结构优化设计理论基础精讲
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2
g1 (x)
g1 (x) 0
g1 (x) 0
P
f (x)
最优点 x* ， f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间， * 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示。
*
(1) f (x) j g j (x)
可行域 hk (x) 0 (k 1, , m) x g ( x ) 0 ( j 1, , n ) j
f ( x) 0
x* f ( x)
f ( x) 0
x* f ( x)
x* R N f (x* ) min f ( x) *
f (x)
2 g 2 (x) 0
夹角；
2
P
f (x)
g 2 (x)
P
g1 (x) 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角；
f (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
P
（三）凸规划 1. 定义
如果可行域 为凸集，而且目标函数 f (x) 在 上为凸函数，则 称为凸规划问题。
2. 定理
凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题
的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
g1 (x) 0
x
*
f (x(0) ) x ( k ) g 2 (x) 0 x (0)
f (x( k ) )
x1
搜索方向满足； f (x)
P 0 ，即； f (x)T P 0 f (x)T 与 P 夹角；
T
2
g 2 (x)
f (x) ci
x
最优点 最优函数值
x*
f ( x) 0
第二章
源自文库
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
若 x* 是问题的极小点，如果不等式 f (x) f (x* ) 对于所有的
x 均成立，则称 x*为全局极小点或全局最优解。
2. 局部最优解
* 如果存在 x* 的某个邻域 (x ) ，使得不等式 f (x) f (x* ) 对于任意 的 x* (x* ) 都成立，则称点 x* 为问题的局部极小点或局部最优 解（简称局优解）。
f (x( ) ) f (x(1) ) [ f (x(2) ) f (x(1) )] ，则称 f (x) 为一个凸函数。
2. 几何意义
凸函数：弦在弧上 凹函数：弦在弧下
f ( x)
f ( x)
x
(1)
x
( )
x
(2)
x
x
(1)
x
( )
x
(2)
x
第二章
（二）凸函数
基 础 知 识
3. 判别方法
Y
X Y
X Y
cos 1, 180o
cos 1, 0o
第二章
基 础 知 识
“内积”的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度与方向导数关系
第二章
基 础 知 识
需要考虑的约束条件
梯度条件只考虑起作用的约束
不考虑考虑起作用的约束
第二章
3）非负条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
4）起作用约束线性无关条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2. 性质
• 任意多个凸集的交集是凸集
x
(1)
x ( )
• 两个凸集的代数和是凸集
• 凸集的数乘是凸集 • 凸集的闭包是凸集
凸集
x
(2)
x
(1)
x ( )
非凸集
x (2)
第二章
（二）凸函数 1. 定义
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 有
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
X Y
X Y cos
X
X
180o
90
o
Y
Y
Y
Y
X
X
0o
X X
Y
Y
X Y 0
cos 0 , 90o
X Y X
x R
最优点
最优函数值
f ( x)
f ( x) 0
x*
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
f ( x)
2. 有约束最优解
Find x R N 有约束 min f (x) 优化问题 s.t. hk (x) 0 (k 1, , m) g j (x) 0 ( j 1, , n)
基 础 知 识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识 2.2 函数的极值与凸性
2.3 无约束极值问题的最优性条件
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.6 一般约束极值问题的最优性条件 2.7 Lagrange乘子的物理意义 2.8 结构优化设计的数值计算算法
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
不等式约束优化问题
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
1）不等式约束的等式约束化
2 f H f ( x) f ( x) x x i j N N
2
第二章
4. 性质
基 础 知 识
（二）凸函数
2.1 数学预备知识
① 凸函数的非负线性组合仍为凸函数。 ② 实值凸函数的非减函数仍为凸函数。
③如果所有约束函数 g j (x)均为在 R N上的凸函数，则 R N 中满足 g j (x) 0 的子集 为凸集。
2.1 数学预备知识
判别① 设 D R N 为非空开凸集， f (x) 在 D 上可微且连续，则 f (x) 为 D 上 凸函数的充分必要条件是：x(1) , x(2) ，恒有
f (x(2) ) f (x(1) ) f (x(1) )T (x(2) x(1) )
判别② 若函数 f (x) 在凸集 D R N 上存在二阶导数并连续时，f (x) 为 D 上 凸函数的充分必要条件为海赛矩阵 H f (x) 半正定。
3
g
2
-7 -5 -3 -1
f
1 1
A
x2
0
-1
B
-2
f
-1
g
-5 -7 -3
-3
1 -4 -4
-3
-2
-1
0 x1
1
2
3
4
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.2 函数的极值与凸性
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
一、无约束最优解与有约束最优解
1. 无约束最优解
无约束 优化问题
Find x R N min f (x)
x* R N f (x* ) min f ( x) * N
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
x0
x0 x
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
3. 严格极小点
如果在上述情况下，不等式处处严格成立，则称 x* 为严格全局极小 点或严格局部极小点。
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
2. 局部最优解
3. 严格极小点
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
三、函数的凸性
（一）凸集
1. 定义
设集合 R N ，如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 仍然有 x( ) ，则称 为一个凸集。
m
( j 1,2,, m)
(4) j 0
j 1
起作用的约束经过最优点 ， g j (x) 0 , j 0
(3) j g j (x) 0
最优点满足所有的约束条件，
g 2 (x) 0
g 2 (x)
