1212,,,,',',,'n m t t t T t t t T ∈∈ ，n 维随机变量12((),(),,())n X t X t X t 与m 维随机变量12(('),('),,('))m Y t Y t Y t 相互独立，则X（t）和Y（t）是相互独立的。

（2）二维随机过程的数字特征

①二阶混合原点矩（互相关函数）

121212(,)[()()],,XY R t t E X t Y t t t T

=∈②互协方差函数

121122121212(,){[()()][()()]}

(,)()(),,XY X Y XY X Y C t t E X t t Y t t R t t t t t t T

μμμμ=--=-∈12,t t T ∀∈恒有12(,)0XY C t t =⇒随机过程X（t）和Y（t）是不相关的。

③三个随机过程X（t），Y（t）和Z（t）之和的情形

()()()()

W t X t Y t Z t =++()()()()

W X Y Z t t t t μμμμ=++1212121212121212121212(,)[()()]

(,)(,)(,)(,)(,)

(,)(,)(,)(,)

WW XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ R t t E W t W t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R t t ==++++++++二、泊松过程及维纳过程

1．独立增量过程

（1）独立增量过程的性质

若{X（t），t≥0}是独立增量过程，且X（0）＝0，则：

①X（t）的有限维分布函数族可以由X（t）－X（s）（0≤s＜t）的分布所确定。②设D X （t）已知，则(,)(min{,})

X X C s t D s t =

2．泊松过程

（1）定义一

若N（t）满足如下条件：

①在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

②对于充分小的△t

1(,){(,)1

}()P t t t P N t t t t o t λ+∆=+∆==∆+∆其中λ＞0称为N（t）的强度，o（△t）为△t→0时△t 的高阶无穷小；

③对于充分小的△t

22(,){(,)}()

j j j P t t t P N t t t j o t +∞+∞

==+∆=+∆==∆∑∑④N（0）＝0。

则计数过程{N（t），t≥0}称为强度为λ的泊松过程。

（2）定义二

若计数过程{N（t），t≥0}满足下列三个条件：

①是独立增量过程；

②∀t＞t 0≥0，N（t）－N（t 0）～π（λ（t－t 0））；

③N（0）＝0，

则称{N（t），t≥0}是一强度为λ的泊松过程。

（3）定理

①定理一

强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且共同服从同一个指数分布。

②定理二

如果任意连续出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布，则质点流构成了强度为λ的泊松过程。

3．维纳过程

（1）定义

给定二阶矩过程{W（t），t≥0}，如果它满足

①具有独立增量；

②∀t＞s≥0，2

()()~(0,())W t W s N t s σ--，且0σ>；③W（0）＝0，

则称此过程为维纳过程。

（2）性质

①维纳过程是齐次（时齐）的独立增量过程；

②维纳过程是正态过程，其分布完全由均值函数和自协方差函数确定。

（3）维纳过程的数字特征

①均值

[()]0

E W t =②方差函数

2()W D t t

σ=③自协方差函数（自相关函数）

2(,)(,)min{,},,0

W W C s t R s t s t s t σ==≥

12.2课后习题详解

1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程

cos ,,()2,

,t H X t t t T π⎧=-∞<<+∞

⎨⎩出现出现假设P（H）＝P（T）＝1/2，试确定X（t）的

（1）一维分布函数F（x；1/2），F（x；1）；

（2）二维分布函数F（x 1，x 2；1/2，1）。

解：（1）由X（t）的定义0,121,H X T

⎧⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎩出现出现

这一离散型随机变量的分布律为表12-2-1其分布函数为

0,011;,01221,

1x F x x x <⎧⎪⎪⎛⎫=≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪≥⎪⎩同理

()1,12,H X T

-⎧=⎨⎩出现出现其分布律为

表12-2-2