4单相正弦交流电路(电路基础冯澜版本)

相量：用复数中向量表示的正弦量
相量式：表示正弦量的复数式，复数的模表示正弦量的 最大值或有效值，用复数的幅角表示正弦量的初相位。
正弦量的瞬时式直接对应相量式的极坐标形式。
•
有效值相量式： I I∠ i
•
U U∠ u
相量图：在复平面上作有向线段表示正弦量，按比例画
出各正弦电流或电压的大小（相量模）、方向（相量幅
4.1.2正弦量三要素
1.描述正弦量变化快慢的要素 周期：正弦量变化一次所需的时间（秒，s） 频率：每秒内变化的次数（赫兹，Hz） （工频：中国50 Hz，美、日等国60Hz）
1 f=
T
角频率：变化一次对应2π弧度（弧度/秒，rad/s）
2π ω = 2πf =
T
2.描述正弦量大小的要素 有效值：一个交流电流 i 和一个直流电流 I 分别通过相 同的电阻，在相同时间内产生相同的热量，则该直流电 流值 I 就作为交流电流的有效值。 大写字母表示正弦量的有效值I、U
第四章 单相正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
4.1正弦电路概论 4.1.1正弦电路的基本概念
正弦量：大小和方向按正弦规律变化的周期性交流量 正弦电路：所有激励都是同频率的正弦量、电路中的 全部响应（电压、电流）也是与激励同频率的正弦量。 正弦量的瞬时式（解析式）：
i I msin(t i )A u U msin(t u )V
U L
角形
U
U C
U
U
R
L
UIC
U=
U
2 R
+
U
2 X
UX = UL -UC
2.R、L、C串联谐振
X L = X CBaidu Nhomakorabea电路呈电阻性
（1）谐振频率：ω0 =
1 LC
1 f 0 = 2π LC
（2）特性阻抗：
L
ρ=
C
（3）品质因数： ρ 1 L QP = R = R C
（4）电路特点：
复阻抗模最小，谐振电流最大
角）
相量法：应用复数知识分析计算正弦电路的方法
（1）只有同频率的正弦量才能进行相量的四则运算或画 在同一个相量图上。
（2）相对应的瞬时量与相量、瞬时式与相量式之间不能 列等式。
4.3 R、L、C 单一参数电路
1.电阻元件伏安关系的相量形式
根据：u = iR
u= 推导：
2Usin(ωt + ψu ) =
=
电阻R、电抗X
阻抗角
R≠0，X=0
=0
R=0，X>0 R≠0，X>0 R=0，X<0 R≠0，X<0
=90° >0° =﹣90° <0°
R2 + X 2∠arctan X R
电路/阻抗性质 纯电阻 纯电感 电感性 纯电容 电容性
阻抗三角形和电压三角形:
阻抗三
角形
相
Z
似
X XL XC
R
电压三
相
i1
位
滞 后
1
2
i2
1 2 0
t i1 滞后于 i2
4.2 复习基础和相量法
4.2.1复数基础 1．复数的表示方法 （1）向量图：
复平面上有向线段OA（向量）
（2）代数式： A a jb
a是向量在实轴上的投影 b是向量在虚轴上的投影
（3）极坐标式： A r
r为复数的模（向量的长度） ψ为复数的辐角（向量与正实轴的夹角）
最大值、有效值关系：
I m = 2I U m = 2U
注：交流电气设备铭牌上注明的电压和电流额定值、 电磁系电压表和电流表的测量值都是指有效值。
3.描述正弦量初始位置的要素 相位角：ωt+ψ 初相位：t=0时的相位角ψ （度°、弧度rad） 初相位ψ的确定：将波形在[-π，π]区间且处于上升沿时 与横轴的交点定为初始点，求得该初始点对应的角度即 ψ；初始点在负半轴时ψ取正值，初始点在正半轴时ψ取 负值。
2．复数的四则运算
（1）加减运算（适宜代数式）
A1 + A2 = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 ) A1－A2 = (a1－a2 ) + j(b1－b2 )
（2）乘除运算（适宜极坐标式）
A1 A2 = r1r2∠(ψ1 + ψ2 )
A1 A2
=
r1 r2
∠(ψ1－ψ
2
)
3．复数的形式转换
（1）代数式转换为极坐标式
若 A a jb ，得 A
a2 b2 arctan b
（2）极坐标式转换为代数式
a
若 A r ，得 A r cos jr sin
4.2.2相量法 正弦量瞬时值用旋转向量在纵轴上的投影来表示
向量长度 =最大值 向量与横轴夹角 = 初相位
ω 向量以角速度 按逆时针方向旋转
+
•
I（-
jX
）
C
[ ] • •
U = I R + j( X L - X C )
电压三角形
U
U R
I = I∠0°
先画参考
正弦量
定义：复阻抗 Z (Ω)
（1）代数式: Z = R + jX 电抗：X = X L - X C
（2）极坐标式: Z = Z ∠φZ
•
Z
U =•
I
=
U I
∠ψu
- ψi
或
Z
2Isin(ωt + ψi )×R
= 2IRsin(ωt + ψi )
得： U = IR ψu = ψi
电阻元件伏安关系的相量式：
•
U
=
•
I
R
2.电感元件伏安关系的相量形式
根据：u = L di dt u
推导：
2Usin(t u ) L d[
2Isin(t i )]
dt
2Lcos(t i ) 2LIsin(t i 90)
定义：容抗
XC
1
C
得：U = IX C
ψu = ψi﹣90°
电容元件伏安关系的相量式：U•
=
•
I（-
j 1 ）= ωC
•
I（-
jX
）
C
4.4 R、L、C 串联电路及串联谐振
1.R、L、C串联电路
U L
U L UC
•
•
•
•
根据：U = U R +U L +U C
U C
推导：
•
U
=
•
I
R
+
•
I
jX L
定义：感抗 X L = ωL 得： U = IX L ψu = ψi + 90°
电感元件伏安关系的相量式：
•
U
=
•
I
jωL
=
•
I
jX L
3.电容元件伏安关系的相量形式
du
根据：i = C
dt 推导：i =
d[ 2Isin(ωt + ψi ) = C
2Usin(ωt + ψu )] dt
= 2ωCUcos(ωt + ψu ) = 2ωCUsin(ωt + ψu + 90°)
参考正弦量：ψ=0的正弦量
相位差 ：两个同频率正弦量的初相位之差 12 1 2
相位关系：超前、滞后、同相、正交、反相
注：常规 Ψ、φ 的角度需在[－π，π]区间内
正弦量相位关系举例
同
相 2
1
i2
1 2
1 2 0
i1
t i1与 i2 同相
相
i2
位
超 前
1 2
i1
1 2 0
t i1 超前于 i2