(2) g j (x) 0
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
K-K-T条件的几何意义
x2
x ( 0 ) 处没有起作用的约束（可行域内部 g (x) 0 没有约束限制） x ( k ) 处起作用的约束 g2 (x) 0
j
x*
处起作用的约束 g1 (x) 0, g 2 (x) 0
f (x) ci
等式约束优化问题
无约束优化问题
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
3）L(.)在点处无约束条件极值的必要条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
4）不等式约束极值问题的最优性条件推导
（1）松弛互补条件与约束条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
松弛互补条件与约束条件
=0 等价
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2）梯度条件与需要考虑的约束
L f ( x) j 0, j 0, 0 x j x j j 0, g j 0
起不起作用的约束
第二章
梯度条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
L(x, λ) f (x) j g j (x)
j 1
m
K-K-T条件
（梯度条件） （约束条件） （松弛互补条件） （非负条件） （正则条件或约束规格）
g j ( x) 0
j g j ( x) 0 j 0
g j (x)线性无关 ( j 1,2,, m)
第二章
g j ( x) 0; 0
g j ( x) 0; 0
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2)构造Lagrange函数（约束优化问题的无约束化） 不等式约束优化问题
min f ( x ) 2 s . t g ( x ) j j 0
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
K-K-T条件的几何意义
min f (x) s.t g j (x) 0 ( j 1,2,, m)
(1) (2) (3) (4) (5) f ( x ) j g j ( x ) 0
j 1 m
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
Constrained Optimum Point 4
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
x s，
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
f ( X ) k hk ( X )
k 1
l
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
1h1
f ( X )
2 h2
g1 (x)
g1 (x) 0
g1 (x) 0
P
f (x)
最优点 x* ， f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间， * 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示。
*
(1) f (x) j g j (x)
可行域 hk (x) 0 (k 1, , m) x g ( x ) 0 ( j 1, , n ) j
f ( x) 0
x* f ( x)
f ( x) 0
x* f ( x)
x* R N f (x* ) min f ( x) *
f (x)
2 g 2 (x) 0
夹角；
2
P
f (x)
g 2 (x)
P
g1 (x) 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角；
f (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
P
（三）凸规划 1. 定义
如果可行域 为凸集，而且目标函数 f (x) 在 上为凸函数，则 称为凸规划问题。
2. 定理
凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题
的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
g1 (x) 0
x
*
f (x(0) ) x ( k ) g 2 (x) 0 x (0)
f (x( k ) )
x1
搜索方向满足； f (x)
P 0 ，即； f (x)T P 0 f (x)T 与 P 夹角；
T
2
g 2 (x)
f (x) ci
x
最优点 最优函数值
x*
f ( x) 0
第二章
源自文库
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
若 x* 是问题的极小点，如果不等式 f (x) f (x* ) 对于所有的
x 均成立，则称 x*为全局极小点或全局最优解。
2. 局部最优解
* 如果存在 x* 的某个邻域 (x ) ，使得不等式 f (x) f (x* ) 对于任意 的 x* (x* ) 都成立，则称点 x* 为问题的局部极小点或局部最优 解（简称局优解）。
f (x( ) ) f (x(1) ) [ f (x(2) ) f (x(1) )] ，则称 f (x) 为一个凸函数。
2. 几何意义
凸函数：弦在弧上 凹函数：弦在弧下
f ( x)
f ( x)
x
(1)
x
( )
x
(2)
x
x
(1)
x
( )
x
(2)
x
第二章
（二）凸函数
基 础 知 识
3. 判别方法
Y
X Y
X Y
cos 1, 180o
cos 1, 0o
第二章
基 础 知 识
“内积”的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度与方向导数关系
第二章
基 础 知 识
需要考虑的约束条件
梯度条件只考虑起作用的约束
不考虑考虑起作用的约束
第二章
3）非负条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
4）起作用约束线性无关条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2. 性质
• 任意多个凸集的交集是凸集
x
(1)
x ( )
• 两个凸集的代数和是凸集
• 凸集的数乘是凸集 • 凸集的闭包是凸集
凸集
x
(2)
x
(1)
x ( )
非凸集
x (2)
第二章
（二）凸函数 1. 定义
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 有
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
X Y
X Y cos
X
X
180o
90
o
Y
Y
Y
Y
X
X
0o
X X
Y
Y
X Y 0
cos 0 , 90o
X Y X
x R
最优点
最优函数值
f ( x)
f ( x) 0
x*
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
f ( x)
2. 有约束最优解
Find x R N 有约束 min f (x) 优化问题 s.t. hk (x) 0 (k 1, , m) g j (x) 0 ( j 1, , n)
基 础 知 识
第二章
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2.1 数学预备知识 2.2 函数的极值与凸性
2.3 无约束极值问题的最优性条件
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.6 一般约束极值问题的最优性条件 2.7 Lagrange乘子的物理意义 2.8 结构优化设计的数值计算算法
第二章
