半形式化方法

形式化方法和半形式化方法

扬州职大电大贾湛2007.1.20

古代东西方的文化差异，让东西方走上了不同的路。西方人在求真上的突破，为后来的科学埋下了种子，又为真善美的全面发展下了基础。而我们古代中国则把重点放在求善上，自然因为没有真的帮助，让社会停滞。为什么这么说呢？如果能理解科学方法中非常重要的形式化方法，则我们就知道我们的大脑是怎样被科学开发的了。

形式化指公理系统中所有的概念定义后都用符号表示，推理规则约定后也用符号表示，公理、定律和定理等也完全用符号表示出来。古代人不象现代人懂得思维的规律，这些方法几乎是受逻辑学的影响慢慢地自发产生的。

思维形式化有什么好处呢？现在我们可以解释了，因为我们每个人思维能力都是有限的，打比方说，我们的大脑在推理能力（希望不要理解为综合能力）上讲像是一台很笨的电脑，不仅CPU的时钟频率即在单位时间内的运算次数非常有限，基本字长（参加一次定点运算的操作数的位数）非常短，远远不能与我们现在32位或64位的计算机相比，而且内存也很有限…。这就决定了人们用生活语言难以有深入的推理，西方人由于各种原因在求真上比东方人重视，逐渐明白了这一点，所以一步步将推理形式化，逐步拉开了与东方人的差距。为了理解，我们来看一下数学形式化的发展过程。

古埃及人曾使用一种古老的象形文字作为数字符号：

显然这种方法表示繁琐，古巴比伦人的符号较之简单。用一种特制的硬笔压进湿的粘土板中：

代表1或60或3600，根据具体情况而定

代表10。25=

在3000多年前的殷商时期的甲骨文：

这些符号后来逐渐演变成了“一，二，三，四，……十，百，千，万”等字，但由于这些符号在运算时不方便，到春秋战国时期我们的祖先创造了筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。筹算有

数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。负数出现后，算筹分成红黑两种，红筹表示正数，黑筹表示负数。显然这样的表示方法当时还是较先进的，并且筹算的过程也很巧妙。这让古代的数学不落后于西方。

罗马数字的符号一共只有7个：I （代表1）、V （代表5）、X （代表10）、L （代表50）、C 代表100）、D （代表500）、M （代表1,000）。

如：3=III ；4=IV ；6=VI ；40=XL ；30=XXX ；600=DC ；

在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍，如：15,000=

可见，开始有较多的规则，但数字的表示更加简单些。

现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9公元前3世纪古代印度人最早使用的。"0"符号是公元6世纪的印度人发明。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲。人们称之为阿拉伯数字。

古代人数学语言与生活语言没有什么区别。比如《九章算术》一题这样描述：

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。 用我们现在的数学语言即：6043

254

43

32

21

=+++

可见生活语言的描述让人们数学处理过程很不简捷。隋炀帝大兴土木，王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，可见中国人的智慧确实不差。宋元时期，出现了用天元（相当于x ）作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号。但很明显以后，我们在形式化上就远远落后了。

意大利医生兼数学家卡当1545年在他的《ArsMagra 》中首次出现使用符号的雏形，例如： “3. quad . quad . p .29. quad . p .57 . aqualia36 . pos . p . 74.”

这方程相当于3X 4+29X 2+57=36X+74；

以后，人们陆续用“＋”“－”“×”“×”“÷”等符号来表示运算规则，大大简化了运算。 “＋”：是15世纪德国数学家魏德美所创。在横线上加一竖，表示增加的意思。 “－”：亦是魏德美创造。在加号上减去一竖，表示减少。

“×”：是18世纪美国数学家欧德莱首先使用。乘是增加的另一种表示方法， 所以将“＋”号斜了过来。

“÷”：是18世纪瑞士人哈纳所创。意思是表示分界，所以用一横线把两个点分开。 “＝”：是16世纪英国学者列科尔德发明。

微积分的创始人有两个，一个的牛顿，一个是莱布尼兹。我们现在用的微积分的符号是莱布尼兹发明的。两个伟人各有所长，牛顿的伟大主要是把微积分用到了物理上，为经验科学打下了基础；他用物理上“流量”（自变量）和“流数”流量变化率来讨论微积分。而莱布尼茨从对曲线的切线研究研究微积分的，他引入了dy/dx 和拉长的Ｓ作为微积分符号，显然这样的符号比牛顿的方便。但自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼兹的微积分符号和技巧，致命英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。科学的进步离不开有序性和简单性。在物理学中，往往用对应的英文词汇中第一个字母代表一个物理量，用上标和下标来作用进一步的区分邻近的概念。这种方法被化学等其它科学模仿。 当今的计算机技术离不开数理逻辑。又是莱布尼茨最早认识到，好的符号能大大节省思维劳动，他最早提出整个思维符号化。这种思想影响了布尔，创造了布尔代数即数理逻辑早期的

