有限元分析—空间问题简介 PPT

wNiwi Njwj Nmwm
o
m(r z) mm
urm
N i2 1 A(aibirciz) i,j,m 轮 换
u ri i(r z)
ii
r
5-1 轴对称问题
r
bi 0 bj 0 bm 0uri
应变矩阵
{}rzz21Ac0fii
0 ci bi
fj 0 cj
0 cj bj
fm 0 cm
bc0m mw wM m i
有限元分析及应用
Finite Element Analysis andApplication
TEL：4 MP: Email:
College of Mechanical Engineering Yangzhou University
有限元分析及应用
第 5 章 空间问题简介
• 5.1 轴对称问题 • 5.1.1基本概念、基本方程 • 5.1.2节点位移与节点载荷 • 5.1.3单元刚度矩阵 • 5.1.4单元刚度矩阵的叠加 • 5.1.5边界条件 • 5.1.6工程实例
x
柱坐标系
z
p
(r, , z)
5-1 轴对称问题
基本方程
位移分量{urw }T Q u=0
应力分量{}{r z rz}T
应变分量 {}{r z rz}T
= { u r ru rr w z u r z w r } T
虚功方程
2
Q d 2 则 { * } T { F } 2 { * } T { } R rd rd z
2.位移函数
线性位移函数
u(x, y,z) a1 a2xa3ya4z v(x,y,z)a5 a6xa7ya8z w(x, y,z)a9 a10xa11ya12z
5-3 四面体单元
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式
u v ( (x x ,,y y ,,z z ) ) N 0 1 N 0 1 0 0N 0 2 N 0 2 0 0N 0 3 N 0 3 0 0N 0 4 N 0 4 0 0 u M 1 w (x ,y ,z) 0 0N 1 0 0N 2 0 0N 3 0 0N 4 w 4
= B i B j B m e [ B ]e
其 故中[B]的fi元素a r不i 是b常i量cri，z与平i,j面,m 三轮 角换 形为单r元的有函区数别，。
当r
0时，f不存在，即奇异，需近似处理。
刚度矩阵
K 6 e 62 B T[D ][B ]rdrdz
5-1 轴对称问题
轴对称单元的特点 （与平面三角形单元的区别）
N i ( 1 )i 16 1 V (a i b ix c iy d iz )i 1 ,2 ,3 ,4
1 x1 y1 z1
其中
1 6V
x2
y2
z2
1 x3 y3 z3
1 x4 y4 z4
x2 y2 z2 a1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
这些系数为四面体体积 V各行各元素的代数余子式
1 x2 y2 d1 1 x3 y3
10
5-2 空间问题有限元法
• 基本方程
u
x
x
y
z xy
u
v y
w z
y v
x
yz
z x
v
z
w
y
u
z
w
x
D
x
y
z xy
yz
z x
5-3 四面体单元
1.单元类型：
四面体单元节点位移向量
e u 1v 1w 1u 2v 2w 2u 3v 3w 3u 4v 4w 4 T
0
5-1 轴对称问题
刚度阵的推导：
步骤1：选择单元类型 步骤2：选择位移函数 步骤3：确定应变位移和应力应变关系 步骤4：推导单元刚度阵
5-1 轴对称问题
单元类型：三角形单元
单元位移函数
ur 1 2r 3z w4 5r 6z
利用节线位移，待定系数，
wj
z
j(r z) jj
urj
wi
可得 wm
ur Niuri Njurj Nmurm
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任 意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体，本章简单介绍两类问题：
轴对称问题和空间问题的有限元计算。
空间问题的主要困难： （1）离散化不直观（网格自动生成）； （2）未知量的数目剧增（对某些问题简化,轴对称问题）。
空间分析的优点： 精确。
1 x4 y4
1 y2 z2 b1 1 y3 z3
1 y4 z4
1 x2 z2 c1 1 x3 z3
1 x4 z4
5-3 四面体单元
3.应变矩阵
u
x
x
y
xzy
v
v y
w z
x u
y
B1
{B2
63
B3
B4 e
{B
e {
612 121
yz
zx
v
z
w y
bi 0 0
wx
u
z
0
ci
0
显然[B]为常量矩阵，故 四面体单元为常应变单 元
其中
Bi
1 6V
0
c
i
0 bi
d 0
i
0
di
c
i
d i 0 b i
5-3 四面体单元
4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度矩阵
keBTDBdV
V
{ke BTDBV
1212
5-4 等参数单元
从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角 形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更 希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的 等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元 （如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函 数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单 元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有 相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助 于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限 元离散。
1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相
连接；
2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
34））单 应元 变边 分界 量 是一回中转出面现；了u r r
，即应变不是
常量；且应变矩阵在r 0 时，存在奇异点，
需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点
坐标。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
5-1 轴对称问题
1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称。 3）约束条件关于轴线对称。
因过z轴的任一子午面都是对称面， 其上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只
与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴
对称问题可转化为二维问题，但因与平 面问题有区别，常称为二维半问题。
• 5.2 空间问题有限元法 • 5.2.1基本方程 • 5.2.2四面体单元 • 5.2.3等参数单元 • 5.2.4空间六面体单元
• 5.3工程实例
第 5 章 空间问题简介
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第五章 空间问题简介