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2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
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2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
不等式约束优化问题
第二章
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2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
1）不等式约束的等式约束化
2 f H f ( x) f ( x) x x i j N N
2
第二章
4. 性质
基 础 知 识
（二）凸函数
2.1 数学预备知识
① 凸函数的非负线性组合仍为凸函数。 ② 实值凸函数的非减函数仍为凸函数。
③如果所有约束函数 g j (x)均为在 R N上的凸函数，则 R N 中满足 g j (x) 0 的子集 为凸集。
2.1 数学预备知识
判别① 设 D R N 为非空开凸集， f (x) 在 D 上可微且连续，则 f (x) 为 D 上 凸函数的充分必要条件是：x(1) , x(2) ，恒有
f (x(2) ) f (x(1) ) f (x(1) )T (x(2) x(1) )
判别② 若函数 f (x) 在凸集 D R N 上存在二阶导数并连续时，f (x) 为 D 上 凸函数的充分必要条件为海赛矩阵 H f (x) 半正定。
3
g
2
-7 -5 -3 -1
f
1 1
A
x2
0
-1
B
-2
f
-1
g
-5 -7 -3
-3
1 -4 -4
-3
-2
-1
0 x1
1
2
3
4
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
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2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.2 函数的极值与凸性
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
一、无约束最优解与有约束最优解
1. 无约束最优解
无约束 优化问题
Find x R N min f (x)
x* R N f (x* ) min f ( x) * N
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
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2.1 数学预备知识
第二章
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2.1 数学预备知识
x0
x0 x
第二章
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2.1 数学预备知识
第二章
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2.1 数学预备知识
3. 严格极小点
如果在上述情况下，不等式处处严格成立，则称 x* 为严格全局极小 点或严格局部极小点。
第二章
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2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
2. 局部最优解
3. 严格极小点
第二章
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2.1 数学预备知识
三、函数的凸性
（一）凸集
1. 定义
设集合 R N ，如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 仍然有 x( ) ，则称 为一个凸集。
m
( j 1,2,, m)
(4) j 0
j 1
起作用的约束经过最优点 ， g j (x) 0 , j 0
(3) j g j (x) 0
最优点满足所有的约束条件，
g 2 (x) 0
g 2 (x)
(2) g j (x) 0
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
K-K-T条件的几何意义
x2
x ( 0 ) 处没有起作用的约束（可行域内部 g (x) 0 没有约束限制） x ( k ) 处起作用的约束 g2 (x) 0
j
x*
处起作用的约束 g1 (x) 0, g 2 (x) 0
f (x) ci
等式约束优化问题
无约束优化问题
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
3）L(.)在点处无约束条件极值的必要条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
4）不等式约束极值问题的最优性条件推导
（1）松弛互补条件与约束条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
松弛互补条件与约束条件
=0 等价
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2）梯度条件与需要考虑的约束
L f ( x) j 0, j 0, 0 x j x j j 0, g j 0
起不起作用的约束
第二章
梯度条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
L(x, λ) f (x) j g j (x)
j 1
m
K-K-T条件
（梯度条件） （约束条件） （松弛互补条件） （非负条件） （正则条件或约束规格）
g j ( x) 0
j g j ( x) 0 j 0
g j (x)线性无关 ( j 1,2,, m)
第二章
g j ( x) 0; 0
g j ( x) 0; 0
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2)构造Lagrange函数（约束优化问题的无约束化） 不等式约束优化问题
min f ( x ) 2 s . t g ( x ) j j 0
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
K-K-T条件的几何意义
min f (x) s.t g j (x) 0 ( j 1,2,, m)
(1) (2) (3) (4) (5) f ( x ) j g j ( x ) 0
j 1 m
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
Constrained Optimum Point 4
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
x s，
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
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2.4 等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
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2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.4 等式约束极值问题的最优性条件
f ( X ) k hk ( X )
k 1
l
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2.4 等式约束极值问题的最优性条件
1h1
f ( X )
2 h2