雏形，把逻辑学形式化。与布尔同时代的英国数学家A.德·摩根，采用符号表示命题中的谓词，使数学中的“关系”，“函数”都可以在逻辑命题中出现，加强了逻辑的表现力。又经过G.弗雷格等数学家的改进，最终建立了公理化的谓词演算，成为数理逻辑的基础。

现代文明与古代文明的显著不同就是，公理化方法和形式化方法的运用大大提高了人的大脑效率。为什么这么说呢？很简单，如果我不用非常压缩的形式化逻辑思维，用生活语言或接近生活语言的表述方式来推理，则每一步都需要严格思考，当问题很复杂时，考虑的因素会很多，推理过程很长，常常人再聪明也没有用。而采取了形式化逻辑思维，则人的思维只要去判断实际问题遵守哪些原理，每个概念对应公式中什么符号，然后象做游戏那样，按规则变化，这样的推理过程越多则难度越大，但计算机技术可以让我们推理很复杂的过程。最后得出有用的结果，再把形式化的结果还原成人们容易理解的正常语言。很明显象四色定理，计算机用了1200个小时，作了100亿判断才证明的东西，如果让原始初民去研究，几亿年也不可能解决。从遗传特质上讲，现代人与古代人没有什么区别，但由于人们学会了思维经济，科学一往无前，所向披靡，让人类认识和改造自然的能力提高到一个空前的高度。事实上直到现在中国人还有许多人不懂这点，还在用含糊的无法形式化的哲学术语，非常不严肃地来讨论科学问题，象黎鸣和姜岩那样，只要有一点相似，就胡乱猜想，并且用这些自己都不确定的猜想来构筑天地人包罗万象的庞大理论，这让我们的科学界如何进步，可以说主要就这个原因，让我们在几百年的积累中，逐渐造成了中西文化的显著鸿沟。

形式化方法让自然科学勇往直前，然而在哲学和社会科学方面的形式化却蹒跚不前。并不是人们没有努力过，罗素，维特根斯坦等人开创了分析学派试图尽可能地用形式化讨论所有问题，以求象自然科学一样准确的描述事物，但是却陷入艰难的困境。人们发现，人类的自然语言描述思想和生活时总是朦胧的，一团迷雾。比如，在道德领域，性善论和性恶论的长久论争没有答案。斯宾诺沙用形式化的方法讨论论理，结果很不理想。康德慨叹头上的星空和心中的道德律之神秘伟大，所以提出道德是绝对命令。又比如法律的形式化，是从有了成文法那一天就开始的。然而，法律要面对伦理道德，而伦理概念几乎都是十分模糊，没办法形式化。因此而形成两系列，即逻辑判断为主的英美法系和以陪审员的直觉判断为主大陆法系。不能形式化的科学，要想精细研究，要想实现象基础科学领域那样的不断冲突，就非常困难。这些领域的研究难免停留在感觉层次上。所以复杂领域内的研究能不能形式化，一直是人们关心的问题。随着系统论、信息论和各种自组织理论的诞生，社会科学中不仅经济学部分开始定量研究，而且城市建设、企业管理和城市管理等有一定程度地建立了数学模型定量研究。但社会问题相当复杂，教育、宣传、道德、法律和政治等领域的许多概念非常模糊，难以确切描述。比如，人的能力有哪些？等级是什么？民主是什么？自由是什么？幸福是什么？什么是美好？什么是快乐？什么是自私？什么是人权？什么是社会主义？等等，连一个统一的说法都没有。有些根本上是心理的概念无法客观描述。概念不确定（或不能客观描述）则不能形式化研究，可见的社会科学领域要想发展到完全精确化，几乎不可能。

然而，不能形式化的讨论能否认为可以半形式化呢？俗话说，不得已求其次。为了让社会科学进展快些，应该探讨接近狭义科学（可形式化的，能定量的，能证伪的知识）意义上的研究方法。当然自然会想到用三元逻辑和多元逻辑去讨论，下面笔者不是从这个角度，而是模仿形式化方法提出的不严格的一种方法。其实这种方法早就被不自觉的应用，这里只是总结一下。

模仿形式化方法，半形式化方法同样是把概念、规则和公理（或定律和定理）简捷地表示出来。比如，被一些经济学家称为“20世纪最伟大的发明之一”GDP=Gross Domestic Product(国民生产总值)，这个指标因为可以非常规范的统计出（排除腐败情况下的弄虚作假），所以它可以进入真正的定量研究。但象“幸福指数”这个概念就不是太清楚的，所以应该给出半形式化的定义。幸福是人们对生活满意程度的一种主观感受。则把生活的各方面包括进去，可写